数论小猜想

蔡家雄

定义：模素数p的阶e

若 a^e   mod   p = 1，（e 为最小指数，p是奇素数）

则 称e为：已a为底，模素数p的阶。

当阶数 e = p - 1 时，

则 称a为模素数p的原根。


余数个数是 (p - 1) 的因子，余数之和是p的 d 倍。
当阶数 e 是偶数 时，d = e /2,
当阶数 e 是奇数 时，却没有 d 的统一计算公式，

若 a是素数p的原根，则 a+p*n 也是素数p的(广义)原根。
编程验证举例：（a=10,  p=29）
s = 0;
For[a = 10; p = 29; n = 1, n <= 30, n++,
If[MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1, s = s + 1;
  Print[s, "-----", a + p*n, "-----",
   MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1]]]

若 a是4k+1型素数p的原根，则 (p -a) 也是素数p的原根。（原根的互补性）

蔡家雄

求 a^k   mod   p 的 余数
(1 <= k为满足 a^k mod p = 1 的最小指数, p为素数.)

s = 0;
For[a = 7; p = 29; k = 1, k <= MultiplicativeOrder[a, p], k++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", k, "-----", p, "----", PowerMod[a, k, p]]]


求 a^k   mod   p 的 余数之和
(1 <= k为满足 a^k  mod  p = 1 的最小指数, p为素数.)

Sum[PowerMod[7, k, 29], {k, 1, MultiplicativeOrder[7, 29]}]


求出任意素数P 的所有 本原根 的计算方法

设 g 是素数P 的一个原根，

当 1 <= 2n -1 < P 且 2n -1 与 P -1 互素 时，

设 g^(2n -1)   mod   P = r，则 r 是 P 的原根。

s = 0;
For[g = PrimitiveRoot[P]; P = 29; n = 1, n <= (P - 1)/2, n++,
If[CoprimeQ[2 n - 1, P - 1], s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "---", 2 n - 1, "-----", P, "-----",
PowerMod[g, 2 n - 1, P], "-----", CoprimeQ[2 n - 1, P - 1]]]]

蔡家雄

求N以内素数的最小原根

s = 0;
For[P = 3, P <= 1000, P++, PrimitiveRoot[P];
If[PrimeQ[P], s = s + 1;
Print[s, "-----", P, "-----", PrimitiveRoot[P]]]]

蔡家雄

        一切有为法，
        如梦幻泡影，
        如露亦如电，
        应作如是观。

wesmond

shuxuestar 发表于 2018-8-13 00:25
蔡兄,  对于素数的分布规律今天的数学家研究的怎麼样了？ 据说是与螺旋有一定关联?

我找到了素数分布的精确数量规律，但还不能精确定位素数，所谓螺旋规律只对一部分素数有效，不是全部的。有兴趣可以看下我的文章！

王守恩

蔡家雄 发表于 2019-4-3 08:10
比 Erdos 猜想 4/p = 1/x+1/y+1/z 更难的

猜想：m =1, 2, 3, ......

看您的资料，方程 a^3+mab+b^3= c^3 好像有正整数解。我的电脑不行，每个m来一个！

蔡家雄

目前数学家们找到的A^4+B^4+C^4= D^4的解：

95800， 217519， 414560， 422481

673865， 1390400， 2767624， 2813001

1705575， 5507880， 8332208， 8707481

5870000， 8282543， 11289040， 12197457

4479031， 12552200， 14173720， 16003017

3642840， 7028600， 16281009， 16430513

2682440， 15365639， 18796760， 20615673

2164632， 31669120， 41084175， 44310257

10409096， 42878560， 65932985， 68711097

34918520， 87865617， 106161120， 117112081

1841160， 121952168， 122055375， 145087793

27450160， 108644015， 146627384， 156646737

186668000， 260052385， 582665296， 589845921

219076465， 275156240， 630662624， 638523249

558424440， 606710871， 769321280， 873822121

588903336， 859396455， 1166705840， 1259768473

50237800， 632671960， 1670617271， 1679142729

686398000， 1237796960， 1662997663， 1787882337

92622401， 1553556440， 1593513080， 1871713857

已经证明了有无穷多个解

王守恩

蔡家雄 发表于 2019-4-6 22:27
世纪难题：A^4+B^4+C^4= D^4 的特殊解公式的构造？

A=f(n)=a1*n^4+a2*n^3+a3*n^2+a4*n+a5, ( a 为整数） ...

我们是闹着玩的，别太认真！
(n^6+3n^5-2n^4+n^2+1)^4+(n^7+n^5-2n^3-3n^2+n)^4
=(n^7+n^5-2n^3+3n^2+n)^4+(n^6-3n^5-2n^4+n^2+1)^4

蔡家雄

我是怎么研发了蔡氏小猜想的？

a^3+1+b^3= c^3 有正整数解，
a^3+2+b^3= c^3 有正整数解，
但我找不到
a^3+3+b^3= c^3 的正整数解，研发了

蔡氏小猜想：n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。


我是由程氏类勾股数方程
a^2+mab+b^2= c^2，( m>=3 )
及我验证了
a^3+mab+b^3= c^3 均有正整数解，(m<=1000)
我甚至猜想
a^4+4ab+b^4= c^4 有且仅有一组正整数解，研发了

蔡氏小猜想：n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。

但，我不是由费马大定理想出来的。

蔡家雄

在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即：(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

蔡家雄猜想

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的双生素数,
即：(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4
s = 0;
For[n = 1, n <= 100 , n++,
For[p = (2 n)^2 - 4, p <= (2 n + 2)^2 - 4, p++,
If[(PrimeQ[p]) && (PrimeQ[p + 4]), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", p, "-----", p + 4]]]]