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数论小猜想

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发表于 2016-7-10 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-2-26 21:57 编辑

判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,

并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有:2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591,

已证:127 和 7897466719774591 都是素数,

已证:2^127 -1 是素数,据此 7897466719774591 是梅森素数,

即有:2^126*(2^127 -1) 是完全数,

以及:2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。


卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p -1) ≡ 0, 则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]


素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数,

若 30k+7 和 120k+29 都是素数,

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数,

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除,

若 2^n*P+1 ≡ 17或33(mod  40),

则 10 是 2^n*P+1 的原根,

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。




梅森素数与蔡氏完全循环节问题

设 素数 p >=7,

且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数,

若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数,

则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根,

则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .



最新编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]


蔡家雄猜想:

设P和2P+1都是素数,
若 (2P+1)  mod  40 ≡ 7或19或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。


蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使    n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2

s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]

一个改进了的蔡家雄猜想

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数,
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]


若 C(2*n, n)   mod   n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。

蔡家雄猜想

设 n >= 5,
若 C(n^2, n)   mod   n^5 = n, 则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


蔡家雄猜想:n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。



蔡家雄猜想:n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。


s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b,  "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]


\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式

\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)

\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)

\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)

\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)

\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)


蔡家雄猜想:n 为正整数,

\(n^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解。

\(1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3\)
\(2^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解,
\(3^3+18^3+24^3= (24+3)^3\)
\(4^3+17^3+22^3= (22+3)^3\)
\(5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3\)
\(6^3+51^3+120^3= (120+3)^3\)
\(7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3\)




蔡家雄奇数猜想:n 为奇数时,

\(n^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解。

\(1^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解,
\(3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3\)
\(5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3\)




定义:一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r),称为广义孪中。

广义孪中比猜想:

设 r=1, 则 正整数N 均可表为两个广义孪中之比。且 解数无穷。

设 r>1, 且 r与N 互素,则 N 可以表为两个广义孪中之比。且 解数无穷。


广义孪中差猜想:

设 r与3互素,则 仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。

设 r =3k 时:则 所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。

设 r =6k 时:则 特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。

推论:两个广义孪中素数 同时+6k 与 同时 -6k 都是素数。


定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。

奇数双中比猜想:一奇数均可表为两个双中数之比。



对称8生连续素数15X±2, 15X±4, 15X±8, 15X±16 有 无穷多组。


定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。

孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。


定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。

双中比猜想:(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )




蔡家雄猜想:设 p为素数,

素数差(首项差2d)等比2,3 的k生素数是存在的。

素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。

则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)




最接近某类数的四生素数

其一:最接近三角数的四生素数:x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4

其二:最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
(等差2d,首奇数 r,)


其三:最接近3次方数的四生素数:x^3±2 和 x^3±4


素数p >3,最接近p次方数的四生素数:x^p±2 和 x^p±4



存在无穷个 x^2,  满足

从素数2开始,前 x^2 个连续素数的和,仍是素数!

从素数p开始,有 x^2 个连续素数的和,仍是素数!


素数方阵猜想

设 n>=2,  求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数,均有解。




蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

若 p为4k*R+1型素数,且 g是素数p的原根 ,

则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。


蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

设 p为4k*R+1型素数,且 1<r<p-1,

若 r^(2R - 2)  mod  p ≠ 1,(不同余于1)

则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。



定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。

孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

推广:三整数连比 均可表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C


—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

推广:四整数连比 均可表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D


—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。


蔡氏8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 !!!

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有 无限多组 !!!

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 !!!

蔡氏8生素数猜想

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有 无限多组 !


蔡氏偶数分拆

设 2n >=64,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数,

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数,

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数分拆

2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。

注:p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。


4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组,

8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组,


同邻距的三生素数,

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,

最小解:p=7,  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解:p=11,( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解:p=13,( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解:p=17,( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解:p=19,( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解:p=23,(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解:p=23,(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解:p=31,( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解:p=31,( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解:p=37,( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解:p=37,( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解:p=41,( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解:p=43,( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解:p=47,( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解:p=53,( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解:p=59,( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解:p=61,( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解:p=67,( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解:p=71,( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解:p=73,( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解:p=79,( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解:p=83,( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解:p=89,( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解:p=97,( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 !!!


稀有的三连同邻距的三生素数,

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)

猜想:罕见的四连同邻距的三生素数 存在 !!!!


若 m 为正整数,p1 , p2  均为素数,

则 42m=素数(14m+p1)+素数(14m+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于6的两个相差6 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,

大于6的两个相差12 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,

大于6的两个相差18 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,

大于6的两个相差24 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,

大于8的两个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,

.........................................................................................................

