与大家讨论一个不等式研究研究

数学小不点

在厦门数学会议中厦门市教育局副局长任勇老师提出了一个不等式，与大家探讨一下：（1-x1)(1-x2)≥1-x1-x2,x1、x2∈[0,1),然后此不等式可以首先推广至n个数也成立，x可以取到xn,（1-x1)(1-x2)...(1-xn)≥1-x1-x2-...-xn,如果继续推广至无穷多个数，令n趋于无穷，请问如何给出一个简洁的初等证明呢？看起来该结论显然也是成立的。谁有好的证明，不妨展示一下，谢谢。最好能找一个优美的初等证明， 可以先证明收敛无穷成立，再推导至有限项特例成立的简洁证明。

数学小不点

竟然没有人懂不等式，可惜了。

概率考

。。。。伯努利不等式 你难道不知道吗 利用数学归纳就可以了。。

love-math

这个不等式很简单。 n=1时就是等式； n=2时，简单一乘并利用x1x2 》 0 即知； 用归纳法证明一般情况。如果n = k 时成立，即 （1-x1)(1-x2)...(1-xk) >= 1-x1-x2-...-xk; 则当n=k+1时， （1-x1)(1-x2)...(1-xk)[1-x(k+1)] = [（1-x1)(1-x2)...(1-xk)][1-x(k+1)] >= [1-x1-x2-...-xk][1-x(k+1)] 再分两种情况讨论即可，一种是x1+x2+...+xk > 1, 另一种是x1+x2+...+xk <=1，两种情况都可以导出 n=k+1时不等式成立。因此不等式对所有自然数成立。

数学小不点

楼上两位老师概率考与love-math所言当然不错，但是这里问题的提出是如果x取无穷多个值时，不等式是否成立？如果只是x取有限个数值时成立，当然利用数学归纳法证明有限个x成立完全没有问题，一旦进入无穷多个x，此时仅仅对于自然数范围内有效的数学归纳法已经失效，此时这个不等式还能不能称为贝努力不等式就都成了问题。原问题是想先证明x等于无穷时成立，而后自然x为有限值时，为特例时，当然也成立，而不是先数学归纳法，再证明任意个x时成立。注意：此时先要证明无穷个x值成立才行的。

love-math

当有无穷多个x时，涉及到无穷乘积和无穷级数的收敛性问题。如果不考虑无穷乘积收敛性，当这些x之和（无穷级数）大于等于1时，结论显然成立，这是因为右端小于等于0，而左端大于等于0；当这些x之和（无穷级数）小于1时，结论也成立，因为此时两端的无穷乘积和无穷级数同时收敛，可以取极限实现证明。

数学小不点

love-math老师讲的很有道理，两边取极限估计成立，请问我们如何能够给出一个严格的证明呢？

love-math

有限的时候成立，就意味着对于任意n，左右两边分别是n个数之积和n个数之和，它们都是数，两端各构成一个数列，这两个数列对所有n都满足这个不等式关系，当两边都收敛时，两边同时取极限，其极限仍然满足这个不等式关系（极限的保号性）。这就是严格的数学证明。

数学小不点

极限的保号性，不错，很有道理，请问love-math老师哪里有关于极限的保号性的书籍可以学习一下呢？如果先知道无穷多个成立，当然有限个成为特例就肯定成立了，我们能不能从先证明无穷多个成立，然后再来证明有限个成立呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
当然有两边均收敛成立，否则讨论就没有意义了。

love-math

极限的保号性是任何一本数学分析教材中都必讲授的内容。