数论小猜想

蔡家雄

√23 的有理逼近算法

若 1=Abs[23*A^2 - B^2]（0<A<B），则 lim B/A = √23

1-----A=5 , B=24    (B/A =4.8000000000)

2-----A=240 , B=1151    (B/A =4.7958333333)

3-----A=11515 , B=55224    (B/A =4.7958315241)

递推公式：
A0=0, A1=5, A2=240, A(n+1)=48*An - A(n-1) ,

B0=1, B1=24, B2=1151, B(n+1)=48*Bn - B(n-1) .

蔡家雄

√97 的有理逼近算法

若 1=Abs[97*A^2 - B^2]（0<A<B），则 lim B/A = √97

递推公式：
A0=0, A1=569, A2=6377352, A(n+1)=11208*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=5604, B2=62809633, B(n+1)=11208*Bn + B(n-1) .

蔡家雄

√61 的有理逼近算法

若 1=Abs[61*A^2 - B^2]（0<A<B），则 lim B/A = √61

递推公式：
A0=0, A1=3805, A2=226153980, A(n+1)=59436*An + A(n-1) ,

B0=1, B1=29718, B2=1766319049, B(n+1)=59436*Bn + B(n-1) .

蔡家雄

求 y^2=2*x^2 -4 的解

1-----( x=2,  y=2 )

2-----( x=10,  y=14 )

3-----( x=58,  y=82 )

4-----( x=338,  y=478 )

5-----( x=1970,  y=2786 )

6-----( x=11482,  y=16238 )

7-----( x=66922,  y=94642 )

8-----( x=390050,  y=551614 )

特征：x/2 ，y/2 与佩尔数列密切相关。

蔡家雄

A031398 数据 无4k+3 的素因子，但方程 不存在 正整数解，

A031398                Squarefree n with no 4k+3 factors such that Pell equation x^2 - n y^2 = -1 is insoluble.               

34, 146, 178, 194, 205, 221, 305, 377, 386, 410, 466, 482, 505, 514, 545, 562, 674, 689,

706, 745, 793, 802, 866, 890, 898, 905, 1154, 1186, 1202, 1205, 1234, 1282, 1345, 1346,

1394, 1405, 1469, 1513, 1517, 1537, 1538, 1717, 1762, 1802, 1858 , ...

但，数学家究竟是根据什么定理判断它们为 无正整数解的呢？

蔡家雄

求 y^2=5*x^2 -4 的解

1-----( x=1,  y=1 )

2-----( x=2,  y=4 )

3-----( x=5,  y=11 )

4-----( x=13,  y=29 )

5-----( x=34,  y=76 )

6-----( x=89,  y=199 )

7-----( x=233,  y=521 )

8-----( x=610,  y=1364 )

9-----( x=1597,  y=3571 )

10-----( x=4181,  y=9349 )

11-----( x=10946,  y=24476 )

12-----( x=28657,  y=64079 )

13-----( x=75025,  y=167761 )

14-----( x=196418,  y=439204 )

15-----( x=514229,  y=1149851 )

特征：x 为斐波纳契兔子数，y 为卢卡斯数。

蔡家雄

求 y^2=8*x^2 -4 的解

1-----( x=1,  y=2 )

2-----( x=5,  y=14 )

3-----( x=29,  y=82 )

4-----( x=169,  y=478 )

5-----( x=985,  y=2786 )

6-----( x=5741,  y=16238 )

7-----( x=33461,  y=94642 )

8-----( x=195025,  y=551614 )

特征：x 为佩尔数，

蔡家雄

求 y^2=20*x^2 -4 的解

1-----( x=1,  y=4 )

2-----( x=17,  y=76 )

3-----( x=305,  y=1364 )

4-----( x=5473,  y=24476 )

5-----( x=98209,  y=439204 )

特征：两个连续x值的和为第6d个卢卡斯数，y=第(3+6d)个卢卡斯数。

蔡家雄

求 y^2=5*x^2+4 的解

1-----( x=1,  y=3 )

2-----( x=3,  y=7 )

3-----( x=8,  y=18 )

4-----( x=21,  y=47 )

5-----( x=55,  y=123 )

6-----( x=144,  y=322 )

7-----( x=377,  y=843 )

8-----( x=987,  y=2207 )

9-----( x=2584,  y=5778 )

10-----( x=6765,  y=15127 )

11-----( x=17711,  y=39603 )

12-----( x=46368,  y=103682 )

特征：x 为斐波纳契兔子数，y 为卢卡斯数。

蔡家雄

求 y^2=8*x^2+4 的解

1-----( x=2,  y=6 )

2-----( x=12,  y=34 )

3-----( x=70,  y=198 )

4-----( x=408,  y=1154 )

5-----( x=2378,  y=6726 )

6-----( x=13860,  y=39202 )

7-----( x=80782,  y=228486 )

特征：( x/2 )^2 为三角形数，