《大于5的偶数分成两个素数的全部分法数量与计算》的方法(有程序可以验证)

愚工688

《大于5的偶数分成两个素数的全部分法数量与计算》的方法

任意大于5的偶数都能分成两个素数。这个命题的证明即是歌德巴赫猜想。
要证明歌德巴赫猜想，则必须搞明白偶数分成两个素数的分法数量的变化是否具有规律性。
本文只讲述偶数分成两个素数的分法，即通常大家所谓的“1+1”这个歌德巴赫猜想的实际素对问题。
把任意一个大于5的偶数M分成两个整数，可以用A-x 与A+x 的模式来表达（A=M/2）。在这个模式下，A-x与A+x是否同时成为素数只与变量x的值有关，只取决于x与偶数半值A之间的对应关系。
依据这种对应关系，我们可以轻易的得到：
1．偶数M分成两个素数A-x与A+x的全部的x值；
2．用一个表达式来对x值的数量进行近似的计算。

一）一个偶数分成两个素数的分法数量可以看作一个概率问题的数学原理

判断偶数M所分成的A-x与A+x两个数是否都是素数，依据艾拉托尼筛法，可有如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为≤√(M-2)的最大素数, 下同。]
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数都是素数；
若把x值的取值范围[0，A-3]里面符合条件a的x值的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量 S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) .---------（式1）
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a，可看成变量x符合某种由偶数半值A所限定条件的数，其在自然数区间[0，A-3] 中的分布规律，可归纳为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、…、jn及(n－jn)、…、Ir及(r -jr)的数的发生概率问题，这里的j2,j3,…,jn,…，jr系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
我们知道，对于一个自然数区域里面的数，
分别除以2、3以及其它素数5，…，r 时得到的余数都是以该被除素数的值为周期循环变化，而偶数数列、奇数数列除以2以外的其它素数3，5，…，r 时得到的余数仍然是以该被除的素数值为周期循环变化。这反映了自然数除以不同素数得到的余数具有互相独立的特性。
由于符合条件a的x值，就是除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的数。
显然在x取值的自然数区间中，
除以2时，余数满足不等于j2 的数的发生概率为1/2；
除以3时，余数满足不等于j3 及（3-j3 ）的数的发生概率为（3-2）/3，（j3≠0时）；或发生概率为（3-1）/3，（j3=0时）；
除以5时，余数满足不等于j5 及（5-j5 ）的数的发生概率为（5-2）/5，（j5≠0时）；或发生概率为（5-1）/5，（j=0时）；
…
除以n时，余数满足不等于jn 及（n-jn）的数的发生概率为（n-2）/n，（jn≠0时）；或发生概率为（n-1）/n，（jn=0时）；
…
除以r时，余数满足不等于jr 及（r-jr）的数的发生概率为（r-2）/r，（jr≠0时）；或发生概率为（r-1）/r，（jr=0时）；
因此依据概率的独立事件的乘法原理，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
实际偶数的素对数的计算可以表明，这种概率计算的方法不仅计算方法简单,比拉曼纽扬系数C（N）的计算容易,而且概率计算值与实际真值的相对误差也比哈代公式小得多。

实例1：
M= 120 ，A= 60 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ， A除以素数2，3，5，7的余数分别是j2=0，j3=0，j5=0，j7=4；在[0，57]区间里面同时满足：x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠0、x除以5的余数≠0、x除以7的余数≠4与3的x值
实际有 x= : 1 ， 7， 13 ， 19 ， 23 ， 29 ， 37 ， 41 ，43 ， 47 ， 49 ，( 53 ) ——括号内是S2(m)的值，下同；
代入 M= （A-x ）+（ A+x ） 的模式，得到120的全部素对： 59 + 61 ，53 + 67，47 + 73， 41 + 79 ，37 + 83 ，31 + 89 ，23 + 97 ，19 + 101 ，17 + 103 ，13 + 107 ，11 + 109 ，7 + 113.
M=120 ，S(m)= 12 ，S1(m)= 11 ， Sp(m)= 11.05 ，δ1(m)= 0 ，δ(m)= -0.079 ，K(m)= 2.67 ， r= 7
而x值的概率计算数量Sp( 120)的计算式子与相对误差δ(m)的计算式子分别为：
Sp( 120)=[( 120/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 11.05
δ(120)=(11.05-12)/12=-0.95/12 = -0.079

