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我确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法

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发表于 2016-4-30 03:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 fmcjw 于 2016-5-27 01:30 编辑

陈建伟                                                                           

                                                              前言   

关于费马大定理这个困扰了我们三百多年的数学难题,似乎已经被怀尔斯所证明,但其证明用到了费马时代还没有的数学理论!因此,无论其是否真的证明了这个定理,他的证法都不是费马所说的方法!至今究竟有没有初等方法的证明仍然未知。

对于这个命题笔者确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法。在这里笔者仅对n大于2等于奇数时的情况作出论证。

                                                                证明

因为对此命题的证明已经归结为对奇素数的n进行证明了,这是当前数学界的共识,所以只要证明方程x^n+y^n=z^n在n=2k+1时                                                                                                  

                                x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1  (x,y,z均为正整数时)                                                                      (1)

就算是彻底证明了费尔马大定理(2k+1 包含了所有的奇素数)。

由(1)可知,它表明当x,y,z均为正整数时,x^2k+1+y^2k+1不可能等于一个正整数z的2k+1次幂。为什么呢?找到了原因回答了这个问题也就证明了此命题。下面我们就来回答以上问题:

一:当n=3时,假设x^3+y^3=z^3,那么说明x^3+y^3是一个正整数的3次幂,若有方法判断x^3+y^3不可能是一个完全立方数,则证明假设错误,即x^3+y^3=/=z^3.

为什么n=3时一定是x^3+y^3=/=z^3呢?因为

                              x^3+y^3=(x+y)^3_3xy(x+y)=(x+y)[(x+y)^2_3xy]=(x+y)(x^2+y^2_xy)                                          (2)

由(2)可知,(x^2+y^2_xy)不可能等于(x+y)^2,则(x+y)(x^2+y^2_xy)就不可能是一个完全立方数,即x^3+y^3不可能是一个完全立方数,若x^3+y^3=z^3,则z必定是无理数,
因为z^3= z*z^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy),若z为正整数则只能有不等式x^3+y^3=/=z^3(x,y,z均为正整数时)存在。所以当n=3时,方程x^3+y^3=z^3没有正整数解。

二:n=5时,若z^5=x^5+y^5,则说明x^5+y^5是一个正整数的5次幂,但是:

                           x^5+y^5=(x+y)^5_5xy(x+y)(x^2+y^2+xy)

                                        =(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)                                                                                   (3)

(3)式中(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)  不可能等于(x+y)^4,那么(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2)  就不可能是一个正整数的5次幂,因为z^5= z*z^4=x^4+y^4=(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2).所以z必定是无理数,若z是正整数则z^5=/=x^5+y^5(x,y,z均为正整数时).

三:n=7,有:

                         x^7+y^7=(x+y)(x^6+y^6_x^5y_xy^5+x^4y^2+x^2y^4_x^3y^3)                                                            (4)

同理,由 (4)可知,z必定是无理数,若z是正整数则z^7=/=x^7+y^7.

四:n=9时有:

                         x^9+y^9=(x+y)(x^8+y^8_x^7y_xy^7+x^6y^2+x^2y^6_x^5y^3_x^3y^5+x^4y^4)                                   (5)

同理,由 (5)可知,z必定是无理数,若z是正整数则z^9=/=x^9+y^9.







k:n=2k+1时有:

x^2k+1+y^2k+1=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)           (k+1)                                                               

由(k+1)式可知,x^2k+1+y^2k+1不可能是一个正整数的2k+1次幂,所以z必定是无理数,若z是正整数则必有

                             x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1     (x,y,z均为正整数时)                                                                         (a)

(a)就是我们得到的最终结论。由此式可推出

                              x^4k+2+y^4k+2=/=z^4k+2     (x,y,z均为正整数时)                                                                        (b)

则我们就证明了n>2=2k+1,4k+2 的情况下费马大定理成立。还有n=4k时没有证明,若证明n=4时x^4+y^4=/=z^4,则等于就证明了n=4k时的情况。

