抽6张扑克牌概率题

fungarwai

一副扑克牌共52张，分为4种花色，每种花色13张。假设牌已充分洗过，以致各张牌被抽到的概率是相等的。今从中任抽6张牌，试写出基本事件空间，并求：
（1）其中含有黑桃K的概率
（2）这6张牌中各种花色都有的概率
（3）至少有两张牌同点的概率

luyuanhong

题  一副扑克牌共 52 张，从中任取 6 张，写出基本事件空间，并求：

（1）6 张牌中含有黑桃 K 的概率。

（2）6 张牌中各种花色都有的概率。

（3）6 张牌中至少有两张牌同点的概率。

解  从 52 张牌中任取 6 张，共有 C(52,6) = 20358520 种不同的取法，

这 C(52,6)=20358520 种不同的取法，就构成了基本事件空间。

（1）要使得在 6 张牌中含有黑桃 K ，可以先取到黑桃 K ，再在剩下 51 张

牌中任取 5 张，有 C(51,5) = 2349060 种取法。

    所以，6 张牌中含有黑桃 K 的概率为 C(51,5)/C(52,6) = 6/52 = 3/26 。

（2）要使得在 6 张牌中各种花色都有，可分为下列两种情况：

    一种情况是：有一种花色取到 3 张，其他三种花色各取到 1 张。

    相当于先从 4 种花色中选定一种花色，有 C(4,1) 种选法，从选中的花色

13 张牌中任取 3 张，有 C(13,3) 种取法，再从其他三种花色每种 13 张牌中

任取一张，有 13^3 种取法。

    另一种情况是：有两种花色各取到 2 张，其他两种花色各取到 1 张。

    相当于先从 4 种花色中选定两种花色，有 C(4,2) 种选法，从选中的花色

每种 13 张牌中任取 2 张，有 C(13,2)^2 种取法，再从其他两种花色每种 13

张牌中任取一张，有 13^2 种取法。

    总之， 6 张牌中各种花色都有的取法数为

    C(4,1)×C(13,3)×13^3 + C(4,2)×C(13,2)^2×13^2 = 8682544 。

    所以，6 张牌中各种花色都有的概率为 8682544/20358520 = 83486/195755 。

（3）先考虑 6 张牌中没有两张牌同点的情况。

     没有两张牌同点，相当于先从 13 种点子中选出 6 种点子，有 C(13,6) 种选法，

对这 6 种点子，每种都可以从 4 种花色中选一种花色，共有 4^6 种选法。

     所以，没有两张牌同点的概率为 C(13,6)×4^6/C(52,6) = 67584/195755 。

     所以，至少有两张牌同点的概率为 1 - 67584/195755 = 128171/195755 。