老封几何
本帖最后由 shuxueren 于 2023-6-25 03:43 编辑本帖最后由 shuxueren 于 2021-5-7 12:05 编辑
如图，设P是圆O的内接四边形ABCD内任一点，
自P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥CD，PH⊥DA，
垂足依次为E、F、G、H，
M、N分别是EG、FH的中点，
求证：MN≤OP，当且仅当四边形ABCD是矩形时，等号成立。
上述不等式是叶中豪老师提出来的。他还说，
这个不等式的背后是一个恒等式，它揭示了中点M、N的距离与AC、BD的乘积成正比。 上海的李燕老师对上述问题也进行了卓有成效的研究：
对于圆内接四边形ABCD，P是其平面上一点，设E,F,G,H,I,J分别在AB,BC,CD,DA,AC,BD上，M,N,L分别是EG,FH,IJ中点，且APEHI,BPEFJ,CPFGI均共圆，则M,N,L共线。
这个问题需要用到我发现的一个引理，然后再用pascal来证。
当ABCD不共圆时，这个O点我已经研究并证明出来了，是6个特殊圆的交点。
设△BAD顺相似于△BQC，则△MNL∽△QCA，因此△MNL的形状始终不变.
为了解决上面一系列的问题，先来介绍我发现的一个很有用的引理：
“如图1，M,N,L分别是AD,BE,CF的中点，D关于BC中点的对称点是D'，同理定义E',F'，则M,N,L共线的充要条件是D'E'F'共线”
此引理不难证，只须注意到GD'=-2GM即可(其中G是△ABC的重心，同时也是△ADD'的重心)，即MNL与D'E'F关于G位似.
这个引理是我以前在编题的时候偶然发现的，我觉得这应该是很有用的，因为它为证明中点共线提供了一种新颖的不容易发现的路子.
我以前还用这个引理将特殊点结合起来编出了几个比较复杂的题，同时，应用这个引理还能简单的解决一些问题，如图2，
证明Newton线定理，将△ABC看作基本三角形，DEF是其截线，D关于BC的中点的对称点是D'，同理定义E',F'，则显然D'E'F'
也是△ABC的一条截线，于是应用上述引理即得M,N,L共线，这样我们就极为简单的证明了Newton线定理.
有了上面的引理，现在就来解决主帖所涉及到的一系列问题：
(I)如图，P是圆外接四边形ABCD(O)所在平面上一点，E,F,G,H,I,J分别在ABCD相应的边上，
且满足APEHI,BPEFJ,CPFGI均共圆，M,N,L分别是EG,FH,IJ的中点，求证：M,N,L共线.
证明：当P=O时，显然有M,N,L重合，结论成立；当P在(O)上时，则M,N,L是四条类似Simson线
围成的四边形的3条对角线的中点，因此根据Newton线定理即得M,N,L共线；
当P在其他位置时，以△IEF为基准，设G,H,J分别关于IF,IE,EF中点的对称点为G',H',J'.
则应用13L的引理得MNL∽G'H'J'，设EH'与FG',IG'与EJ',FJ'与IH'分别交于Q,S,T.
通过简单的导角可得QIEF,SIEF,TIEF均共圆，即IEFQST六点共圆，因此再由Pascal定理得G'H'J'共线.
故M,N,L共线. 本帖最后由 shuxueren 于 2020-5-20 07:16 编辑
denglongshan 发表于 2020-5-18 22:45
老师过奖了，谁都可以应用签名链接中的公式证明。△﹝AB×CD，AC×BD，AD×BC﹞什么意思？ 谢谢老师光临敝帖！
△（AB×CD，AC×BD，AD×BC）表示以AB×CD、AC×BD、AD×BC为边构成的三角形。 老封的题，请大家证明：
本帖最后由 shuxueren 于 2021-4-18 12:41 编辑
刚刚，中国科技大学博导 单墫教授，给出了上述 “ 老封定理”
一个简单的、精彩的证明：