施特劳斯猜想的证明

费尔马1

   施特劳斯猜想的证明
施特劳斯猜想:
正整数n＞1时，总存在4/n=1/x+1/y+1/z，x、y、z均为正整数。
证明:
定理1，一个埃及分数可分为无穷多个埃及分数。
证明:1/n=（1/n）*（2/2）=
2*（1/2n）=（1/2n）+（1/2n）
（1/n）*（m/m）=m*（1/nm）
=（1/nm）+（1/nm）+……+（1/nm） ，共有m个（1/nm）
定理2，当一个分数能分成两个埃及分数时，它一定可分为三个或无穷多个埃及分数。
证明:设k/n=1/a+1/b
∵1/b=1/b*2/2=2*1/2b
=1/2b+1/2b
∴k/n=1/a+1/b=1/a+1/2b+1/2b
又∵1/b=1/b*m/m=m*1/mb
=1/mb+1/mb+……+1/mb共m个
∴k/n=1/a+1/b=1/a+1/mb
+1/mb+……+1/mb共m+1项
分数4/n，当n为偶数时，设n=2k
则4/n=4/2k=（1+1+2）/2k
=1/2k+1/2k+1/k；
特别地，当n为4的倍数时，
4/n=4/4k=1/k=1/3k+1/3k+1/3k；
当n为3的倍数时，
4/n=（1+3）/3k=1/3k+1/k
=1/3k+1/2k+1/2k
或4/n=（1+3）/3k=1/3k+1/k
=1/k+1/6k+1/6k。
当n为奇数时，分两种情况，
n=4m-1与n=4m-3，m为正整数。
一、当n=4m-1时，4m=n+1
则4/n=4m/nm=（n+1）/nm
=1/m+1/2mn+1/2mn
二、当n=4m-3时，又分以下3种情况:
1、m为偶数时，设m=2k，
则4/n=4m/nm=4*2k/2nk
=（n+3）/2nk=（n+1+2）/2nk
=1/2k+1/2nk+1/nk；
2、m=6k-1时，
4/n=4m/nm=（n+3）/n（6k-1）
∵m是奇数且不是3的倍数，
∴上式不能分成两个埃及分数，
把4/n分子分母同乘以m+1
有4/n=4（m+1）/n（m+1）
=（n+3+4）/6nk
=（n+1+6）/6nk
=1/6k+1/6nk+1/nk
例，n=4*17-3=65
4/65=4*17/65*17
=（65+3）/65*17…………（1）
显然，（1）式不能分为两个埃及分数，分子分母同乘以（17+1）
则4/65=4*18/65*18
=（65+3+4）/65*18
=（65+1+6）/65*18
=1/18+1/1170+1/195；
3、m=6k+1时又分两种情况:
（1）n含有质因子4t+3，
设n=pk，p=4t+3，t为正整数，k为奇数，
4/n=4m/nm
=（n+3）/nm………………（1）
∵n、m不含因子3
∴（1）式不能分成两个埃及分数，
∵n=4m-3，p=4t+3
∴n+p=4（m+t）
有4m'=n+p，m'=m+t
∴4/n=4m'/nm'=（n+3+4t）/nm'
=（n+p）/nm'
=（pk+p）/pkm'=1/m'+1/km'
=1/2m'+1/2m'+1/km'
例，n=553=4*139-3=79*7
p=79，m=139
4/553=4*139/553*139
=（553+3）/553*139…………（1）
显然，（1）式不能分成两个埃及分数
有m'=（n+p）/4=
（553+79）/4=158
分子分母同乘以158得，
4/553=4*158/553*158
=（553+79）/553*158
=（79*7+79）/79*7*158
=1/158+1/1106
=1/316+1/316+1/1106；
（2）n含有质因子4t+1，这时又分两种情况:
①4t+1为6k+1型质数，
设n=pu，p=4t+1=6k+1，u为奇数
可先解p+2（即4t+3）因子的埃及分数，（注，这时p+2是3的倍数）
∵4/n=4m/nm=（n+3）/nm………………（1）
有方程3+4t=p+2，t=（p-1）/4
这时t一定是奇数，m'=m+t，m'为偶数，令m'=2j
则（1）式改为，
4/n=4m'/nm'=（n+3+4t）/nm'
=[n+（4t+1）+2]/nm'
=（pu+p+2）/2puj
=1/2j+1/2uj+1/puj
例，n=3721=61*61
4/3721=4*931/3721*931
=（3721+3）/3721*931
上式不能分成两个埃及分数
有方程3+4t=61+2，t=15
m'=931+15=946
则有4/3721=4*946/3721*946
=（3721+3+4*15）/3721*946
=（3721+63）/3721*946
=（3721+61+2）/3721*946
=1/946+1/57706+1/1760033；
②4t+1为6k-1型质数，
设n=pu，p=4t+1=6k-1，u为奇数
4/n=4m/nm=（n+3）/nm……………………（1）
因为n、m都不含因子3
所以，（1）式不能分为两个埃及分数，把（1）式分子分母同乘以2k得
4/n=（n+3）*2k/2nmk
=（2nk+6k）/2nmk
=[2nk+（6k-1）+1]/2nmk
=（2puk+p+1）/2pumk
=1/m+1/2umk+1/2pumk
例，n=265=4*67-3=53*5，m=67，
53=4*13+1，t=13，
53=6*9-1，k=9
则有4/265=4*67/265*67
=（265+3）/265*67
=（265+3）*2*9/265*67*2*9
=（265*2*9+3*2*9）/265*67*2*9
=[265*18+（6*9-1）+1]/
（6*9-1）*5*67*18
=1/67+1/5*67*18+1/265*67*18
=1/67+1/6030+1/319590。
以上方法是指，在任何情况下，4/n
至少存在一种方法可以分为三个埃及分数，有时候4/n的某个值可以同时采用几种方法分解成三个埃及分数。
                证毕
               2018-1-28