关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解 的个人理解
林梦启先生问什么就不在上网呢？关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解 的个人理解
不定方程的正整数解问题（限制条件下或当系数不是1时)与群论，组合论，整数拆分知识密切相关。关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解 的个人理解
想解决上述问题，首先需要解决不定方程的正整数解的组数问题。线性不定方程x+y+z+.....+u=n,这里的未知数及n都是正整数。现在我们求它的正整数解的组数。这个问题很容易解决，我们可以把n个数看成n个物体，把这n个物体排成一排，用m-1块木板（m为未知数的个数）把这一排物体分成m段，则划分段的方法数既是不定方程的正整数解的组数，根据计数原理，可知m-1块木板把n个物体分成C(n-1,m-1).(物体与物体之间有n-1个空隙可以放木板）(X-1)+(Y-1)+(Z-1)+....+(U-1)=n的正整数解的组数与x+y+z+.....+u=n的非负正整数解的组数相同（这里设x=X-1,y=Y-1,z=Z-1,....u=U-1),前边的不定方程的正整数解的组数为C(n+m-1,m-1),所以，后边线性不定方程x+y+z+.....+u=n的非负正整数解的组数为C(n+m-1,m-1).
这是49楼的内容。现在我们用公式求一下x+y+z=100的非负整数解的组数，有公式可知为C（100+3-1，3-1）=C（102，2）=102*101/2=5151组非负整数解。x=0，y+z=100有101组非负整数解；x=1，（y+z=99）有100组非负整数解；......;x=100,有1组非负整数解；这样x从0取到100已经遍历所有情况，所以1+2+3+...+99+100+101=（1+101）*101/2=5151组非负整数解。
现在我们看一看x+y+z=3001在x，y，z没有因子3，4，5的情况下有多少组符合条件的正整数解。模3的非0余数有1，2；即如果把自然数分成3类，可以分成3n+1，3n+2，3n三种类型；按模4可以把自然数分成4种类型，4n+1，4n+2，4n+3，4n；按模5可以把自然数分成5种类型，5n+1，5n+2，5n+3，5n+4，5n。如果想把这些余数情况综合起来考虑，就需要3*4*5=60种类型，这样符合条件的类型有（3-1）*（4-1）*（5-1）=2*3*4=24种，它们分别为60n+1，60n+2，60n+7，60n+11，60n+13，60n+14，60n+17，60n+19，60n+22，60n+23，60n+26，60n+29，60n+31，60n+34，60n+37，60n+38，60n+41，60n+43，60n+46，60n+47，60n+49，60n+53，60n+58，60n+59。在这24种类型数中无论用那3个数，都不会含有因子3，4，5，又因为有3个位置（3个未知数）每个位置有24种不同类型可选，所以有24*24*24=13824种合成方法，每种类型都含有加子60n，它们的和对公共模3*4*5=60来说，不影响结果对模60的余数，（即参与运算与不参与运算不会影响余数（小于等于59）），所以我们把相同的加法算子去掉（把60n去掉），只对1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，31，34，37，38，41，43，46，47，49，53，58，59这24种余数算子做3维加法合成（这里的运算与常规的加法运算不同，与群中元素的2元乘法运算也不同），用excel软件可以得到24种余数3维合成结果的分布情况。
1周→方法数→2周→方法数→3周→方法数
1→→0→→61→150→→121→123
2→→0→→62→162→→122→111
3→→1→→63→93→→123→88
4→→3→→64→123→→124→108
5→→3→→65→138→→125→111
6→→1→→66→109→→126→72
7→→0→→67→180→→127→93
8→→0→→68→141→→128→93
9→→3→→69→109→→129→70
10→→6→→70→150→→130→96
11→→3→→71→183→→131→87
12→→0→→72→114→→132→42