显然，理论上用同样的方法，我们可以求得任意大的偶数Ｍ分成两个素数的x值的概率计算值Sp(m)以及实际上的素对数量的各个有关数值。
下面我附上求偶数分成两个素数的全部分法以及数量计算公式、计算的相对误差的有关计算机程序，使得大家都能够轻易的得出需求偶数Ｍ分成分成两个素数的真实的情况。
这个程序区别于其他网友所用的偶数素对筛选程序（比如：用素数表分别筛选A-x与A+x的方法）的是：它是通过筛选符合条件的中间变量x，而变量x则使得偶数M分成两个数A-x与A+x成为素数对。这样的方法，也避免了所谓的“殆素数”的产生。并且依据概率的乘法定理可以对变量x值的数量进行概率计算，并且对概率计算的相对误差作了计算，有利于对误差情况进行进一步的分析。

这个程序对于一万左右的偶数，计算时间在1秒钟以下，可以说即时即得；但是对于一千万左右的单个偶数，计算时间在半小时左右（我用的奔腾4电脑），是比较缓慢的，故不适合计算百万以上的大批量的偶数。

二）《 偶数分成两个素数的全部分法与素对数量的概率计算》的Basic程序
(程序的18语句提供了计算多个偶数的范围，更改数值可以得到不同大小范围内的全部偶数有关数据。DATA素数库的最大素数p限制了可以处理的最大偶数，即输入的T+n 的范围为p^2 +1，若需超出，请扩充DATA素数库以及12语句的数值。)

输出数据说明：
S(m) --M 分成两个素数的全部分法数量；
S1(m)--M分成两个符合条件a的“大于根号（M-2）的素数”的分法数量；
Sp(m)--素对数量的概率计算值；
δ(m)：即E(m) --Sp(m)与S(m)之间的相对误差；E(m) =[Sp(m)－S(m)]/S(m)。
δ1(m)： 即E1(m) --Sp(m)与S1(m)之间的相对误差；E1(m) =[Sp(m)－S1(m)]/S1(m)。
K(m)--素数因子系数 ，由偶数M所含的奇素数因子所决定的。
r --小于或等于根号（M-2）的最大素数；

程序文本
1 PRINT "This is a Basic Program for Goldbach conjecture ."
5 REM The all methods are to be divided an Even number-M into two Prime numbers.
6 OPEN "Su Dui.txt" FOR OUTPUT AS #1
10 INPUT "Input an even number T .If T<6 then end. T="; T
12 IF T> 1018000 THEN GOTO 396
15 IF T < 6 THEN GOTO 95
18 FOR M=T TO T+10 STEP 2
20 A = M / 2: C = A - 3: D = (A - 2) / 2
11 M$ = STR$(M): A$ = STR$(A): D$ = "[(" + M$ + "/2- 2)/2]": R$ = ""
22 S1 = 0: S2 = 0: R1 = 2: K = 1
30 IF INT(A / 2) = A / 2 THEN B = 1: ELSE B = 0
35 FOR X = B TO C STEP 2
40 GOSUB 200
50 NEXT X
60 GOSUB 300
65 S = S1 + S2: E1 = (D - S1) / S1: E = (D - S) / S
70 D = INT(100 * D + .5) / 100: E1 = INT(1000 * E1 + .5) / 1000: E = INT(1000 * E + .5) / 1000
72 K = INT(100 * K + .5) / 100
80 PRINT TAB(0); "M="; M; TAB(10); "S(m)="; S; TAB(21); "S1(m)="; S1; TAB(32); "Sp(m)="; D; TAB(47); "E(m)="; E; TAB(59); "E1(m)="; E1; TAB(72); "K(m)="; K; TAB(88); "r(m)="; R1
81 PRINT #1,
82 PRINT #1, "M="; M; ", S(m)="; S; ", S1(m)="; S1; ",Sp(m)≈ "; D; ",δ(m)≈ "; E; ",δ1(m)≈ "; E1; ",K(m)="; K; ",r="; R1
83 PRINT #1, "-- Sp("; M$; ")="; D$ + R$; "≈"; D
84 PRINT #1,
85 NEXT M
88 GOTO 10
95 END

