难题，帮帮忙

zmkmla

天山草

中等难度的几何题。

pAq

    也想看看解法。

天山草

四个圆的半径约为 2.04130742742。
这个答案做对了木有？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
我的解法是用计算机编个简单小小程序来做。要是考试，这样做大概是不行的——如果课堂上不允许带计算机的话。对了，现在考场上不知是否允许带计算器？计算器，不是计算机。能带吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/11/27 02:08pm 第 1 次编辑]

此题解答如下：

pAq

luyuanhong 教授：
您好！
    请教：当三边长度不变，小圆半径=0.5时，三角形内最多能放多少小圆？

luyuanhong

下面引用由pAq在 2011/11/27 02:21pm 发表的内容：
luyuanhong 教授：
您好！
    请教：当三边长度不变，小圆半径=0.5时，三角形内最多能放多少小圆？

我觉得这是一个很难的问题，如果你有兴趣，你还是自己试试做做吧！

pAq

下面引用由luyuanhong在 2011/11/27 02:31pm 发表的内容：
我觉得这是一个很难的问题，如果你有兴趣，你还是自己试试做做吧！

luyuanhong 教授：
您好！
    类似的题试过，没做出来。请您在有时间时不吝赐教。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/11/27 06:20pm 第 4 次编辑]


噢，我上面【第 4 楼】的数据有误，因为程序中有个公式字母输错了。陆教授的数据正确。
本人的方法是先认为外面的三个圆一样大，圆半径是 R1，任给它一个较小的值，例如 R1=1，然后中间那个圆按相切条件，计算其半径 R2。结果当然是 R2 大于 R1，但是这不要紧，让 R1 逐渐增大，则 R2 将逐渐减小，直到二者之差接近相等为止。计算机最适合玩这种“游戏”了。
   本人的程序如下：

R1 = 1
888:
  AB = 14: BC = 15: CA = 13
  a = BC: b = CA: c = AB
  a1 = (b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2) / 2 / b / c  ';a1 = Cos(A)
  b1 = (a ^ 2 + c ^ 2 - b ^ 2) / 2 / a / c  ';b1 = Cos(B)
  c1 = (b ^ 2 + a ^ 2 - c ^ 2) / 2 / b / a  ';c1 = Cos(C)
  aa1 = Sqr(1 - a1 ^ 2)
  bb1 = Sqr(1 - b1 ^ 2)
  cc1 = Sqr(1 - c1 ^ 2)
  JA = Atn(aa1 / a1)
  JB = Atn(bb1 / b1)
  JC = Atn(cc1 / c1) ';求出三个角度
 
  A1B1 = AB - R1 * 1 / Tan(JA / 2) - R1 * 1 / Tan(JB / 2)
 
  R = A1B1 / 2 / Sin(JC)    ';中间那个圆的外接圆半径
  R2 = R - R1
  If Abs(R1 - R2) > 0.0000000000001 Then
    RR = (R1 + R2) / 2
    R1 = (R1 + RR) / 2
    GoTo 888
    Else
    GoTo 999
  End If
999:
  Print R1, R2, R1 - R2

程序运行结果是：
     R1                      R2                     R1-R2
2.01550387596899       2.01550387596899        7.105427357601E-15
这一次跟陆教授的答案一致。
这种方法是“傻瓜”计算法，基本上不用动脑子去找那些复杂的数学关系。其缺点是分析得不如陆教授那样深刻。此法只能给出具体数值，而不能给出陆教授那样的解析表达式。另外就是，这方法不适合当今的教育制度，因为考场上不允许带计算机，也不允许编程做题。