田刚：欧拉公式与计数几何

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田刚：欧拉公式与计数几何

来源：北京师范大学数学科学学院网站

　  2016年3月18日下午，应北京师范大学数学科学学院邀请，中国科学院院士田刚在北师大数学科学学院，
为广大师生做了题为《欧拉公式与计数几何》的演讲。讲座由数学与数学教育研究所所长、长江学者唐梓洲
教授主持，中国科学院院士陈木法教授，数学科学学院院长、长江学者李增沪教授等参加讲座。其他院系爱
好数学的师生也前来听讲，座无虚席，许多同学站着听完了讲座。

　　田刚院士现任北京大学数学科学学院院长、北京国际数学研究中心主任、普林斯顿大学教授，曾在国际
数学家大会做一小时大会报告。田刚教授多年来致力于微分几何和数学物理等基础领域的研究，解决了一系
列重要问题，特别是在凯勒-爱因斯坦度量的研究中做了开创性的工作，对微分几何等领域必将产生深远影响。
   
　　古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》，是欧氏几何的奠基之作，在西方是仅次于《圣经》而流传
最广的书籍。《几何原本》中最亮的结果有：正多面体只有五种，即正三角形做面的正四面体、正八面体、
正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体。 田刚院士以此为出发点，介绍了这
一结果的现代证明工具——欧拉公式。并用通俗易懂的语言，阐述了如何把凸多面体的欧拉公式推广到任意
拓扑空间，从而引出了光滑流形上的欧拉示性数的概念。进一步，用向量场的零点来定义流形的欧拉示性数，
并给出了著名的 Hopf 定理。欧拉示性数是数学中一个特别重要的不变量，它在指标理论，高斯-班内特-陈
定理等数学问题中都有很重要的应用。

　　田刚院士讲座的另一个内容是计数几何。这也是起源于公元前两百多年的数学问题，它研究几何方程的
解的个数（这与欧拉示性数紧密相关），是代数几何的一个重要分支。90年代以来，受物理中场论研究的启
发，计数几何的研究更加系统化，与数学其他分支，如表示论、微分方程等紧密相连。量子同调环就是一例，
它对古典的计数几何给出了更深层次的、统一的理论总结。Apollonius问题是计数几何最早例子之一，由它
引出的n(d)---过一般位置的3d-1个点的d次有理曲线的条数，实际上是欧拉示性数在无穷维空间上的推广。
但是它的具体计算、渐近公式，甚至几何意义都是很难的。

　　田刚院士与阮勇斌教授合作在1993年给出了n(d) 的严格定义，并证明它们满足复投影空间上量子同调
环的可结合律，进而可以得出 n(d) 的递推公式。实际上，量子上同调只是现在称为GW理论在亏格为零的情
形。GW理论对应理论物理中的拓扑场论，它的数学理论是田刚院士和阮勇斌教授最先在半单辛流形上建立的。
之后由田刚院士和李骏教授、Fukaya-Ono教授等推广到一般辛流形。GW理论不仅推进了计数几何的高度发展，
而且与数学很多分支，如无穷维代数表示和可积系统，紧密相关，也为镜对称等重要问题提供了数学基础。

　　田刚院士的讲座风趣幽默，深入浅出，报告中包含很多有趣的动态图像，引起了参与师生的广泛兴趣，
使大家受益匪浅。在讲座最后，田刚院士表达了对广大师生的鼓励和期望：只要有兴趣，有坚持，你一定能
欣赏数学，有所成就！     

数想记

欧几里德的几何原本有的是错误的———见数想记