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本帖最后由 fmcjw 于 2016-5-27 01:30 编辑
陈建伟
前言
关于费马大定理这个困扰了我们三百多年的数学难题,似乎已经被怀尔斯所证明,但其证明用到了费马时代还没有的数学理论!因此,无论其是否真的证明了这个定理,他的证法都不是费马所说的方法!至今究竟有没有初等方法的证明仍然未知。
对于这个命题笔者确信找到了费尔马所称的“绝妙”证法。在这里笔者仅对n大于2等于奇数时的情况作出论证。
证明
因为对此命题的证明已经归结为对奇素数的n进行证明了,这是当前数学界的共识,所以只要证明方程x^n+y^n=z^n在n=2k+1时
x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1 (x,y,z均为正整数时) (1)
就算是彻底证明了费尔马大定理(2k+1 包含了所有的奇素数)。
由(1)可知,它表明当x,y,z均为正整数时,x^2k+1+y^2k+1不可能等于一个正整数z的2k+1次幂。为什么呢?找到了原因回答了这个问题也就证明了此命题。下面我们就来回答以上问题:
一:当n=3时,假设x^3+y^3=z^3,那么说明x^3+y^3是一个正整数的3次幂,若有方法判断x^3+y^3不可能是一个完全立方数,则证明假设错误,即x^3+y^3=/=z^3.
为什么n=3时一定是x^3+y^3=/=z^3呢?因为
x^3+y^3=(x+y)^3_3xy(x+y)=(x+y)[(x+y)^2_3xy]=(x+y)(x^2+y^2_xy) (2)
由(2)可知,(x^2+y^2_xy)不可能等于(x+y)^2,则(x+y)(x^2+y^2_xy)就不可能是一个完全立方数,即x^3+y^3不可能是一个完全立方数,若x^3+y^3=z^3,则z必定是无理数,
因为z^3= z*z^2=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2_xy),若z为正整数则只能有不等式x^3+y^3=/=z^3(x,y,z均为正整数时)存在。所以当n=3时,方程x^3+y^3=z^3没有正整数解。
二:n=5时,若z^5=x^5+y^5,则说明x^5+y^5是一个正整数的5次幂,但是:
x^5+y^5=(x+y)^5_5xy(x+y)(x^2+y^2+xy)
=(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2) (3)
(3)式中(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2) 不可能等于(x+y)^4,那么(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2) 就不可能是一个正整数的5次幂,因为z^5= z*z^4=x^4+y^4=(x+y)(x^4+y^4_x^3y_xy^3+x^2y^2).所以z必定是无理数,若z是正整数则z^5=/=x^5+y^5(x,y,z均为正整数时).
三:n=7,有:
x^7+y^7=(x+y)(x^6+y^6_x^5y_xy^5+x^4y^2+x^2y^4_x^3y^3) (4)
同理,由 (4)可知,z必定是无理数,若z是正整数则z^7=/=x^7+y^7.
四:n=9时有:
x^9+y^9=(x+y)(x^8+y^8_x^7y_xy^7+x^6y^2+x^2y^6_x^5y^3_x^3y^5+x^4y^4) (5)
同理,由 (5)可知,z必定是无理数,若z是正整数则z^9=/=x^9+y^9.
。
。
。
k:n=2k+1时有:
x^2k+1+y^2k+1=(x+y)(x^2k+y^2k_x^2k-1y_xy^2k-1+x^2k-2y^2+x^2y^2k-2_x^2k-3y^3_x^3y^2k-3+...-......x^ky^k) (k+1)
由(k+1)式可知,x^2k+1+y^2k+1不可能是一个正整数的2k+1次幂,所以z必定是无理数,若z是正整数则必有
x^2k+1+y^2k+1=/=z^2k+1 (x,y,z均为正整数时) (a)
(a)就是我们得到的最终结论。由此式可推出
x^4k+2+y^4k+2=/=z^4k+2 (x,y,z均为正整数时) (b)
则我们就证明了n>2=2k+1,4k+2 的情况下费马大定理成立。还有n=4k时没有证明,若证明n=4时x^4+y^4=/=z^4,则等于就证明了n=4k时的情况。
后记
也许人们会提出由此法能证明n=2,n=4这两种情况吗?答案是肯定的。比如n=2时有:
z^2=x^2+y^2=(x+y)^2_2xy (A)
则由(A)可得:
z^2+2xy=(x+y)^2 (A)’
如果(A)’式成立,那么只有在z^2=x^2+y^2时才行,z^2=x^2+y^2就说明x^2+y^2是可以等于一个完全平方数的。
那么x^2+y^2究竟可不可能是一个正整数的二次幂呢?现用另一方法再证明如下:
设c 令x-c=a,y-c=b,(a,b,c均为正整数)则x=c+a,y=c+b,代入(A)得
(c+a)^2+(c+b)^2=c^2+2ca+a^2+c^2+2cb+b^2
=c^2+2c(a+b)+a^2+b^2+c^2
=c^2+2c(a+b)+(a+b)^2-2ab+c^2
=[(a+b)+c]^2+c^2-2ab
