3x+1猜想蕴含的运算规律

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3x+1猜想蕴含的运算规律
田永胜
（内蒙古兰太实业股份有限公司制盐分公司 内蒙古自治区 吉兰泰 750333）
摘要：本文揭示了3x+1猜想计算规则下奇数的运算规律。
关键词： 计算规则；奇数；排列位置；变换
中图分类号：O156

所谓3x+1猜想就是：任取一个自然数，如果它是偶数，就把它除2，如果它是奇数，就把它乘3再加上1。在这样一个变换下，就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，就会得到一串自然数。猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果就是1。

为了揭示先3x+1猜想蕴含的数学规律，先从大家熟知的一道数学题——小猴爬杆说起：
小猴爬8米竹竿，一次爬2米，下滑1米，问几次可以爬到杆顶？
为什么提到这个数学题呢？因为3x+1猜想跟这道题有点类似，从表面看，一个自然数乘3除2，似乎应该越来越大才对，怎么最后结果是1呢？
这有两个原因：
1、与猜想的计算规则有关
猜想计算规则就是：如果它是偶数，就把它除2。如果它是奇数，就把它乘3再加上1。问题的关键在于：奇数乘3加1后一定是偶数，偶数除2后不一定就是奇数，如果是偶数，继续除2，直到变为奇数为止。因此，奇数乘3加1后不一定只除一次2，有可能除两次2或两次以上2。
2、与奇数的排列位置有关
因为3x+1是偶数，所以只研究奇数x。奇数的排列位置（见表1）与猜想有什么关系呢？
奇数的排列位置决定了奇数乘3加上1后是除2，还是除2^n（n>1）。
研究发现：奇数位置上的奇数乘3加上1除2后，一定是偶数，即至少要除两次2后，才变为奇数，偶数位置上的奇数乘3加上1除2后，一定是奇数。
因此，偶数位置上的奇数乘3加上1除2后，变换的自然数会变大，奇数位置上的奇数乘3加上1连续除2后，变换的自然数会变小（乘3除4或2^n（n>1），正是因为这个特点，决定了变换后的自然数不会无限增大）。经过不断变换后，最后的结果就是1。除1外，其他的奇数最终都变换到5，然后再变换到1。

序号        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15
奇数        1        3        5        7        9        11        13        15        17        19        21        23        25        27        29
序号        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25        26        27        28        29        30
奇数        31        33        35        37        39        41        43        45        47        49        51        53        55        57        59
序号        31        32        33        34        35        36        37        38        39        40        41        42        43        44        45
奇数        61        63        65        67        69        71        73        75        77        79        81        83        85        87        89
序号        46        47        48        49        50        51        52        53        54        55        56        57        58        59        60
奇数        91        93        95        97        99        101        103        105        107        109        111        113        115        117        119
表1 奇数排列位置表

lzmaks

对于制盐来说，初等计算数学已经够用了，但对于专业数学家来说又不够用……嘻嘻