大于14的两个相差210 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+30=素数p1+素数(30+p2) 与 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差60 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 与 2m+120=素数p1+素数(120+p2) 均有解。


蔡氏偶数分拆

大于10的三个相差150 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+150=素数p1+素数(150+p2) 与 2m+300=素数p1+素数(300+p2) 均有解。


非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,

设 30C =300,600,2700,3600,3900,6000,7200,9000,

则 2m+30 =素数p1+素数(30+p2) 与 2m+30C =素数p1+素数(30C+p2) 均有解。


非等差的三个蔡氏偶数分拆存在

设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,

设 60C =3300,3900,4500,6000,7200,9000,

则 2m+60 =素数p1+素数(60+p2) 与 2m+60C =素数p1+素数(60C+p2) 均有解。


设 n 为固定正整数,k 为正整数,t 为固定正奇数,

且 2n > t,及 ( n, t ) = 1 .

求证:数列2n*k+t 中的差2n素数对有无限多对,

则有无限多个k,使得 2n*k+t 与 2n*(k+1)+t 均为素数。



有无限多对四生素数 p, (p+2), (p+6), (p+8) ,

使得:p+30, (p+2)+30, (p+6)+30, (p+8)+30  也是 四生素数。

使得:p+210, (p+2)+210, (p+6)+210, (p+8)+210  也是 四生素数。

使得:p+2310, (p+2)+2310, (p+6)+2310, (p+8)+2310  也是 四生素数。

使得:p+30030, (p+2)+30030, (p+6)+30030, (p+8)+30030  也是 四生素数。


【再生差2n素数对 有 无限多组】

设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,

设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
  

【再生差2n素数对 有 无限多组】

设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,
  
设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,

使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。

及 (p1+n)*k^2 -n =p5 与 (p1+n)*k^2+n =p6 也是 差2n素数对。




【再生等差30的四生素数对 有 无限多组】

设 k 为 固定正整数,且 15 与 k 互素,

设 (p, p+30, p+60, p+90) 是 等差30的四生素数对,

使 (p+45)*k -45, (p+45)*k -15, (p+45)*k+15, (p+45)*k+45 也是 等差30的四生素数对。

例 k=4 时的两对 再生等差30的四生素数对 有 无限多组,

(397429, 397459, 397489, 397519) 与 (1589851, 1589881, 1589911, 1589941)

(2219123, 2219153, 2219183, 2219213) 与 (8876627, 8876657, 8876687, 8876717)

(3686561, 3686591, 3686621, 3686651) 与 (14746379, 14746409, 14746439, 14746469)

(4076951, 4076981, 4077011, 4077041) 与 (16307939, 16307969, 16307999, 16308029)

(4661717, 4661747, 4661777, 4661807) 与 (18647003, 18647033, 18647063, 18647093)

(4968149, 4968179, 4968209, 4968239) 与 (19872731, 19872761, 19872791, 19872821)

(5842841, 5842871, 5842901, 5842931) 与 (23371499, 23371529, 23371559, 23371589)

(7043173, 7043203, 7043233, 7043263) 与 (28172827, 28172857, 28172887, 28172917)

(8682209, 8682239, 8682269, 8682299) 与 (34728971, 34729001, 34729031, 34729061)



【再生等差2310的六生素数对 有 无限多组】

设 k 为 固定正整数,且 1155 与 k 互素,

设 (p, p+2310, p+4620, p+6930, p+9240, p+11550) 是 等差2310的六生素数对,

使 (p+5775)*k -5775, (p+5775)*k -3465, (p+5775)*k -1155, (p+5775)*k+1155, (p+5775)*k+3465, (p+5775)*k+5775 也是 等差2310的六生素数对。

例 k=13 时的两对 再生等差2310的六生素数对 有 无限多组,

有 (267857, 270167, 272477, 274787, 277097, 279407)

与 (3551441, 3553751, 3556061, 3558371, 3560681, 3562991)

有 (2517227, 2519537, 2521847, 2524157, 2526467, 2528777)

与 (32793251, 32795561, 32797871, 32800181, 32802491, 32804801)


三素数猜想(加3型)

设 2n+1 >=61,且 p1, p2, p3=2*p2+3 都是素数,

则 2n+1=p1+2*p2 与 2n+4=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

三素数猜想(减3型)

设 2n+3 >=9,且 p1, p2, p3=2*p2 -3 都是素数,

则 2n+3=p1+2*p2 与 2n=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。

蔡氏三素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏四素数猜想

设 2n+15 >=49,且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数,

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏四素数猜想

设 2n+105 >=169,且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数,

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。



蔡氏八素数猜想

设 2n >=64,

且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15, p5, p6, p7=2*p6 -15, p8=2*p6+15 都是素数,