显然当c^2-2ab=0 有:
(c+a)^2+(c+b)^2=[(a+b)+c]^2 (A)''
因此将c=(2ab)^1/2代入(A)''得:
[a+(2ab)^1/2]^2+[b+(2ab)^1/2]^2=[(a+b)+(2ab)^1/2]^2 (A)'''
当 2ab为平方数时(2ab)^1/2就是正整数,由式 (A)''' 可知 x^2+y^2的确可以等于一个完全平方数。
对于n=4,笔者不知费马是怎么证明的,但用以上同样的方法也是完全可以证明的。例如:
n=4时有:
z^4=x^4+y^4=(x+y)^4_4x^3y_6x^2y^2_4xy^3
=(x+y)^4_4xy(x^2+y^2)_6x^2y^2
=(x+y)^4_4xy(x+y)^2+8x^2y^2_6x^2y^2
=(x+y)^2[(x+y)^2_4xy]+2x^2y^2
=(x+y)^2(x_y)^2+2x^2y^2
即
z^4=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2 (B)
将(B)式等号两边同除以x^2y^2得
(z^2/xy)^2=[(x^2_y^2)/xy]^2+2 (B)'
由式(B)'可知,它表示一个平方数等于另一个平方数与2的和,这在非零自然数中显然是不可能的,很易证明是不成立的。所以有
(z^2/xy)^2=/=[(x^2_y^2)/xy]^2+2 (x,y,z均为非零自然数时) (B)''
由不等式(B)''就证明(B)式不可能成立,除非z是无理数。因此,当x,y,z均为非零自然数时
z^4=/=(x^2_y^2)^2+2x^2y^2
=/=x^4+y^4 (B)'''
由式 (B)'''自然可推出
z^4k=/=x^4k+y^4k (C)
至此,由不等式(a),(b),(C)可知,方程 x^n+y^n=z^n在n=4k ,4k+2 ,2k+1时均没有正整数解。而4k ,4k+2 ,2k+1包含了所有大于2的正整数,所以费尔马大定理得证成立。
根据以上证法可知,费马大定理的证明,关键就在于判断方程 x^n+y^n=z^n中的x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂。找到了否定的答案当然就证明了这个命题。仅从方程 x^n+y^n=z^n就可知,它本身就表示无论n取何值,两个完全n次方数的和等于一个完全n次方数。因此本文仅利用二项式定理就对x^n+y^n在n为大于2的自然数时是否可能为一个自然数的n次幂作出了否定的判断,从而证明了这个命题。
补充证明:
若(x+y)(x^2+y^2_xy)等于一个立方数,那么只有在(x^2+y^2_xy)等于(x+y)^2时才成立。” 为什么?
答:因为当(x^2+y^2_xy)=(x+y)^2时,(x+y)(x^2+y^2_xy)=(x+y)^3就是一个立方数,但这是不可能的。
因此,(x+y)(x^2+y^2_xy)=x^3+y^3=/=z^3,即(x+y)(x^2+y^2_xy)不可能是一个立方数。若z^3=x^3+y^3那么当x,y为正整数,则z就必为无理数。故z^3=x^3+y^3无正整数解。
2:证明:
因
x^2+y^2_xy=/=(x+y)^2
则令x^2+y^2_xy=A,(A为非平方正整数)得
(x+y)(x^2+y^2_xy)=x^3+y^3=(x+y)A=xA+yA
即
x^3+y^3=(x+y)A
=xA+yA
由上式必得
x^2 =A;y^2=A。【因x+y=x(x^2/A)+y(y^2/A)】
即
x^2+y^2_xy= x^2
x^2+y^2_xy=y^2
x^2=y^2
既然
x^2=y^2,
则
x^3=y^3
所以有
x^3+y^3=2x^3=z^3 (1)
或
x^3+y^3=2y^3=z^3 (2)
那么
z=(2^1/3)x (1)’
或
z=(2^1/3)y (2)’
由(1)’,(2)’两式就证明当n=3,x,y为正整数时,方程z^3=x^3+y^3中的z必是无理数。所以费马定理得证成立。
同理 n=2k+1,x,y为正整数时必可得
z=(2^1/2k+1)x (d)
或
z=(2^1/2k+1)y (d)'
这就是方程z^n=x^n+y^n在n>2,x,y为正整数时z必是无理数的代数证明。
由(x+y)(x^2+y^2_xy)==x^3+y^3也可直接得出x,y必须相等此式才成立,推导如下:
因为
(x+y)(x^2+y^2_xy)==x^3+y^3
所以
x+y==(x^3+y^3)/x^2+y^2_xy
==(x^3/x^2+y^2_xy)+(y^3/x^2+y^2_xy)
==x(x^2/x^2+y^2_xy)+y(y^2/x^2+y^2_xy)
显然,上式只有在(x^2/x^2+y^2_xy)=1,(y^2/x^2+y^2_xy)=1时才能成立。因此
x^2=x^2+y^2_xy,即:y^2_xy=y(y-x)=0,可见,只有x=y时y(y-x)=0,同理
y^2=x^2+y^2_xy,即:x^2_xy=x(x-y)=0,可见,只有x=y时x(x-y)=0。
所以z^3=x^3+y^3时,因x^3+y^3==(x+y)(x^2+y^2_xy),则x==y,必定得
z^3==2x^3
或者
z^3==2y^3
这就证明当n=3,x,y为正整数时 z必定为无理数。
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