200 READ R
210 IF SQR(M - 3) < R THEN 250
220 IF INT((A + X) / R) = (A + X) / R THEN 270
230 IF INT((A - X) / R) = (A - X) / R AND A - X > R THEN 270 ELSE 200
250 IF A - X >= R THEN S1 = S1 + 1: ELSE S2 = S2 + 1
260 PRINT #1, A - X; "+"; A + X; ",";
261 PRINT A - X; "+"; A + X;
270 RESTORE
280 RETURN

300 READ R
310 IF SQR(M - 3) < R THEN 340
315 R1 = R
316 r0$ = STR$(R): R1$ = STR$(R - 1): R2$ = STR$(R - 2)
318 IF INT(A / R) = A / R THEN R$ = R$ + "*(" + R1$ + "/" + r0$ + ")": ELSE R$ = R$ + "*(" + R2$ + "/" + r0$ + ")"
320 IF INT(A / R) = A / R THEN D = D * (R - 1) / R: ELSE D = D * (R - 2) / R
325 IF INT(A / R) = A / R THEN K = K * (R - 1) / (R - 2)
330 GOTO 300
340 RESTORE
350 RETURN
396 PRINT "T overflow data, please expand the prime database!"
397 GOTO 10

DATA 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 233 , 239 , 241 , 251 , 257 , 263 , 269 , 271 , 277 , 281 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 317 , 331 , 337 , 347 , 349 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 419 , 421 , 431 , 433 , 439 , 443 , 449 , 457 , 461 , 463 , 467 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 521 , 523 , 541 , 547 , 557 , 563 , 569 , 571 , 577 , 587 , 593 , 599 , 601 , 607 , 613 , 617 , 619 , 631 , 641 , 643 , 647 , 653 , 659 , 661 , 673 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 733 , 739 , 743 , 751 , 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 809 , 811 , 821 , 823 , 827 , 829 , 839 , 853 , 857 , 859 , 863 , 877 , 881 , 883 , 887 , 907 , 911 , 919 , 929 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 977 , 983 , 991 , 997， 1009

三）概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)与分析

实际上我们求得任意偶数Ｍ分成两个素数的x值的概率计算值Sp(m)，其与实际的值S(m)多数是不相等的，存在一定的偏差。对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ1(m)来表达：
δ1(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m). --------{式4a}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ1(m)]. --------{式5a}

由于符合条件b的使得A±x成为素对的x值的分布区间在整个取值区域[0，A-3]中的占比小于2/r，在偶数M趋大时其占比2/r会越来越小，故可以忽视比较大偶数的S2(m)的独立性把其合并于S1(m)中。
这样处理后，Sp(m)作为偶数M的全部素对数量S(m)的概率计算值，其与实际值的相对误差可以用δ(m)来表示：
δ(m)=[Sp(m)-S(m)]/S(m) .--------{式4}
就是有 S(m)=Sp(m)/[1+δ(m)] .--------{式5}
{式5}表达了偶数M的实际素对数量S(m)与概率计算值Sp(m)的相互关系。

对概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)的统计计算
上述我编写的Basic程序，可轻易地得到偶数M分成两个素数的全部分法及各个分法的数据S1(m)、S(m)，概率计算值Sp(m)及相对误差δ1(m)、相对误差δ(m)。
在此程序基础上增加一个对相对误差进行统计计算的模块，即可以得出输入偶数区间内的全部偶数的概率计算的相对误差的统计计算结果。
分区对10万内的偶数的素对的概率计算值的相对误差δ(m)作统计计算，结果如下：
（μ-区间相对误差均值；σx-标准偏差）