则 2n -30=p1+p3, 2n -15=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+15=p5+2*p6, 2n+30=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏八素数猜想

设 2n >=280,

且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105, p5, p6, p7=2*p6 -105, p8=2*p6+105 都是素数,

则 2n -210=p1+p3, 2n -105=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+105=p5+2*p6, 2n+210=p5+p8,

至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。

蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)

设 2n >=32,且 p1, p2=p1+30, p3, p4 都是素数,

且 p3 <=p4,  且 p3 是与2n, 2n+30 都互素的最小素数,

则 2n=p1+p3*p4 , 2n+30=p2+p3*p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)

设 2n >=62,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数,

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+630 都互素的最小素数,

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)

设 2n >=62,且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数,

且 p4 <=p5,  且 p4 是与2n, 2n+420, 2n+840 都互素的最小素数,

则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。


任一正整数均可表为 一个质数 与 一个平方数 的差。

64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......


任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。

2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8

2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12

2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16

2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18

2=15398217140735709790332844752065729-63^19(最小解)


【公式化的完美立方数】

设 D^3=A^3+B^3+C^3,

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,

求证:若 m>=2,则 (m^2*(2m^2 -1)(2m^2+1))^3=A^3+B^3+C^3 是 完美立方数。


【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3,其中 P, A, B, C 都是质数,

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合,由 Treenewbee 程序计算,

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3,其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数,

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3,E^3=e1^3+e2^3+e3^3,F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解,

求 质数 P= ?  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ?  由 Treenewbee 程序计算,

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3


发表于 2018-1-15 15:05 | 显示全部楼层
老师您好:我想在那个国际公证网站上存放一篇文章,然后再找地方投稿,你上次发的那个网站名我记不清了,请您帮忙,把网站名发在我的某个帖子里,谢谢!
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发表于 2018-1-16 08:12 | 显示全部楼层
谢谢蔡老师!
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 楼主| 发表于 2018-1-23 13:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-8-26 20:01 编辑

我的另一类 单条件下 的最大循环节猜想

蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442,使 猜想成立!
ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/223
1/22222223
1/22222222223
1/222222222222222222222222222222222223
1/22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968,使 猜想成立!
ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/337
1/333337
1/3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310,使 猜想成立!
ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/4447
1/4444444447
1/44444444444444444447
1/44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691,使 猜想成立!   
ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/887
1/8887
1/888887
1/888888887
1/888888888887
1/888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759,使 猜想成立!  
ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/229
1/22229
1/22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数,                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624,使 猜想成立!
ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779

点评

cz1
一条龙素数!!!!!!!!!  发表于 2023-2-15 09:09
最大循环节长度:数学语言怎么描述?能表达成指数函数?能表达成函数关系,我才有办法试试  发表于 2020-6-20 20:56
你这类涉及素数问题,我有兴趣,但我的数论基础不行,理解不确切,希望有更通俗的数学语言描述  发表于 2020-6-20 20:53
发表于 2018-3-19 14:02 | 显示全部楼层
证明这些猜想的真伪,必须有一流的验算工具,这个很难。

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不难我就没兴趣了,  发表于 2020-6-23 18:05
 楼主| 发表于 2018-8-7 21:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-7-31 21:48 编辑

三生素数连比 表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

83 : 89 : 97 = 121170870 : 129930210 : 141609330

83 : 89 : 97 = 420132720 : 450503760 : 490998480

83 : 89 : 97 = 479830470 : 514517010 : 560765730


三圆周率素数连比 表为 三个孪中数连比。

即:a : b : c = A : B : C

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。

3 : 31 : 314159 = 770310 : 7959870 : 80666606430

3 : 31 : 314159 = 778050 : 8039850 : 81477136650

3 : 31 : 314159 = 2542050 : 26267850 : 266202628650

3 : 31 : 314159 = 9721080 : 100451160 : 1017988257240

3 : 31 : 314159 = 11252430 : 116275110 : 1178350718790

3 : 31 : 314159 = 12628350 : 130492950 : 1322436602550

3 : 31 : 314159 = 12713580 : 131373660 : 1331361859740

3 : 31 : 314159 = 16537950 : 170892150 : 1731848611350


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

11 : 13 : 17 : 19 = 108498390 : 128225370 : 167679330 : 187406310

11 : 13 : 17 : 19 = 331059960 : 391252680 : 511638120 : 571830840

11 : 13 : 17 : 19 = 382896360 : 452513880 : 591748920 : 661366440


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

101 : 103 : 107 : 109 = 246408690 : 251288070 : 261046830 : 265926210

101 : 103 : 107 : 109 = 4268397360 : 4352920080 : 4521965520 : 4606488240


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

191 : 193 : 197 : 199 = 1132305300 : 1144161900 : 1167875100 : 1179731700


四生素数连比 表为 四个孪中数连比。

即:a : b : c : d = A : B : C : D

—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。

821 : 823 : 827 : 829 = 174981839970 : 175408105110 : 176260635390 : 176686900530