                                                                     后记

也许人们会提出由此法能证明n=2,n=4这两种情况吗?答案是肯定的。比如n=2时有:
                              z^2=x^2+y^2=(x+y)^2_2xy                                                                                                              (A)
则由(A)可得:
                              z^2+2xy=(x+y)^2                                                                                                                             (A)’
如果(A)’式成立,那么只有在z^2=x^2+y^2时才行,z^2=x^2+y^2就说明x^2+y^2是可以等于一个完全平方数的。
那么x^2+y^2究竟可不可能是一个正整数的二次幂呢?现用另一方法再证明如下:

设c    令x-c=a,y-c=b,(a,b,c均为正整数)则x=c+a,y=c+b,代入(A)得
                                 
(c+a)^2+(c+b)^2=c^2+2ca+a^2+c^2+2cb+b^2                                                                                       
                          =c^2+2c(a+b)+a^2+b^2+c^2                     
                          =c^2+2c(a+b)+(a+b)^2-2ab+c^2                     
                          =[(a+b)+c]^2+c^2-2ab
显然当c^2-2ab=0 有:
     
                                (c+a)^2+(c+b)^2=[(a+b)+c]^2                                                                                                       (A)''
因此将c=(2ab)^1/2代入(A)''得:
                                [a+(2ab)^1/2]^2+[b+(2ab)^1/2]^2=[(a+b)+(2ab)^1/2]^2                                                                 (A)'''
当 2ab为平方数时(2ab)^1/2就是正整数,由式 (A)''' 可知 x^2+y^2的确可以等于一个完全平方数。

对于n=4,笔者不知费马是怎么证明的,但用以上同样的方法也是完全可以证明的。例如:
  n=4时有:
                              z^4=x^4+y^4=(x+y)^4_4x^3y_6x^2y^2_4xy^3                    
                                                   =(x+y)^4_4xy(x^2+y^2)_6x^2y^2
                                                   =(x+y)^4_4xy(x+y)^2+8x^2y^2_6x^2y^2
                                                   =(x+y)^2[(x+y)^2_4xy]+2x^2y^2
                                                   =(x+y)^2(x_y)^2+2x^2y^2
即                                         
                                              z^4=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2                                                                                              (B)
将(B)式等号两边同除以x^2y^2得
                                 (z^2/xy)^2=[(x^2_y^2)/xy]^2+2                                                                                                     (B)'
由式(B)'可知,它表示一个平方数等于另一个平方数与2的和,这在非零自然数中显然是不可能的,很易证明是不成立的。所以有
                                 (z^2/xy)^2=/=[(x^2_y^2)/xy]^2+2         (x,y,z均为非零自然数时)                                                   (B)''

由不等式(B)''就证明(B)式不可能成立,除非z是无理数。因此,当x,y,z均为非零自然数时
                                 z^4=/=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2
                                      =/=x^4+y^4                                                                                                                              (B)'''
由式 (B)'''自然可推出
                                  z^4k=/=x^4k+y^4k                                                                                                                        (C)
至此,由不等式(a),(b),(C)可知,方程 x^n+y^n=z^n在n=4k ,4k+2 ,2k+1时均没有正整数解。而4k ,4k+2 ,2k+1包含了所有大于2的正整数,所以费尔马大定理得证成立。

根据以上证法可知,费马大定理的证明,关键就在于判断方程 x^n+y^n=z^n中的x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂。找到了否定的答案当然就证明了这个命题。仅从方程 x^n+y^n=z^n就可知,它本身就表示无论n取何值,两个完全n次方数的和等于一个完全n次方数。因此本文仅利用二项式定理就对x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂作出了否定的判断,从而证明了这个命题。

  补充证明:
                         若(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数,那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。”  为什么?
答:因为当(x^2+y^2_xy)=(x+y)^2时,(x+y)(x^2+y^2_xy)=(x+y)^3就是一个立方数,但这是不可能的。
因此,(x+y)(x^2+y^2_xy)=x^3+y^3=/=z^3,即(x+y)(x^2+y^2_xy)不可能是一个立方数。若z^3=x^3+y^3那么当x,y为正整数,则z就必为无理数。故z^3=x^3+y^3无正整数解。
2:证明:

              x^2+y^2_xy=/=(x+y)^2
则令x^2+y^2_xy=A,(A为非平方正整数)得
            (x+y)(x^2+y^2_xy)=x^3+y^3=(x+y)A=xA+yA