M=[ 6 , 100 ]              r= 7    n= 48       μ=-.2418  σχ= .2292  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 6 , 1000 ]            r= 31   n= 498     μ=-.1685  σχ= .1263  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 6 , 10000 ]          r= 97   n= 4998    μ=-.075   σχ= .0736  δ(min)=-.625    δ(max)= .3429
M=[ 10002 , 20000 ]   r= 139  n= 5000   μ=-.0315  σχ= .0361  δ(min)=-.1603  δ(max)= .1017
M=[ 20002 , 30000 ]   r= 173  n= 5000   μ=-.0100  σχ= .0288  δ(min)=-.1145  δ(max)= .1245  
M=[ 30002 , 40000 ]   r= 199  n= 5000   μ=-.0037  σχ= .0263  δ(min)=-.1034  δ(max)= .1101
M=[ 40002 , 50000 ]   r= 223  n= 5000   μ= .005    σχ= .0253  δ(min)=-.1021  δ(max)= .1131
M=[ 50002 , 60000 ]   r= 241  n= 5000   μ= .0082  σχ= .0219  δ(min)=-.0688  δ(max)= .1064
M=[ 60002 , 70000 ]   r= 263  n= 5000   μ= .0139  σχ= .0213  δ(min)=-.0681  δ(max)= .0993  
M=[ 80002 , 90000 ]   r= 293  n= 5000   μ= .0129  σχ= .0196  δ(min)=-.0597  δ(max)= .0976
M=[ 90002 , 100000 ]  r= 313  n= 5000  μ= .0218  σχ= .0174  δ(min)=-.038    δ(max)= .112

从上面的这些统计计算数据中，可看到：
①.在偶数最小的统计区间[ 6 , 100 ] 里，存在统计的相对误差δ(m)的最大值与最小值,说明小偶数时相对误差分布的离散性比较大些;平均值μ比较小（负值）,这主要原因是小偶数时由于符合条件b的素数的x值并入的影响造成的；
②.在偶数趋大时，偶数的相对误差的δ(min)在增大,δ(max)在减小，即相对误差的分布范围在缩小；
③.标准偏差σx随偶数增大而逐渐变小,说明在大偶数的情况下,偶数素对的概率计算值的相对误差的变化是很小的;
④.平均误差值μ随偶数增大缓慢地由负转正值，但是都很小，可以看出概率计算值与实际值是比较接近的。
这些偶数素对数量计算的相对误差δ(m)的分布的变化特点对于我们更精确的计算大偶数的素对数量是非常有用的。
.
实际上,即使在小偶数的区域中,偶数的素对的计算值与实际值也是相当接近的,在偶数分成两个素数的相关的数据的折线图上面,可以清晰的看到计算值与实际值的同步变化的情况:

