求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)
解：\((5^{969969})^{7}+(5^{617253})^{11}+(5^{522291})^{13}+(5^{399399})^{17}+(5^{357357})^{19}=(5^{295208})^{23}\)
求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)
用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)
得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)
设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，
得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,
解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)
\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]
即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)
\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]
求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，
但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，
用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，
用：\(15^2+20^2=5^4\) ，
用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)
解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k , 1+b=7k , 1+c=7k ,
2+a=23k , 0+b=23k , 1+c=23k ,
0+a=26k , 0+b=26k , 4+c=26k ,
0+a=182k , 0+b=598k , 1+c=161k ,
2+a=23k , 1+b=7k , 4+c=26k ,
故，a=182 , b=1196 ， c=2414 ,
解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)
即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)
\[(2^{24269283})^{314}+(2^{47928018})^{159}=(2^{24257})^{314159}\]
最新发现，
若 2n+1,u ,w两两互质，
则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。
由：49，5，24 两两互质，
求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)
用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)
用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)
解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k , 1+b=49k , 0+c=49k ,
2+a=5k , 0+b=5k , 0+c=5k ,
0+a=24k , 0+b=24k , 1+c=24k ,
0+a=1176k , 0+b=120k , 0+c=245k ,
2+a=5k , 1+b=49k , 1+c=24k ,
故，a=3528 , b=2400 , c=4655 ,
解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)
即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)
X^49+y^10=z^48
解：由49k=48·10m+1，
得最小的k=49，m=5，
由a^2401+b^2400=c^2400,
得原方程的解是：
X=(a^2400-1)^49,
Y=(a^2400-1)^240,
Z=^50.
(a为大于1的整数）
本帖最后由 lusishun 于 2024-2-25 10:47 编辑
cz1 发表于 2024-2-25 02:11
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)
解：由159k=314·314159m+1，
得k=38465707，
m=62，
由此得，原方程的解是：
x=^（314159·62），
y=^38465707,
Z=｛a}^（314·62）。
（a为大于1的整数）
(接受网友的耐心验算）.
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