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本帖最后由 愚工688 于 2022-5-28 04:39 编辑
上面的 与实际素对变化趋势比较接近的素对下界函数计算式infS(m)——{式7}中的*F(m)的来历及原理:
符合条件a的x值的分布概率P(m)依据独立事件的乘法原理,除以素数2,3,…,n,…,r时余数同时满足不等于j2、j3及(3-j3)、…、jn及(n-jn)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r). {式2}
就是偶数M的符合条件a的x值的数量的计算数量为Sp(m)为
Sp(m)=(A-2)*P(m)
=(A-2)P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)
=(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r) {式3}
式中:3≤ n≤r;n是素数。f(n)=(n-1)/n,[n=0时];或f(n)=(n-2)/n ,[n>0时] 。
{式3}经过数学变形,也可以用另一种形式表达:
Sp(m)= (A-2)/2*π[(n-2)/n]*π[(k-1)/(k-2)] {式4}
式中:3≤ n≤r;n是素数;k是偶数半值A所含的奇素数因子.
K(m)= π[(k-1)/(k-2)], K(m)称为偶数M的素因子系数,也可以称为表法数的波动系数。
从上面不同素数时偶数含有与否素因子的比例可以知道:越小的奇素数对波动的影响越大;偶数含有多个素因子时的波动系数具有叠乘性。
由于符合条件b的x值数量S2相对于S1来说比较小,且不具计算性,故把其合并于S1中计算,这样Sp(m)就是总素对数的计算值,S2仅仅作为一个影响相对误差值的因素。
在式4中,1/2*π[(n-2)/n]表示产生素对的x值的最小发生率,用p(m)min表示,则有
p(m)min=(1/2)*(1/3)*(3/5)*…*(n-2)/n*…*(r-2)/r;
在其中引入小于r的全部奇合数,并用引入合数的倒数组成的系数F(m)来抵消。即F(m)=π[h/(h-2)],h<r;h为奇合数。
则有
p(m)min=(1/2)[1×3×5×7×9×…×(r-2)]/[3×5×7×9×11×…×(r-2)×r]×F(m)=F(m)/(2r)
中括号内 分子分母约分后,代入式4, 就是
Sp(m)= (A-2)×F(m)/(2r)× K(m)=[(A-2)/(2r)]×F(m)× K(m)
由于[(A-2)/(2r)]=[A/(2r)-2/(2r)]=[M/(4r)-1/r]≈√M/4
故式4有
Sp(m)≈√M/4×F(m)×K(m) . { 式5 }
式中:素因子系数 K(m)≥1;合数因子系数 F(m)≥1,在素数r=11起 F(m)≥9/7=1.2857,且随<r的奇合数呈现阶梯式单调上升的值,使得与实际素对变化趋势比较接近的素对下界函数计算式infS(m)——. {式7 }逐渐的离开简单的素对下界计算值 inf(M)=0.24√M <S(m),而比较好的贴合实际偶数的素对低位值。
infS(m)=0.185*K(m)*F(m)*√M <S(m);(M≥14) . {式7 };
合数因子系数是随偶数的√M内最大素数增大而变化的常数,摘录如下:
6 -- 122 r= 2、3、5、7 F(m) = 1
124 -- 290 r= 11、13 F(m) ≈ 1.285714 (=9/7)
292 -- 362 r= 17 F(m) ≈ 1.483516 (=9/7*15/13)
964 -- 1370 r= 31 F(m) ≈ 1.924837
9412 -- 10202 r= 97 F(m) ≈ 3.714812
97972 -- 100490 r= 313 F(m) ≈ 7.703429
994012 -- 1018082 r= 997 F(m) ≈ 17.260691
9840772 -- 10004570 r= 3137 F(m) ≈ 40.130653
99460732 -- 100140050 r= 9973 F(m) ≈ 97.624021
999002452 -- 1000267130 r= 31607 F(m) ≈ 244.884669
1999073524 -- 2000683442 r= 44711 F(m) ≈ 324.260958
2999424292 -- 3000081530 r= 54767 F(m) ≈ 382.680777
3999424084 -- 4000183010 r= 63241 F(m) ≈ 430.532391
4999762684 -- 5000894090 r= 70709 F(m) ≈ 471.879372
5998037812 -- 6001755842 r= 77447 F(m) ≈ 508.475076
使用实例:
1000000000: infS(m)=0.185*K(m)*F(m)*√M =1910172.8;Δ=-0.1601;
1000000002: infS(m)=0.185*K(m)*F(m)*√M =2865259.2;Δ=-0.1805;
显然这个下界式的计算精度比下界计算式√M/4 有了比较大的提高。
素对真值:
G(1000000000) = 2274205
G(1000000002) = 3496205
G(1000000004) = 1747858
G(1000000006) = 1704301
G(1000000008) = 4151660
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