愚工688

用文章中的程序只输出素对的有关数据的运算实例上面图形一半的数据)
M= 100     S(m)= 6     S1(m)= 5    Sp(m)= 4.571    δ(m)=-.238  K(m)= 1.333  δ1=-.086
M= 102     S(m)= 8     S1(m)= 7    Sp(m)= 7        δ(m)=-.125  K(m)= 2      δ1= 0
M= 104     S(m)= 5     S1(m)= 3    Sp(m)= 3.571    δ(m)=-.286  K(m)= 1      δ1= .19
M= 106     S(m)= 6     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.643    δ(m)=-.393  K(m)= 1      δ1=-.089
M= 108     S(m)= 8     S1(m)= 6    Sp(m)= 7.429    δ(m)=-.071  K(m)= 2      δ1= .238
M= 110     S(m)= 6     S1(m)= 4    Sp(m)= 5.048    δ(m)=-.159  K(m)= 1.333  δ1= .262
M= 112     S(m)= 7     S1(m)= 5    Sp(m)= 4.629    δ(m)=-.339  K(m)= 1.2    δ1=-.074
M= 114     S(m)= 10    S1(m)= 8    Sp(m)= 7.857    δ(m)=-.214  K(m)= 2      δ1=-.018
M= 116     S(m)= 6     S1(m)= 4    Sp(m)= 4        δ(m)=-.333  K(m)= 1      δ1= 0
M= 118     S(m)= 6     S1(m)= 5    Sp(m)= 4.071    δ(m)=-.321  K(m)= 1      δ1=-.186
M= 120     S(m)= 12    S1(m)= 11   Sp(m)= 11.048   δ(m)=-.079  K(m)= 2.667  δ1= .004
M= 122     S(m)= 4     S1(m)= 4    Sp(m)= 4.214    δ(m)= .054  K(m)= 1      δ1= .054
M= 124     S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.506    δ(m)=-.299  K(m)= 1      δ1=-.123
M= 126     S(m)= 10    S1(m)= 10   Sp(m)= 8.556    δ(m)=-.144  K(m)= 2.4    δ1=-.144
M= 128     S(m)= 3     S1(m)= 3    Sp(m)= 3.623    δ(m)= .208  K(m)= 1      δ1= .208
M= 130     S(m)= 7     S1(m)= 6    Sp(m)= 4.909    δ(m)=-.299  K(m)= 1.333  δ1=-.182
M= 132     S(m)= 9     S1(m)= 8    Sp(m)= 8.312    δ(m)=-.076  K(m)= 2.222  δ1= .039
M= 134     S(m)= 6     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.799    δ(m)=-.367  K(m)= 1      δ1=-.05
M= 136     S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.857    δ(m)=-.229  K(m)= 1      δ1=-.036
M= 138     S(m)= 8     S1(m)= 6    Sp(m)= 7.831    δ(m)=-.021  K(m)= 2      δ1= .305
M= 140     S(m)= 7     S1(m)= 6    Sp(m)= 6.358    δ(m)=-.092  K(m)= 1.6    δ1= .06
M= 142     S(m)= 8     S1(m)= 5    Sp(m)= 4.032    δ(m)=-.496  K(m)= 1      δ1=-.194
M= 144     S(m)= 11    S1(m)= 9    Sp(m)= 8.182    δ(m)=-.256  K(m)= 2      δ1=-.091
M= 146     S(m)= 6     S1(m)= 5    Sp(m)= 4.149    δ(m)=-.308  K(m)= 1      δ1=-.17
M= 148     S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 4.208    δ(m)=-.158  K(m)= 1      δ1= .052
M= 150     S(m)= 12    S1(m)= 11   Sp(m)= 11.377   δ(m)=-.052  K(m)= 2.667  δ1= .034

