数论小猜想

蔡家雄

设 m 为偶数，

则 m^3+b^3+c^3 = (c+2)^3 必有正整数解。

2^3+12^3+16^3 = (16+2)^3

4^3+34^3+80^3 = (80+2)^3

6^3+8^3+10^3 = (10+2)^3

6^3+20^3+36^3 = (36+2)^3

6^3+68^3+228^3 = (228+2)^3

8^3+114^3+496^3 = (496+2)^3

8^3+2946^3+65278^3 = (65278+2)^3

10^3+172^3+920^3 = (920+2)^3

12^3+242^3+1536^3 = (1536+2)^3

14^3+324^3+2380^3 = (2380+2)^3

14^3+2304^3+45148^3 = (45148+2)^3

16^3+418^3+3488^3 = (3488+2)^3

18^3+116^3+510^3 = (510+2)^3

18^3+524^3+4896^3 = (4896+2)^3

20^3+642^3+6640^3 = (6640+2)^3

22^3+772^3+8756^3 = (8756+2)^3

24^3+38^3+106^3 = (106+2)^3

24^3+62^3+204^3 = (204+2)^3

24^3+914^3+11280^3 = (11280+2)^3

26^3+1068^3+14248^3 = (14248+2)^3

28^3+46^3+140^3 = (140+2)^3

28^3+1234^3+17696^3 = (17696+2)^3

30^3+128^3+594^3 = (594+2)^3

30^3+1412^3+21660^3 = (21660+2)^3

32^3+102^3+426^3 = (426+2)^3

32^3+1602^3+26176^3 = (26176+2)^3

34^3+1804^3+31280^3 = (31280+2)^3

36^3+698^3+7528^3 = (7528+2)^3

36^3+2018^3+37008^3 = (37008+2)^3

38^3+2244^3+43396^3 = (43396+2)^3

40^3+178^3+974^3 = (974+2)^3

40^3+2482^3+50480^3 = (50480+2)^3

42^3+92^3+376^3 = (376+2)^3

42^3+2732^3+58296^3 = (58296+2)^3

44^3+114^3+510^3 = (510+2)^3

44^3+654^3+6828^3 = (6828+2)^3

44^3+2994^3+66880^3 = (66880+2)^3

46^3+28^3+140^3 = (140+2)^3

46^3+280^3+1916^3 = (1916+2)^3

46^3+3268^3+76268^3 = (76268+2)^3

48^3+1094^3+14772^3 = (14772+2)^3

48^3+3554^3+86496^3 = (86496+2)^3

50^3+3852^3+97600^3 = (97600+2)^3

52^3+4162^3+109616^3 = (109616+2)^3

54^3+92^3+394^3 = (394+2)^3

54^3+128^3+612^3 = (612+2)^3

54^3+4484^3+122580^3 = (122580+2)^3

56^3+750^3+8386^3 = (8386+2)^3

56^3+4818^3+136528^3 = (136528+2)^3

58^3+5164^3+151496^3 = (151496+2)^3

60^3+5522^3+167520^3 = (167520+2)^3

62^3+5892^3+184636^3 = (184636+2)^3

64^3+6274^3+202880^3 = (202880+2)^3

蔡家雄

定理：设 n 为偶数，则 n^3+b^3+c^3 = (c+2)^3 必有正整数解。

猜想：设 n 为奇数，则 n^3+b^3+c^3 = (c+2)^3 均有正整数解。

11^3+15^3+27^3 = (27+2)^3

17^3+57^3+177^3 = (177+2)^3

17^3+135^3+640^3 = (640+2)^3

23^3+81^3+300^3 = (300+2)^3

23^3+171^3+913^3 = (913+2)^3

25^3+31^3+86^3 = (86+2)^3

31^3+1915^3+34211^3 = (34211+2)^3

41^3+225^3+1381^3 = (1381+2)^3

45^3+53^3+199^3 = (199+2)^3

47^3+75^3+295^3 = (295+2)^3

53^3+6051^3+192160^3 = (192160+2)^3

71^3+81^3+384^3 = (384+2)^3

71^3+5313^3+158100^3 = (158100+2)^3

73^3+271^3+1838^3 = (1838+2)^3

77^3+315^3+2298^3 = (2298+2)^3

77^3+477^3+4261^3 = (4261+2)^3

83^3+789^3+9052^3 = (9052+2)^3

87^3+3377^3+80116^3 = (80116+2)^3

89^3+369^3+2913^3 = (2913+2)^3

89^3+543^3+5176^3 = (5176+2)^3

93^3+269^3+1837^3 = (1837+2)^3

95^3+921^3+11416^3 = (11416+2)^3

蔡家雄

定理：设 n 为偶数，则 n^3+b^3+c^3 = (c+2)^3 必有正整数解。

猜想：设 n 为奇数，则 n^3+b^3+c^3 = (c+2)^3 均有正整数解。

101^3+243^3+1600^3 = (1600+2)^3

101^3+435^3+3726^3 = (3726+2)^3

101^3+765^3+8647^3 = (8647+2)^3

103^3+115^3+659^3 = (659+2)^3

107^3+477^3+4276^3 = (4276+2)^3

107^3+1197^3+16912^3 = (16912+2)^3

107^3+11325^3+492018^3 = (492018+2)^3

111^3+275^3+1921^3 = (1921+2)^3

123^3+749^3+8386^3 = (8386+2)^3

131^3+213^3+1408^3 = (1408+2)^3

141^3+155^3+1042^3 = (1042+2)^3

141^3+413^3+3493^3 = (3493+2)^3

147^3+197^3+1342^3 = (1342+2)^3

153^3+521^3+4915^3 = (4915+2)^3

161^3+2793^3+60265^3 = (60265+2)^3

177^3+5927^3+186286^3 = (186286+2)^3

179^3+783^3+8997^3 = (8997+2)^3

179^3+1029^3+13510^3 = (13510+2)^3

185^3+201^3+1551^3 = (1551+2)^3

187^3+4927^3+141191^3 = (141191+2)^3

197^3+867^3+10482^3 = (10482+2)^3

197^3+1125^3+15445^3 = (15445+2)^3

197^3+13347^3+629506^3 = (629506+2)^3

蔡家雄

设 n>=2,  有 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数

