正三角形 ΔDEF 三顶点分别在 ΔABC 三条边上，BD=CE=AF，求证：ΔABC 也是正三角形

Ysu2008

此题有一个更一般的形式，就是不好证。

费尔马1

好好的研究研究，是不是真的为相似三角形？

Ysu2008

费尔马1 发表于 2018-4-20 08:37
好好的研究研究，是不是真的为相似三角形？

在绘图软件上凭肉眼观察，看着像，但我没证出来。
大家可以尝试一下。

elim

Ysu2008 发表于 2018-4-20 00:49
此题有一个更一般的形式，就是不好证。

这个一般形式不成立。 反例比比皆是。 就是把 A', B', C' 定为任意定比分点，结论基本上还是错的。

wangyangkee

正N边形，N趋于无穷大，还用那么证么，，，

elim

这个主题依我看是得到最多关注的．我转发到罗马尼亚的一个热门数学论坛，立即有人问我出处．着到几个解法，都没啥水平

Ysu2008

Ysu2008 发表于 2018-4-20 07:49
此题有一个更一般的形式，就是不好证。

我的猜测确实不成立。

费尔马1

这个题，您看看，作图如果先作三角形ABC，再作三角形DEF，易如反掌，但是，如果按题设的条件，先作三角形DEF,再作三角形ABC，简直要多花百倍的工夫，可见，本题是本末倒置。

谢芝灵

证明：
因为 ＢＤ＝ＣＥ＝ＡＦ
分析（一）由：F→A；D→B；E→C

得：FA两点重合；DB两点重合；EC两点重合。
有 △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
分析（二）由：F→B；D→C；E→A

令：AB≥BC≥CA
由于CA可能最短，得 E、A两点重合时，FB≥0；DC≥0
若FB＞0，

得：ＢＤ＝ＣA＝ＡＦ=FD
在△FBD中，ＢＤ=FD，∠B=∠BFD=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在FB≥0中只能取 FB=0，既 F、B两点也重合。
此时，若 DC＞0

同理得：在△ADC中，AD=AC，∠C=∠ADC=180度-60度=120度。矛盾！（△内角和大于180度）
所以在DC≥0中只能取 DC=0，既 D、C两点也重合。
得： △ABC与△DEF重合。
故△ABC为正三角形。
上面所有作图变化示意：

wangyangke

各位师长：正N边形，N趋于无穷大的情形，还用那么证么，，，