愚工688

如果大一些的偶数,可以看到相对误差多不大,并且分布范围比较小:
M= 200000  S(m)= 1417  S1(m)= 1405 Sp(m)= 1469.051 δ(m)= .037  K(m)= 1.333  δ1= .046
M= 200002  S(m)= 1172  S1(m)= 1160 Sp(m)= 1224.221 δ(m)= .045  K(m)= 1.111  δ1= .055
M= 200004  S(m)= 2547  S1(m)= 2522 Sp(m)= 2644.345 δ(m)= .038  K(m)= 2.4    δ1= .049
M= 200006  S(m)= 1071  S1(m)= 1059 Sp(m)= 1101.822 δ(m)= .029  K(m)= 1      δ1= .04
M= 200008  S(m)= 1113  S1(m)= 1105 Sp(m)= 1154.3   δ(m)= .037  K(m)= 1.048  δ1= .045
M= 200010  S(m)= 2884  S1(m)= 2857 Sp(m)= 3016.73  δ(m)= .046  K(m)= 2.738  δ1= .056
M= 200012  S(m)= 1065  S1(m)= 1053 Sp(m)= 1139.849 δ(m)= .07   K(m)= 1.034  δ1= .082
M= 200014  S(m)= 1085  S1(m)= 1075 Sp(m)= 1113.463 δ(m)= .026  K(m)= 1.011  δ1= .036
M= 200016  S(m)= 2137  S1(m)= 2119 Sp(m)= 2203.752 δ(m)= .031  K(m)= 2      δ1= .04
M= 200018  S(m)= 1397  S1(m)= 1387 Sp(m)= 1451.776 δ(m)= .039  K(m)= 1.318  δ1= .047
M= 200020  S(m)= 1458  S1(m)= 1445 Sp(m)= 1500.927 δ(m)= .029  K(m)= 1.362  δ1= .039
M= 200022  S(m)= 2403  S1(m)= 2379 Sp(m)= 2465.313 δ(m)= .026  K(m)= 2.237  δ1= .036
M= 200024  S(m)= 1187  S1(m)= 1176 Sp(m)= 1224.355 δ(m)= .031  K(m)= 1.111  δ1= .041
M= 200026  S(m)= 1053  S1(m)= 1041 Sp(m)= 1112.841 δ(m)= .057  K(m)= 1.01   δ1= .069
M= 200028  S(m)= 2146  S1(m)= 2128 Sp(m)= 2243.188 δ(m)= .045  K(m)= 2.036  δ1= .054
M= 200030  S(m)= 1451  S1(m)= 1439 Sp(m)= 1493.633 δ(m)= .029  K(m)= 1.355  δ1= .038
M= 200032  S(m)= 1367  S1(m)= 1354 Sp(m)= 1431.257 δ(m)= .047  K(m)= 1.299  δ1= .057
M= 200034  S(m)= 2118  S1(m)= 2094 Sp(m)= 2203.95  δ(m)= .041  K(m)= 2      δ1= .053
M= 200036  S(m)= 1086  S1(m)= 1070 Sp(m)= 1128.864 δ(m)= .039  K(m)= 1.024  δ1= .055
M= 200038  S(m)= 1045  S1(m)= 1035 Sp(m)= 1101.997 δ(m)= .055  K(m)= 1      δ1= .065
M= 200040  S(m)= 2868  S1(m)= 2841 Sp(m)= 2938.688 δ(m)= .025  K(m)= 2.667  δ1= .034
M= 200042  S(m)= 1079  S1(m)= 1068 Sp(m)= 1142.835 δ(m)= .059  K(m)= 1.037  δ1= .07
M= 200044  S(m)= 1158  S1(m)= 1147 Sp(m)= 1202.215 δ(m)= .038  K(m)= 1.091  δ1= .048
M= 200046  S(m)= 2866  S1(m)= 2837 Sp(m)= 2945.596 δ(m)= .028  K(m)= 2.673  δ1= .038
M= 200048  S(m)= 1064  S1(m)= 1054 Sp(m)= 1102.053 δ(m)= .036  K(m)= 1      δ1= .046
M= 200050  S(m)= 1417  S1(m)= 1406 Sp(m)= 1469.418 δ(m)= .037  K(m)= 1.333  δ1= .045

愚工688

我文内的程序，可以输出偶数分成两个素数的相关结果，例如：
[ 148 = ]  59 + 89  47 + 101  41 + 107  17 + 131  11 + 137
M= 148     S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 4.208   δ(m)=-.158 K(m)= 1     δ1(m)= .052
* Sp( 148)=[( 148/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 4.208

[ 150 = ]  71 + 79  67 + 83  61 + 89  53 + 97  47 + 103  43 + 107  41 + 109  37 + 113  23 + 127  19 + 131  13 + 137  11 + 139
M= 150     S(m)= 12    S1(m)= 11   Sp(m)= 11.377  δ(m)=-.052 K(m)= 2.667 δ1(m)= .034
* Sp( 150)=[( 150/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 11.377

[ 152 = ]  73 + 79  43 + 109  13 + 139  3 + 149
M= 152     S(m)= 4     S1(m)= 3    Sp(m)= 4.325   δ(m)= .081 K(m)= 1     δ1(m)= .442
* Sp( 152)=[( 152/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 4.325