 楼主| 发表于 2019-3-5 16:55 | 显示全部楼层
定义:模素数p的阶e

若 a^e   mod   p = 1,(e 为最小指数,p是奇素数)

则 称e为:已a为底,模素数p的阶。

当阶数 e = p - 1 时,

则 称a为模素数p的原根。


余数个数是 (p - 1) 的因子,余数之和是p的 d 倍。
当阶数 e 是偶数 时,d = e /2,
当阶数 e 是奇数 时,却没有 d 的统一计算公式,

若 a是素数p的原根,则 a+p*n 也是素数p的(广义)原根。
编程验证举例:(a=10,  p=29)
s = 0;
For[a = 10; p = 29; n = 1, n <= 30, n++,
If[MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1, s = s + 1;
  Print[s, "-----", a + p*n, "-----",
   MultiplicativeOrder[a + p*n, p] == p - 1]]]

若 a是4k+1型素数p的原根,则 (p -a) 也是素数p的原根。(原根的互补性)
 楼主| 发表于 2019-3-13 17:59 | 显示全部楼层
求 a^k   mod   p 的 余数
(1 <= k为满足 a^k mod p = 1 的最小指数, p为素数.)


s = 0;
For[a = 7; p = 29; k = 1, k <= MultiplicativeOrder[a, p], k++,
s = s + 1;
Print[s, "-----", a, "---", k, "-----", p, "----", PowerMod[a, k, p]]]


求 a^k   mod   p 的 余数之和
(1 <= k为满足 a^k  mod  p = 1 的最小指数, p为素数.)


Sum[PowerMod[7, k, 29], {k, 1, MultiplicativeOrder[7, 29]}]


求出任意素数P 的所有 本原根 的计算方法

设 g 是素数P 的一个原根,

当 1 <= 2n -1 < P 且 2n -1 与 P -1 互素 时,

设 g^(2n -1)   mod   P = r,则 r 是 P 的原根。

s = 0;
For[g = PrimitiveRoot[P]; P = 29; n = 1, n <= (P - 1)/2, n++,
If[CoprimeQ[2 n - 1, P - 1], s = s + 1;
Print[s, "-----", g, "---", 2 n - 1, "-----", P, "-----",
PowerMod[g, 2 n - 1, P], "-----", CoprimeQ[2 n - 1, P - 1]]]]
 楼主| 发表于 2019-3-13 19:10 | 显示全部楼层
求N以内素数的最小原根

s = 0;
For[P = 3, P <= 1000, P++, PrimitiveRoot[P];
If[PrimeQ[P], s = s + 1;
Print[s, "-----", P, "-----", PrimitiveRoot[P]]]]

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Mathematica 作为基于列表的编程和函数式编程(Table, Map等),一般不用for循环的  发表于 2023-3-21 10:30
 楼主| 发表于 2019-3-27 06:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-2-18 10:12 编辑

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n≥3 ,              
                                                         
若 (10^n - 1)÷9×2+1是素数,   
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根,
  
则 1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                              
有 n=3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442,......

ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]


设 n≥3 ,         
                                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×3+4是素数,  
                                                
则 10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根,

则 1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大的完全循环节长。                                            
                                                                              
有 n=3, 6, 46, 394, 978, 2586, 2811, 2968,......

ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]


设 n≥3 ,   
                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×4+3是素数,
                                                  
则 10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根,

则 1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大的完全循环节长。                                               
                                                                                 
有 n=4, 10, 20, 26, 722, 1310,......

ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      


设 n≥3 ,      
                                                                       
若 (10^n - 1)÷9×8-1是素数,
                                               
则 10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根,

则 1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大的完全循环节长。                                         
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691,......  

ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      


设 n≥3 ,     
                                                            
若 (10^n - 1)÷9×2+7是素数,
                                                   
则 10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根,

则 1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大的完全循环节长。                                             
                                                                                       
有 n=3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759,.......

ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]


设 n≥3 ,
                                                                    
若 (10^n - 1)÷9×7+2是素数,
                                             
则 10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根,

则 1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大的完全循环节长。                                          
                                                                           
有 n=66, 86, 90, 102, 386, 624,......

ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

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好,赞&#128077;  发表于 2021-5-11 15:21
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