|
|
楼主 |
发表于 2016-6-25 11:45
|
显示全部楼层
首先，还是要明确概念：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。所以对勾股数性质的表现求算最好只用整数关系完成。因为如a≥3，在a^2+b^2=c^2关系中，若b、c可不为整数，则每个整数a都可组成无穷多组a^2+b^2=c^2关系。
关于求算勾股数，前人已给出多个公式，但完全用整数条件时都不能求出全部勾股数，所以探寻勾股数的新公式，要么更简单，要么与前人公式角度不同，现今的大概情况是，中国人得到了三个新公式，
公式1. 勾股数增元定a直求公式，（勾股数通解公式）
在以下a、b、c、Q关系中，当取定a值后，如Q值使b=(a^2-Q^2)÷2Q是整数，则a、b、c必是勾股数；且由a^2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a的全部Q值可求得含a全部勾股数；
``````````a≥ 3、4、5 …
````````{ b=（a^2-Q^2）÷2Q
``````````c= b+Q
这里，使上式中(a^2-Q^2)÷2Q的值恒为整数的Q值条件是：
若a为≥3的奇数，在a^2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Q。
若a为≥4的偶数，在a^2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于a的偶数因数积为Q。
实例．计算a=60时全部勾股数？
解：根据公式1，由Q的取值方法分解a^2得到：60^2=1^2×2^4×3^2×5^2，去掉一个2后有效因数为1^2×2^3×3^2×5^2，取这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=2^2=4，Q=2×3=6，Q=2^3=8，Q=2×5=10，Q=2^2×3=12，Q=2×3^2=18，Q=2^2×5=20，Q=2^3×3=24，Q=2×3×5=30，Q=2^2×3^2=36，Q=2^3×5=40，Q=2×5^2=50；
利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；及c= b+ Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899； c= 899+ 2； 所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448； c= 448+ 4； 所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297； c= 297+ 6 ； 所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221； c= 221+ 8 ； 所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c= 175+ 10； 所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c= 144+ 12； 所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91； c= 91+ 18 ； 所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80； c= 80+ 20； 所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63； c= 63+ 24 ； 所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45； c= 45+ 30 ； 所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32； c= 32+36 ； 所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25； c= 25+ 40 ； 所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11； c= 11+ 50 ； 所以有：60^2+11^2=61^2
由60的有效因数为1^2×2^3×3^2×5^2条件可知，当Q=2，Q=2^3=8，Q=2×3^2=18，Q=2×5^2=50时，将得到a为60的互素勾股数。
增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 … 时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全部平方整数解。
公式2. 勾股数再生公式；
如（a，b，c）是勾股数，满足a^2+b^2=c^2关系，如有：
````A=2(a+c)+b
``{ B=2(b+c)+a
````C=2(a+b)+3c
则这时的（A，B，C）也勾股数，必满足A^2+B^2=C^2关系；且此时的（a，b，c）（A，B，C）具有b-a与B-A同差特性，具有相同的互素与不互素特性及同因数性质；
实例. 已知勾股数（3，4，5）；（5，12，13）；利用勾股数再生公式求出新的勾股数？
由（3，4，5）是勾股数，满足3^2+4^2=5^2关系，
````a=3
即｛ b=4
````c=5
``````A=2a+2c+b=20
得到｛ B=2b+2c+a=21
``````C=2a+2b+3c=29
所以数组（20，21，29）是勾股数，满足20^2+21^2=29^2关系；因（3，4，5）是互素勾股数，所以（20，21，29）也是互素勾股数，且有4-3与21-20同差；
由（5，12，13）是勾股数，满足5^2+12^2=13^2关系，
````a=5
即｛ b=12
````c=13
``````A=2a+2c+b=48
得到｛ B=2b+2c+a=55
``````C=2a+2b+3c=73
所以数组（48，55，73）是勾股数；满足48^2+55^2=73^2关系；因（5，12，13）是互素勾股数，所以（48，55，73）也是互素勾股数，且有12-5与55-48同差；
公式3，蔡家雄勾股数公式，
蔡家雄勾股数组算法：
设(N/2)^2=uv,且u>v>0,且u,v为有理数，
正整数N>=3,且(u-v)与(u+v)同为正整数，
则N^2+(u-v)^2=(u+v)^2
这就是蔡家雄老师勾股数组全部正整数解的统一公式。
这是中国人在勾股数研究中得到的三个独具特色的新公式。
|
|
IP卡
狗仔卡
显身卡
发表于 2016-6-17 10:10