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本帖最后由 蔡家雄 于 2020-10-20 14:51 编辑
卢卡斯级数的通项公式
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,
并且：2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。
L5=708158977,
L6=1002978273411373057
=(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)
=127*7897466719774591,
已证：2^127 -1 是素数，
蔡家雄猜想：2^7897466719774591 -1 是大素数。
卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数，
若 L(p-1) mod (2^p -1) ≡ 0,
则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)
蔡家雄猜想
若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.
s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]
蔡家雄猜想
设P为素数，且4P+1同为素数，
若 (4P+1) mod 40 ≡ 29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
蔡家雄猜想
设k为非负整数，
若30k+7和120k+29同为素数，
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。
最新编程验证：
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]
蔡家雄猜想：
设P和2P+1都是素数，
若 (2P+1) mod 40 ≡ 7或19或23，
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。
蔡家雄猜想
设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使 n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2
s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]
一个改进了的蔡家雄猜想
设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数，
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2
s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]
若 C(2*n, n) mod n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。
蔡家雄猜想
设 n >= 5,
若 C(n^2, n) mod n^5 = n, 则 n 一定是素数。
编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]
蔡家雄猜想
设 n>=2,
设 P 和 2^(2^n)*P+1 都是素数，
若 2^(2^n)*P+1 mod 40 ≡ 17或33，
则 10 是 2^(2^n)*P+1 的原根。
这个猜想编程验证举例（n=2）
s = 0;
For[n = 2; p = 2, p <= 100000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^(2^n)) p + 1]) && (Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 33), s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (2^(2^n)) p + 1, "-----", MultiplicativeOrder[10, (2^(2^n)) p + 1] == (2^(2^n)) p]]]
蔡家雄猜想：n>=3,
方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。
蔡家雄猜想：n>=5,
方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。
s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b, "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]
\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式
\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)
\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)
\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)
\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)
\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)
\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)
\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)
蔡家雄猜想：n 为正整数，
\(n^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解。
\(1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3\)
\(2^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解，
\(3^3+18^3+24^3= (24+3)^3\)
\(4^3+17^3+22^3= (22+3)^3\)
\(5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3\)
\(6^3+51^3+120^3= (120+3)^3\)
\(7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3\)
蔡家雄奇数猜想：n 为奇数时，
\(n^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解。
\(1^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解，
\(3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3\)
\(5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3\)
定义：一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r)，称为广义孪中。
广义孪中比猜想：
r=1, 正整数N 均可表为两个广义孪中之比。
r>1, 且r与N互素，N 可表为两个广义孪中之比。
广义孪中差猜想：
r与3互素：仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。
r =3k 时：所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。
r =6k 时：特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。
推论：两个广义孪中素数 同时+6k 与 同时 -6k 都是素数。
定义：若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数，则称 15X 为 双中数。
奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。
对称8生连续素数15X±2, 15X±4, 15X±8, 15X±16 有 无穷多组。
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。
孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。
定义：若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数，则称 15X 为 双中数。
双中比猜想：(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )
蔡家雄猜想：设 p为素数，
素数差(首项差2d)等比2，3 的k生素数是存在的。
素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。
则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)
最接近某类数的四生素数
其一：最接近三角数的四生素数：x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4
其二：最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
（等差2d，首奇数 r,）
其三：最接近3次方数的四生素数：x^3±2 和 x^3±4
素数p >3，最接近p次方数的四生素数：x^p±2 和 x^p±4
存在无穷个 x^2, 满足
从素数2开始，前 x^2 个连续素数的和，仍是素数！
从素数p开始，有 x^2 个连续素数的和，仍是素数！
素数方阵猜想
设 n>=2, 求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数，均有解。
蔡家雄猜想
设 x为任意正整数，R为奇素数，
若 p为4k*R+1型素数，且 g是素数p的原根 ，
则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。
蔡家雄猜想
设 x为任意正整数，R为奇素数，
设 p为4k*R+1型素数，且 1<r<p-1，
若 r^(2R - 2) mod p ≠ 1,（不同余于1）
则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。
定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。
孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。
推广：三整数连比 均可表为 三个孪中数连比。
即：a : b : c = A : B : C
—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，都是孪生素数。
推广：四整数连比 均可表为 四个孪中数连比。
即：a : b : c : d = A : B : C : D
—— 等式右边的A加减1，B加减1，C加减1，D加减1，都是孪生素数。
2次abc 猜想（幂指数 x, y, z, t 均大于1）
\(已知：a^2+b^2+c^2=d^2 ,\)
\(试求：a^x+b^y+c^z=d^t 的另一组新解，可以有吗？\)
3次abc 猜想（幂指数 x, y, z, t 均大于1）
\(已知：a^3+b^3+c^3=d^3 ,\)
\(试求：a^x+b^y+c^z=d^t 的另一组新解，可以有吗？\)
\(27^x+84^y+110^z+133^r=144^t\)
\(x=y=z=r=t=5\)，还有其它 非平凡解 吗？
\(27^5+84^5+110^5+133^5=144^5\)
蔡家雄8生素数猜想
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 ！！！
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有 无限多组 ！！！
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 ！！！
蔡家雄8生素数猜想
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有 无限多组 !
蔡家雄偶数猜想
设 2n>=64, 至少存在一个素数p，
使 p与p+30 及 2n-p与2n-p-30 均为素数，
则 2n=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+30)+素数(2n-p-30) 均有解。
蔡氏偶数猜想的推论
设 2n>=94,
则 2n 均可表为同一位置的P 或 同一位置的(P+30) 的两个素数之和，
蔡氏偶数猜想比哥德巴赫猜想的数学意义要深远的多。
蔡氏偶数分拆
2n>=64=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+30)+素数(2n-p-30) 均有解。
2n>=280=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+210)+素数(2n-p-210) 均有解。
2n>=2644=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+2310)+素数(2n-p-2310) 均有解。
蔡氏偶数分拆
2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。
注：p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。
4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组，
8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组，
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发表于 2016-7-10 20:00
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