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数论小猜想

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发表于 2016-7-10 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-10-20 14:51 编辑

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,
并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。
L5=708158977,

L6=1002978273411373057
   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)
   =127*7897466719774591,
已证:2^127 -1 是素数,
蔡家雄猜想:2^7897466719774591 -1 是大素数。

卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p -1) ≡ 0,
则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]


蔡家雄猜想

设P为素数,且4P+1同为素数,
若 (4P+1)  mod  40 ≡ 29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
蔡家雄猜想

设k为非负整数,
若30k+7和120k+29同为素数,
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

最新编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]


蔡家雄猜想:

设P和2P+1都是素数,
若 (2P+1)  mod  40 ≡ 7或19或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。


蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使    n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2

s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]

一个改进了的蔡家雄猜想

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数,
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]


若 C(2*n, n)   mod   n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。

蔡家雄猜想

设 n >= 5,
若 C(n^2, n)   mod   n^5 = n, 则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


蔡家雄猜想

设 n>=2,
设 P 和 2^(2^n)*P+1 都是素数,
若 2^(2^n)*P+1  mod  40 ≡ 17或33,
则 10 是 2^(2^n)*P+1 的原根。

这个猜想编程验证举例(n=2)

s = 0;
For[n = 2;  p = 2, p <= 100000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^(2^n)) p + 1]) && (Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 33), s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (2^(2^n)) p + 1, "-----",  MultiplicativeOrder[10,  (2^(2^n)) p + 1] == (2^(2^n)) p]]]



蔡家雄猜想:n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。



蔡家雄猜想:n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。


s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b,  "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]


\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式

\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)

\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)

\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)

\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)

\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)


蔡家雄猜想:n 为正整数,

\(n^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解。

\(1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3\)
\(2^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解,
\(3^3+18^3+24^3= (24+3)^3\)
\(4^3+17^3+22^3= (22+3)^3\)
\(5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3\)
\(6^3+51^3+120^3= (120+3)^3\)
\(7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3\)




蔡家雄奇数猜想:n 为奇数时,

\(n^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解。

\(1^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解,
\(3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3\)
\(5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3\)




定义:一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r),称为广义孪中。

广义孪中比猜想:

r=1, 正整数N 均可表为两个广义孪中之比。

r>1, 且r与N互素,N 可表为两个广义孪中之比。


广义孪中差猜想:

r与3互素:仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。

r =3k 时:所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。

r =6k 时:特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。

推论:两个广义孪中素数 同时+6k 与 同时 -6k 都是素数。


定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。

奇数双中比猜想:一奇数均可表为两个双中数之比。



对称8生连续素数15X±2, 15X±4, 15X±8, 15X±16 有 无穷多组。


定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。

孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。


定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。

双中比猜想:(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )




蔡家雄猜想:设 p为素数,

素数差(首项差2d)等比2,3 的k生素数是存在的。

素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。

则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)




最接近某类数的四生素数

其一:最接近三角数的四生素数:x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4

其二:最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
(等差2d,首奇数 r,)


其三:最接近3次方数的四生素数:x^3±2 和 x^3±4


素数p >3,最接近p次方数的四生素数:x^p±2 和 x^p±4



存在无穷个 x^2,  满足

从素数2开始,前 x^2 个连续素数的和,仍是素数!

从素数p开始,有 x^2 个连续素数的和,仍是素数!


素数方阵猜想

设 n>=2,  求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数,均有解。




蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

若 p为4k*R+1型素数,且 g是素数p的原根 ,

则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。


蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

设 p为4k*R+1型素数,且 1<r<p-1,

若 r^(2R - 2)  mod  p ≠ 1,(不同余于1)

则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。



定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。

孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

推广:三整数连比 均可表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C


—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

推广:四整数连比 均可表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D


—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。


2次abc 猜想(幂指数 x, y, z, t 均大于1)

\(已知:a^2+b^2+c^2=d^2 ,\)

\(试求:a^x+b^y+c^z=d^t  的另一组新解,可以有吗?\)


3次abc 猜想(幂指数 x, y, z, t 均大于1)

\(已知:a^3+b^3+c^3=d^3 ,\)

\(试求:a^x+b^y+c^z=d^t  的另一组新解,可以有吗?\)


\(27^x+84^y+110^z+133^r=144^t\)

\(x=y=z=r=t=5\),还有其它 非平凡解 吗?

\(27^5+84^5+110^5+133^5=144^5\)


蔡家雄8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 !!!

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有 无限多组 !!!

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 !!!

蔡家雄8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有 无限多组 !