13→→3→→73→186→→133→84
14→→6→→74→192→→134→75
15→→9→→75→108→→135→51
16→→12→→76→159→→136→63
17→→9→→77→201→→137→63
18→→3→→78→133→→138→46
19→→9→→79→204→→139→60
20→→12→→80→156→→140→48
21→→13→→81→132→→141→37
22→→18→→82→204→→142→51
23→→12→→83→207→→143→54
24→→6→→84→126→→144→24
25→→24→→85→186→→145→42
26→→27→→86→210→→146→36
27→→21→→87→136→→147→25
28→→21→→88→177→→148→36
29→→24→→89→213→→149→36
30→→18→→90→132→→150→18
31→→36→→91→213→→151→24
32→→36→→92→177→→152→21
33→→25→→93→136→→153→21
34→→36→→94→210→→154→27
35→→42→→95→186→→155→24
36→→24→→96→126→→156→6
37→→54→→97→207→→157→12
38→→51→→98→204→→158→18
39→→37→→99→132→→159→13
40→→48→→100→156→→160→12
41→→60→→101→204→→161→9
42→→46→→102→133→→162→3
43→→63→→103→201→→163→9
44→→63→→104→159→→164→12
45→→51→→105→108→→165→9
46→→75→→106→192→→166→6
47→→84→→107→186→→167→3
48→→42→→108→114→→168→0
49→→87→→109→183→→169→3
50→→96→→110→150→→170→6
51→→70→→111→109→→171→3
52→→93→→112→141→→172→0
53→→93→→113→180→→173→0
54→→72→→114→109→→174→1
55→→111→→115→138→→175→3
56→→108→→116→123→→176→3
57→→88→→117→93→→177→1
58→→111→→118→162→→178→0
59→→123→→119→150→→179→0
60→→72→→120→72→→180→0
上边的数据是24种余数相加结果不同的分布情况，一周表示3种余数相加的值不超过60的。例如在一周所在列的59就是3种余数和为59的，第二列是分列符号，第三列是第一列对应的合成放法数，59对应123，就是说有123种余数加法的和为59.后边的列数据含义与这里的解释相同。第五列的2周和结果与第七列的合成方法相对应；第九列的3周和结果与第十一列的合成方法相对应。
根据计数原理，我们就得到求解组数公式，例如MOD（3001，60）=1，即3001对应照余数为1的情况，3001/60=50余1，也就是50个60整体可以分别放在x，y，z上，在1周上有0种合成方法，所以本类合成方法数为0；拿出1个60，和余数1加在一起，则其和为61，余数相加得到61的方法数为150种，而C(60-1+3-1,3-1)=C(59+3-1,3-1)=C(61,2)=61*60/2=1830,有150*1830=274500；拿出2个60，和余数1加在一起，则其和为121，余数相加得到121的方法数为123种，而C(60-2+3-1,3-1)=C(58+3-1,3-1)=C(60,2)=60*59/2=1770,有123*1770=217710；三个周期的方法和0*C(60+3-1,3-1)+150*C(60-1+3-1,3-1)+123*C(60-2+3-1,3-1)=0+150*1830+123*1770=492210.
关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解 的个人理解
上楼最后的492210就是不定方程x+y+z=3001在x，y，z无因子3，4，5下的正整数解的组数。仿照上述求解过程，根据余数和的分布数据，可以求出任意n时不定方程符合条件的正整数解的组数。另外有一种近似值公式=调节系数*符合条件的元素个数^3/n/(3-1)!