[ 154 = ]  71 + 83  53 + 101  47 + 107  41 + 113  23 + 131  17 + 137  5 + 149  3 + 151
M= 154     S(m)= 8     S1(m)= 6    Sp(m)= 5.844   δ(m)=-.269 K(m)= 1.333 δ1(m)=-.026
* Sp( 154)=[( 154/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 6/ 7)*( 10/ 11)= 5.844

实际上，对于稍微大一些的偶数，我们主要关注的是偶数素对的数量与计算值的对应变化情况，而一般不关心具体的素对值。故上面提到的偶数素对的Basic程序计算输出的数值可以如下，看上去更简洁：
M= 148     S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 4.208   δ(m)=-.158  K(m)= 1   δ1(m)= .052

这样已经包含了这个偶数的分成素对的主要的信息。不论偶数多大，均可以用这样的一组数据表示。
例如：偶数9699690，若把它的全部素对显示出来，将是一个大小有2273KB的大文件，没有一个人会有兴趣去看：（用P4电脑运行需要25分钟）
All keys of dividing  9699690  into two prime numbers:
4849723 + 4849967  4849639 + 4850051  ……41 + 9699649  37 + 9699653  23 + 9699667
而只要下面的数据我们就可以了解了它分成素对的情况：
M= 9699690 S(m)= 124180  S1(m)= 124031  Sp(m)= 136157.4  δ(m)= .096 K(m)= 4.381 δ1(m)= .098
它能够分为S(m)= 124180 种不同的素对，其中小素数A-x大于根号（9699690-2）的素对有S1(m)= 124031 ，素对计算值为Sp(m)= 136157.4，与实际相比均为正的相对误差；从它的K(m)值我们可以知道，它的素对是相邻的偶数的素对数量的4倍多。

愚工688

1楼中的注释 K(m)--素数因子系数 ，由偶数M所含的奇素数因子所决定的。这里有点小错误,应该是由偶数M所含的小于根号(M-2)的奇素数因子所决定的。
这与拉曼纽扬系数C（N）中的因子C2B（N）略有不同。而偶数M所含的奇素数因子所决定的系数则成C2B（N）了。
素数因子系数  K(m) 是偶数能够分成的素对的数量变化的主要因素，一般能够被3整除的偶数，它的 K(m)≥2，比相邻的偶数的 K(m)大，故它的素对数量相应多，这在1楼的折线图上面可以看到在小范围内形成的一个个峰值点。
由于素数因子系数的构成具有迭乘的特点，当不能够被3整除的偶数含有其它比较多的小素数因子时，则会产生一些特例。
例如：3233230 ，不含素因子3，但它的K(m)=2.19,比邻近的两个含素因子3的偶数的大近10%，因此它的素对数量相应也多约10%：
M= 3233226 S(m)= 21849 S1(m)= 21802  Sp(m)= 23787.76 δ(m)= .089  K(m)= 2      δ1= .091
M= 3233228 S(m)= 10931 S1(m)= 10903  Sp(m)= 11893.88 δ(m)= .088  K(m)= 1      δ1= .091
M= 3233230 S(m)= 24275 S1(m)= 24225  Sp(m)= 26052.07 δ(m)= .073  K(m)= 2.19   δ1= .075
M= 3233232 S(m)= 21827 S1(m)= 21779  Sp(m)= 23787.8  δ(m)= .09   K(m)= 2      δ1= .092
M= 3233234 S(m)= 10983 S1(m)= 10955  Sp(m)= 11893.91 δ(m)= .083  K(m)= 1      δ1= .086
M= 3233236 S(m)= 10968 S1(m)= 10949  Sp(m)= 11893.91 δ(m)= .084  K(m)= 1      δ1= .086