             x^3+y^3=(x+y)A
                          =xA+yA
由上式必得
x^2 =A;y^2=A。【因x+y=x(x^2/A)+y(y^2/A)】

x^2+y^2_xy= x^2
x^2+y^2_xy=y^2
x^2=y^2
既然
x^2=y^2,

x^3=y^3
所以有
x^3+y^3=2x^3=z^3                                               (1)

x^3+y^3=2y^3=z^3                                               (2)
那么
z=(2^1/3)x                                                          (1)’

z=(2^1/3)y                                                          (2)’
由(1)’,(2)’两式就证明当n=3,x,y为正整数时,方程z^3=x^3+y^3中的z必是无理数。所以费马定理得证成立。
同理  n=2k+1,x,y为正整数时必可得

   z=(2^1/2k+1)x                                                    (d)

   z=(2^1/2k+1)y                                                    (d)'
这就是方程z^n=x^n+y^n在n>2,x,y为正整数时z必是无理数的代数证明。

由(x+y)(x^2+y^2_xy)==x^3+y^3也可直接得出x,y必须相等此式才成立,推导如下:
因为
          (x+y)(x^2+y^2_xy)==x^3+y^3
所以
x+y==(x^3+y^3)/x^2+y^2_xy
     ==(x^3/x^2+y^2_xy)+(y^3/x^2+y^2_xy)
     ==x(x^2/x^2+y^2_xy)+y(y^2/x^2+y^2_xy)
显然,上式只有在(x^2/x^2+y^2_xy)=1,(y^2/x^2+y^2_xy)=1时才能成立。因此
x^2=x^2+y^2_xy,即:y^2_xy=y(y-x)=0,可见,只有x=y时y(y-x)=0,同理
y^2=x^2+y^2_xy,即:x^2_xy=x(x-y)=0,可见,只有x=y时x(x-y)=0。
所以z^3=x^3+y^3时,因x^3+y^3==(x+y)(x^2+y^2_xy),则x==y,必定得
         z^3==2x^3
或者
         z^3==2y^3
这就证明当n=3,x,y为正整数时 z必定为无理数。

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  • · 数论|主题: 6, 订阅: 1
 楼主| 发表于 2016-4-30 12:22 | 显示全部楼层
87674938 发表于 2016-4-30 09:38
你的证明有问题: 对于 (2) 式,x^3 + y^3 是不会等于 (x + y)^3 的!

首先谢谢先生对本文的关注!先生的观点“对于 (2) 式,x^3 + y^3 是不会等于 (x + y)^3 的!”是非常正确的。但是,因为z^3= z*z^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy),在等式
               z*z^2=(x+y)(x^2+y^2_xy)
中, z=(x+y),z^2 =(x^2+y^2_xy)必要求 z*z^2= (x + y)^3。这就是方程x^3+y^3=z^3自身存在的矛盾,所以,若z为正整数则只能有不等式x^3+y^3=/=z^3(x,y,z均为正整数时)存在。所以当n=3时,方程x^3+y^3=z^3没有正整数解。不知先生以为然否?
 楼主| 发表于 2016-4-30 12:30 | 显示全部楼层
欢迎各位先生斧正!
 楼主| 发表于 2016-4-30 12:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 fmcjw 于 2016-4-30 13:00 编辑

由z^2k+1=z*z^2k=x^2k+1+y^2k+1=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k) 可知,z必等于(x+y),z^2k必等于(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k),所以,这就必要求z^2k+1=(x+y)^2k+1,但由于  (x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k)不可能等于 (x+y)^2k从而使得(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k) 不可能等于(x+y)^2k+1,因此,当xyz均为正整数时,只存在x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1,而z*z^2k=x^2k+1+y^2k+1只不过是一个假等式而已。                                                            

当然,若x,y为正整数,z不要求是正整数时方程z*z^2k=x^2k+1+y^2k+1是存在的。
 楼主| 发表于 2016-5-2 08:05 | 显示全部楼层
由本文证法可知,它不仅方法简单、巧妙,而且与毕达哥拉斯定理即勾股定理无关。可见费马定理的证明完全无需利用勾股定理,相反,此法倒是又一个证明勾股定理的方法。
 楼主| 发表于 2016-5-4 04:42 | 显示全部楼层
fmcjw 发表于 2016-4-30 12:22
首先谢谢先生对本文的关注!先生的观点“对于 (2) 式,x^3 + y^3 是不会等于 (x + y)^3 的!”是非常正确 ...