关于白新岭[原创]限定定义域方程的正整数解 的个人理解
1周→方法→2周→方法→3周→方法→4周→方法1→0→61→852→121→3472→181→776
2→0→62→920→122→3414→182→766
3→0→63→1212→123→4068→183→840
4→1→64→1080→124→3577→184→697
5→4→65→1012→125→3580→185→604
6→6→66→1272→126→4134→186→708
7→4→67→1116→127→3412→187→568
8→1→68→1323→128→3476→188→555
9→0→69→1548→129→3972→189→600
10→4→70→1284→130→3452→190→460
11→12→71→1300→131→3356→191→432
12→12→72→1710→132→4188→192→516
13→4→73→1540→133→3184→193→372
14→4→74→1600→134→3142→194→354
15→12→75→1932→135→3900→195→396
16→22→76→1697→136→3295→196→341
17→32→77→1596→137→3184→197→288
18→30→78→2148→138→3630→198→312
19→16→79→1860→139→2988→199→236
20→20→80→2016→140→3188→200→236
21→36→81→2316→141→3492→201→276
22→44→82→1912→142→2930→202→214
23→56→83→2044→143→2836→203→164
24→54→84→2688→144→3492→204→192
25→32→85→2264→145→2760→205→144
26→58→86→2242→146→2656→206→144
27→96→87→2664→147→3192→207→168
28→95→88→2491→148→2643→208→126
29→92→89→2372→149→2552→209→84
30→96→90→3024→150→3024→210→96
31→84→91→2552→151→2372→211→92
32→126→92→2643→152→2491→212→95
33→168→93→3192→153→2664→213→96
34→144→94→2656→154→2242→214→58
35→144→95→2760→155→2264→215→32
36→192→96→3492→156→2688→216→54
37→164→97→2836→157→2044→217→56
38→214→98→2930→158→1912→218→44
39→276→99→3492→159→2316→219→36
40→236→100→3188→160→2016→220→20
41→236→101→2988→161→1860→221→16
42→312→102→3630→162→2148→222→30
43→288→103→3184→163→1596→223→32
44→341→104→3295→164→1697→224→22
45→396→105→3900→165→1932→225→12
46→354→106→3142→166→1600→226→4
47→372→107→3184→167→1540→227→4
48→516→108→4188→168→1710→228→12
49→432→109→3356→169→1300→229→12
50→460→110→3452→170→1284→230→4
51→600→111→3972→171→1548→231→0
52→555→112→3476→172→1323→232→1
53→568→113→3412→173→1116→233→4
54→708→114→4134→174→1272→234→6
55→604→115→3580→175→1012→235→4
56→697→116→3577→176→1080→236→1
57→840→117→4068→177→1212→237→0
58→766→118→3414→178→920→238→0
59→776→119→3472→179→852→239→0
60→984→120→4584→180→984→240→0
这是x+y+z+u=n在x,y,z,u不含因子3，4，5下的24种余数中4个余数和的分布数据。有这些数据我们可以计算任意的n值时不定方程符合条件的正整数解的组数。例如n=2555，mod（2555，60）=35，即对应余数35，=42,t=42,符合条件的正帧数解组数=144*C(42+4-1,4-1)+2760*C(42+4-1-1,4-1)+2264*C(42+4-1-2,4-1)+32*C(42+4-1-3,4-1)=144*C(45,3)+2760*C(44,3)+2264*C(43,3)+32*C(42,3)=144*14190+2760*13244+2264*12341+32*11480=66904184. 时间久了，就想不起来了。 白新岭 发表于 2010-8-8 23:24
n →2→5→7
1→0→0→0
2→1→0→0
本楼的问题可以从另一侧面入手，即从不能整除2,5,7的方程解，在加上交叉项，求出总的减去它们。也就是从集合上考虑，集合A自身的加法合成，集合B自身的加法合成，再加集合A与集合B的合成，这样也不一定是全面的（或许我考虑多了，对于x，y，z它们取同一个值时，也是可以的，比如它们的公倍数）。 整除与不被整除这是问题的双面，只不过有个交叉项。不被整除中，符合素数加法求余的二元运算法则，余数0只有一种方法，余数0与其他余数的运算，在2*5*7=70的周期内就形成规律。 交集中的情况比较复杂，整除2的与不被2整除的，整除5的与不被5整除的，整除7的与不被7整除的；不被2整除，可以被5,7整除的，不被5整除，可以被2,7整除的，不被7整除，可以被2,5整除的，这6种情况。不被2,5,7整除的，比较容易获得公式，70周期以内无限制的情况也容易获得。 一个数分成两个数的和的方法数为n-1种；一个数分成三个数的和为（n-2）*（n-1）/2；一个数分成四个数的和？（注意这里不是整数分拆，是线性方程正整数解的组数）。