数论小猜想

蔡家雄

蔡家雄猜想

设 x为任意正整数，

若 p为12k-1型素数，（p=11,23,47,59,71,83, ...）

则 y^3=p*x+r 与 y^3=p*x -r 都有无穷多组整数解。

蔡家雄

如 y^3=61*x+10 与 y^3=61*x -10 都无整数解。

但 y^3=59*x+10 与 y^3=59*x -10 都有无穷多组整数解。

蔡家雄

平方剩余定理

设 x为任意正整数，

若 p为4k+1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 与 y^2=p*x -r 都有整数解。

设 x为任意正整数，

若 p为4k-1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 都有整数解，但 y^2=p*x -r 都无整数解。


非剩余定理

设 x为任意正整数，

若 p为4k+1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n-1)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 与 y^2=p*x -r 都无整数解。

设 x为任意正整数，

若 p为4k-1型素数，且 g是素数p的最小原根 ，

设 g^(2n-1)  mod  p = r（1<=n<=(p-1)/2）

则 y^2=p*x+r 都无整数解，但 y^2=p*x -r 都有整数解。

蔡家雄

设n为正整数，d为公差，

则 n*(n+d)*(n+2d)*(n+3d)+d^4 =(n^2+3nd+d^2)^2


设 2, a^2, b^2 成等差整数，

且 2*a^2*b^2+1=c^2,

求三整数（a, b, c）的通式？

蔡家雄

海伦三角形是指三边长及面积都是整数的三角形.
公元1世纪的希腊数学家海伦在他的《度量论》一书中，
给出过三边长分别为13,14,15其面积为84的三角形而得名.

三边长为连续整数及面积同为整数的海伦三角形？

求解：S=[(3k) * (k - 1) * k * (k+1) ] ^ (1/2) = 整数。

(6*1*2*3)^(1/2)=6
(21*6*7*8)^(1/2)=84
(78*25*26*27)^(1/2)=1170
(291*96*97*98)^(1/2)=16296
(1086*361*362*363)^(1/2)=226974
(4053*1350*1351*1352)^(1/2)=3161340
.................................................................................
递推公式
k(0)=1，k(1)=2，k(n)=4×k(n-1) - k(n-2)

通项公式
k(n) = [(2+√3)^n+(2 - √3)^n] / 2

蔡家雄

设 n>t>=1, 且 k>1,

猜想：n! / t! =x^k 无正整数解。

例：6*7*8*9=(9!)/(9-4)! =3024=x^k, 无正整数解。

蔡家雄

设 1, a^2, b^2 成等差整数，

求整数（a, b）的通解公式？

1-----a=5 , b=7

2-----a=29 , b=41

3-----a=169 , b=239

4-----a=985 , b=1393

蔡家雄

设 9, a^2, b^2 成等差整数，

求整数（a, b）的通解公式？

1-----a=15 , b=21

2-----a=87 , b=123

3-----a=507 , b=717

王守恩

蔡家雄 发表于 2020-5-29 20:23
设 7, a^2, b^2 成等差整数，

求整数（a, b）的通解公式？

           “爬楼梯”问题
203——a    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {3, 7, 11, 39}, n]
   3, 7, 11, 39, 63, 227, 367, 1323, 2139, 7711, 12467, 44943,

203——b    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {1, 9, 15, 55}, n]
   1, 9, 15, 55, 89, 321, 519, 1871, 3025, 10905, 17631, 63559,

204——a    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {4, 6, 18, 32}, n]
   4, 6, 18, 32, 104, 186, 606, 1084, 3532, 6318, 20586, 36824,

204——b    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {3, 7, 25, 45}, n]
   3, 7, 25, 45, 147, 263, 857, 1533, 4995, 8935, 29113, 52077,

205——a    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {4, 10, 14, 56}, n]
   4, 10, 14, 56, 80, 326, 466, 1900, 2716, 11074, 15830, 64544,

205——b    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {1, 13, 19, 79}, n]
   1, 13, 19, 79, 113, 461, 659, 2687, 3841, 15661, 22387, 91279,

207——a    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {2, 4, 8, 22}, n]
   2, 4, 8, 22, 46, 128, 268, 746, 1562, 4348, 9104, 25342, 53062,

207——b    LinearRecurrence[{0, 6, 0, -1}, {1, 5, 11, 31}, n]
   1, 5, 11, 31, 65, 181, 379, 1055, 2209, 6149, 12875, 35839, 75041,

蔡家雄

费尔马1 发表于 2018-1-16 08:12
谢谢蔡老师！

定理：a^2, b^2, c^2 成等差整数 有 正整数解。

猜想：a^n, b^n, c^n 成等差整数 无 正整数解。（n>2）

它等价于：a<b<c，(a^n+c^n)/2 = b^n 无 正整数解。（n>2）