从第1个素数开始,有 3^2 个连续素数的和 = 10^2

从第18个素数开始,有 11^2 个连续素数的和 = 221^2

从第23个素数开始,有 14^2 个连续素数的和 = 366^2

从第78个素数开始,有 4^2 个连续素数的和 = 84^2

从第84个素数开始,有 6^2 个连续素数的和 = 140^2

从第104个素数开始,有 15^2 个连续素数的和 = 551^2

蔡家雄

设 n>t>=1, 且 k>1,

猜想：n! / t! =x^k 无正整数解。

例：6*7*8*9=(9!)/(9-4)! =3024=x^k, 无正整数解。

wlc1

一道小题，朱火华先生会做吗？

公共弦C=125*841*89 的52组勾股数？

求不出：朱火华先生——丢人现眼！！

人们早已知道公共弦勾股数的解法，用xxxxx2050 的口气：我干嘛要把解法告诉你，

就算你找到了公共弦勾股数的解法，别以为自己在数学上发现了一个新大陆。

朱明君——华而不实、昏而不明，

蔡家雄

本原勾股数新公式

设 n为正整数，k为非负整数，
设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1)
    b= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)
    c= ((2n+2^k -1))^2 -2^(2k)+2^(2k+1)
则 a^2+b^2 =c^2

当 k=0 时，有 a=4n, b=4*n^2 -1, c=4*n^2+1.

当 k=1 时，有 a=8n+4, b=(2n+1)^2 -4, c=(2n+1)^2+4.


本原勾股数新公式

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，
设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2
则 a^2+b^2 =c^2

当 k=1 时，有 a=2n+1, b=2*n^2+2n, c=2*n^2+2n+1.


蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数，
若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子，
则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1，等式两边同时除以4，得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数，
若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子，
则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

若 2n -1 与 k 互素，
且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。

求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素，
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|，
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂，

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )
的 本原勾股数，你能找到吗？

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若（a, b, c）为本原勾股数，
且 a+b= c+2n ,
若 2n 有 t个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例：
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )


罗士琳勾股数公式及其变形

设 奇数Q=m+n,（m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数）
则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。
其中，E 就是著名的 Euler 函数。


设n为正整数，d为公差，
则 n*(n+d)*(n+2d)*(n+3d)+d^4 =(n^2+3nd+d^2)^2

设 2, a^2, b^2 成等差整数，
且 2*a^2*b^2+1=c^2,
求三整数（a, b, c）的通式？


公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数的指数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数的指数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为
[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2


平方剩余定理

设 x为任意正整数，

若 p为4k+1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 与 y^2=p*x -r 都有整数解。


设 x为任意正整数，

若 p为4k-1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 都有整数解，但 y^2=p*x -r 都无整数解。


非剩余定理

设 x为任意正整数，

若 p为4k+1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n-1)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 与 y^2=p*x -r 都无整数解。


设 x为任意正整数，

若 p为4k-1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n-1)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 都无整数解，但 y^2=p*x -r 都有整数解。

蔡家雄

所谓素数模p的原根g, 是指使同余式

g^e  mod  p =1 得以成立的最小指数e必须为p-1 .

若 g是4k+1型素数p的原根，则 (p-g)也是素数p的原根。

若 g是素数p的原根，则 g+p*n 也是素数p的（广义）原根。

蔡家雄

13的原根g=2，6，7，11，

17的原根g=3，5，6，7，10，11，12，14，

29的原根g=2，3，8，10，11，14，15，18，19，21，26，27，

37的原根g=2，5，13，15，17，18，19，20，22，24，32，35，

41的原根g=6，7，11，12，13，15，17，19，22，24，26，28，29，30，34，35，

53的原根g=2，3，5，8，12，14，18，19，20，21，22，26，27，31，32，33，34，35，39，41，45，48，50，51，

61的原根g=2，6，7，10，17，18，26，30，31，35，43，44，51，54，55，59，

73的原根g=5，11，13，14，15，20，26，28，29，31，33，34，39，40，42，44，45，47，53，58，59，60，62，68，

蔡家雄

蔡家雄猜想

设 x为任意正整数，R为奇素数，

设 p为4k*R+1型素数，且 1<r<p-1，

若 r^(2R - 2)  mod  p ≠ 1,（不同余于1）

则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。