求有 30 个正因数的最小整数

wintex

請問陸老師一個代數問題

luyuanhong

题  求有 30 个正因数的最小整数。

解  我们知道，如果一个正整数 N 的质因数分解可以表示为

            N = p1^k1 × p2^k2 × p3^k3 × … × pm^km ,

其中 p1,p2,…,pm 是不同的质数，k1,k2,…,km 是这些质数的幂次，

那么，这个正整数 N 的正因数个数就是

             (k1+1) × (k2+1) × (k3+1) × … × (km+1) 。

    现在已知正整数 N 的正因数个数是 30 ，30 可以表示为下列形式

    30 = 5 × 3 × 2 = (4+1) × (2+1) × (1+1) 。

    可见，N 有三个不同的质因数，它们的幂次是 4,2,1 。

    为了使得 N 尽可能小，三个质因数应该取最小的三个质数 2,3,5 ，

而且应把最大的幂次 4 ，分配给最小的质数 2 ；次大的幂次 2 ，分配给

次小的质数 3 ；最小的幂次 1 ，分配给最大的质数 5 。即有

    N = 2^4 × 3^2 × 5^1 = 720 。