蔡家雄偶数猜想

设 2n>=64, 至少存在一个素数p,

使 p与p+30 及 2n-p与2n-p-30 均为素数,

则 2n=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+30)+素数(2n-p-30) 均有解。



蔡氏偶数猜想的推论

设 2n>=94,

则 2n 均可表为同一位置的P 或 同一位置的(P+30) 的两个素数之和,

蔡氏偶数猜想比哥德巴赫猜想的数学意义要深远的多。


蔡氏偶数分拆

2n>=64=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+30)+素数(2n-p-30) 均有解。


2n>=280=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+210)+素数(2n-p-210) 均有解。


2n>=2644=素数(p)+素数(2n-p)=素数(p+2310)+素数(2n-p-2310) 均有解。



蔡氏偶数分拆

2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。

注:p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。


4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组,

8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组,


发表于 2018-1-15 15:05 | 显示全部楼层
老师您好:我想在那个国际公证网站上存放一篇文章,然后再找地方投稿,你上次发的那个网站名我记不清了,请您帮忙,把网站名发在我的某个帖子里,谢谢!
发表于 2018-1-16 08:12 | 显示全部楼层
谢谢蔡老师!
 楼主| 发表于 2018-1-23 13:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-8-26 20:01 编辑

我的另一类 单条件下 的最大循环节猜想

蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442,使 猜想成立!
ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/223
1/22222223
1/22222222223
1/222222222222222222222222222222222223
1/22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968,使 猜想成立!
ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/337
1/333337
1/3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310,使 猜想成立!
ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/4447
1/4444444447
1/44444444444444444447
1/44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691,使 猜想成立!   
ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/887
1/8887
1/888887
1/888888887
1/888888888887
1/888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759,使 猜想成立!  
ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/229
1/22229
1/22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数,                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624,使 猜想成立!
ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779

点评

最大循环节长度:数学语言怎么描述?能表达成指数函数?能表达成函数关系,我才有办法试试  发表于 2020-6-20 20:56
你这类涉及素数问题,我有兴趣,但我的数论基础不行,理解不确切,希望有更通俗的数学语言描述  发表于 2020-6-20 20:53
发表于 2018-3-19 14:02 | 显示全部楼层
证明这些猜想的真伪,必须有一流的验算工具,这个很难。

点评

不难我就没兴趣了,  发表于 2020-6-23 18:05
 楼主| 发表于 2018-8-7 21:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-7-31 21:48 编辑

三生素数连比 表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

83 : 89 : 97 = 121170870 : 129930210 : 141609330

83 : 89 : 97 = 420132720 : 450503760 : 490998480

83 : 89 : 97 = 479830470 : 514517010 : 560765730


三圆周率素数连比 表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

3 : 31 : 314159 = 770310 : 7959870 : 80666606430

3 : 31 : 314159 = 778050 : 8039850 : 81477136650

3 : 31 : 314159 = 2542050 : 26267850 : 266202628650

3 : 31 : 314159 = 9721080 : 100451160 : 1017988257240

3 : 31 : 314159 = 11252430 : 116275110 : 1178350718790

3 : 31 : 314159 = 12628350 : 130492950 : 1322436602550

3 : 31 : 314159 = 12713580 : 131373660 : 1331361859740

3 : 31 : 314159 = 16537950 : 170892150 : 1731848611350


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

11 : 13 : 17 : 19 = 108498390 : 128225370 : 167679330 : 187406310

11 : 13 : 17 : 19 = 331059960 : 391252680 : 511638120 : 571830840

11 : 13 : 17 : 19 = 382896360 : 452513880 : 591748920 : 661366440


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

101 : 103 : 107 : 109 = 246408690 : 251288070 : 261046830 : 265926210

101 : 103 : 107 : 109 = 4268397360 : 4352920080 : 4521965520 : 4606488240


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

191 : 193 : 197 : 199 = 1132305300 : 1144161900 : 1167875100 : 1179731700


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

821 : 823 : 827 : 829 = 174981839970 : 175408105110 : 176260635390 : 176686900530

发表于 2018-8-11 21:04 | 显示全部楼层

哈哈 这个猜想得证应该得百万大奖 像哥猜一样被证明 ..............
发表于 2018-8-13 00:25 | 显示全部楼层
蔡兄,  对于素数的分布规律今天的数学家研究的怎麼样了? 据说是与螺旋有一定关联?
发表于 2018-8-13 00:29 | 显示全部楼层
还有一个问题: 素数二进制的分布会不会更简洁?
发表于 2018-8-27 16:50 | 显示全部楼层

    支持蔡兄的研究.....   数学问题需要提出新方法 新运算...............
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