因为由原方程z^3= x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy)可知,(x+y)(x^2+y^2_xy)是一个完全立方数,它必可化为 z*z^2的形式,这是由原方程z*z^2=(x+y)(x^2+y^2_xy)所确定的。由因式(x+y)(x^2+y^2_xy)本身可知,它只有在(x^2+y^2_xy)=(x+y)^2时才是一个完全立方数,但这是不可能的,(x^2+y^2_xy)=/=(x+y)^2,那么(x+y)(x^2+y^2_xy)=/=(x+y)^3,这就证明x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy)根本不可能是一个正整数的三次幂,所以,若z是正整数,则:z^3=/= x^3+y^3
 楼主| 发表于 2016-5-4 05:29 | 显示全部楼层
87674938 发表于 2016-5-2 14:13
!!!!!!!!

先生的意思是x^3 + y^3 不会等于 (x + y)^3 ,但确可能等于其他正整数的三次幂?因此我的证明有问题对吧?
可是先生您确忘了x^3 + y^3 =(x+y)(x^2+y^2_xy)!如果(x+y)(x^2+y^2_xy)是一个正整数的三次幂,难道不应该是(x+y)的三次幂吗?正因为当(x+y)(x^2+y^2_xy)是一个正整数的三次幂时,必定只有在(x^2+y^2_xy)=(x+y)^2时才可能。但这是不可能的,因此,正如先生的观点:x^3 + y^3 是不会等于 (x + y)^3 的!所以,x^3 + y^3 是不可能等于一个完全立方数的。则必有z^3=/= x^3+y^3。
发表于 2016-5-4 11:17 | 显示全部楼层
请楼主考虑下面的情况:若x+y=d^3,x^2+y^2-xy=g^3,那么
  x^3+y^3=z^3是否成立,楼主如何排除?
 楼主| 发表于 2016-5-5 04:10 | 显示全部楼层
王成5 发表于 2016-5-4 11:17
请楼主考虑下面的情况:若x+y=d^3,x^2+y^2-xy=g^3,那么
  x^3+y^3=z^3是否成立,楼主如何排除?

谢谢先生的关注!对于先生所述的情况回复如下:
若x+y=d^3,x^2+y^2-xy=g^3,那么 x^3+y^3=z^3是否成立?答案是否定的!为何?
因为在z^3= x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy)中,无论(x+y)是一个什么正整数,它可以是一个平方数,也可以是一个立方数,还可以是一个正整数的k次幂。但是,若:
(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数,那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。
因此,若
x+y=d^3,
则有
d^3(x^2+y^2_xy)=z^3,
即只有当:
(x^2+y^2_xy)=(d^3)^2

(x+y)(x^2+y^2_xy)=d^3(x^2+y^2_xy)=d^3(d^3)^2=(d^3)^3=z^3
才表示(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个完全立方数。这说明若
x^2+y^2-xy=g^3,
则g必须等于d^2,故g^3=(d^2)^3
可问题是
(x^2+y^2_xy)不可能等于(x+y)^2,也就是不可能等于(d^3)^2,所以
(x+y)(x^2+y^2_xy)=/=(d^3)^3
即(x+y)(x^2+y^2_xy)绝不可能是一个正整数的三次幂,那么z就不可能是正整数。同理,n>2=2k+1时,z都不可能是正整数,则费马定理得证。
发表于 2016-5-5 12:51 | 显示全部楼层
请楼主把下划线 _ 改成减号 - 。
看了楼主的证明,有些和我的证明相似之处,都是利用了因式分解,X^n+Y^n=(X+Y)W.
X+Y必须为素数,楼主的证明是对的,但是楼主的证明有个问题,X+Y不为素数呢?比如X+Y=A^m呢?(A,m都为整数)那么楼主的证明就有问题了。我也有过你这样的思路,但是你必须证明X+Y不为素数的情况。
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