方程X^2+Y^2+Z^2+W^2=Q^2的正整数解

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要求方程X^2+Y^2+Z^2+W^2=Q^2的正整数解，我们必须先要求出它的一般通解式，笔者在此只直接给出这个方程的一般通解式，求解过程略。

它的通解为：

                                 X=a+(2/3(ab+ad+at+bd+bt+dt)^1/2

                                 Y=b+​(2/3(ab+ad+at+bd+bt+dt)^1/2

                                 Z=d+​(2/3(ab+ad+at+bd+bt+dt)^1/2

                                W=t+​(2/3(ab+ad+at+bd+bt+dt)^1/2​

                                Q=(a+b+d+t)​+​(2/3(ab+ad+at+bd+bt+dt)^1/2

由此通解可求得​方程X^2+Y^2+Z^2+W^2=Q^2的所有正整数解。下面仅举两列：

                               X=2k

                               Y=2k

                               Z​=2k+2

                              W=3k^2+2k

                               Q​=3k^2+2k+2  

以及：  

                               X=2k

                               Y=2k

                               Z​=2k+3

                              W=2k^2+2k​

                               Q=​2k^2+2k​+3

由此可知，在自然数中存在无穷个平方数，它们都可以​分为两个平方数的和；也存在无穷个平方数，它们都可以​分为三个平方数的和；还存在无穷个平方数，它们都可以​分为四个平方数的和;等等，

     

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