愚工688

这里有个怎么运行Basic 程序的问题，我只能把自己的体会谈一下：
1，把 1 楼中的程序部分拷贝下来，粘贴到一个新的文本中保存。
2，右键点击这个文件，选择打开方式为“Qbasic”程序。
3，若能够打开，应该点击最左的文件栏，选“另存为”，把文件名后加上“.BAS”即可。否则运行结果的数据不能输出到文件中。
若不能打开，要选择打开程序 ——至于怎么能够找到“Qbasic”程序，这个我不是太懂。我是以前在单位的Win95的电脑上面下载了个“Qbasic”程序，一直保存使用到现在。原来的 Windows 98 系统中自带有“QB”程序也能够运行。
至于在现在的电脑系统中，怎么找到“Qbasic”程序，我更不清楚了，这个要咨询懂电脑的大虾。
我现在使用"Win 7" 系统，感觉的是：
"Win 7" 系统 不如“Win XP”好用，因为在"Win 7" 系统中不能运行我1楼的折线图的Qb程序而“Win XP”能够运行；
"Win xp" 系统 不如“Win 98”好用，因为在"Win xp" 系统中不能把运行我1楼的折线图程序后的图形用“打印屏幕”的方式拷贝到文本文件中而“Win 98”可以。
作为交流的帖子，网友们在使用这个程序中有什么问题可以提出来，我会尽量的给予回答。

愚工688

前面在帖子中发10万内全部偶数的计算相对误差的统计计算数据时,没有把误差的分布情况分布,这里发一下(10万,11万]的全部偶数的误差的分布情况与相对误差的统计计算数据发一下,看能否正确显示:
区间[100002,110000]的全部偶数的素对计算的相对误差的分布情况:
δ(m):                   <-.10 [-.10~-.05) [-.05~0)   [0~.05]   (0.05~.1] (.1~.15]  >.15
  -----------------------------------------------------------------------------------------------------
[ 100002 , 102000 ]   0            0          129          848           23           0           0
[ 102002 , 104000 ]   0            0          119          843           38           0           0
[ 104002 , 106000 ]   0            0          73            879           48           0           0
[ 106002 , 108000 ]   0            0          41            884           75           0           0
[ 108002 , 110000 ]   0            0          33            860           107          0           0
  -----------------------------------------------------------------------------------------------------
[ 100002 , 110000 ]   0            0          395          4314          291          0           0

对相对误差的统计计算:   μ-平均相对误差; σχ-标准偏差
M=[ 100002 , 102000 ] r= 317  n= 1000  μ= .017    σχ= .016    δ(min)=-.0338    δ(max)= .0804
M=[ 102002 , 104000 ] r= 317  n= 1000  μ= .019    σχ= .017    δ(min)=-.0381    δ(max)= .0777
M=[ 104002 , 106000 ] r= 317  n= 1000  μ= .023    σχ= .016    δ(min)=-.0244    δ(max)= .0791
M=[ 106002 , 108000 ] r= 317  n= 1000  μ= .028    σχ= .016    δ(min)=-.0376    δ(max)= .0906
M=[ 108002 , 110000 ] r= 331  n= 1000  μ= .03      σχ= .016    δ(min)=-.0214    δ(max)= .0798
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
M=[ 100002 , 110000 ] r= 331  n= 5000  μ= .0233   σχ= .017    δ(min)=-.0381    δ(max)= .0906

这些数据不是凭空得出的,它是建立在这些偶数的全部素对的基础上面的:
[ 100002 =]:  49891 + 50111   49871 + 50131  ……
……
…… 97 + 109903   13 + 109987  
M= 110000     S(m)= 932   S1(m)= 921  sp(m)= 990.313  δ(m)= .0626 δ1= .075 K= 1.481

愚工688

看看50万的一组偶数的素对数据,相对误差 δ(m)都不大吧:
  [ 500000 = ]  249973 + 250027  249943 + 250057  … 43 + 499957  31 + 499969
M= 500000  S(m)= 3052  S1(m)= 3032 Sp(m)= 3187.66  δ(m)= .044 K(m)= 1.333 δ1= .051
* Sp( 500000)=[( 500000/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)*……*( 689/ 691)*( 699/ 701)= 3187.66

[ 500002 = ]  249989 + 250013  249971 + 250031 … 29 + 499973  23 + 499979
M= 500002  S(m)= 2340  S1(m)= 2323 Sp(m)= 2465.65  δ(m)= .054 K(m)= 1.031 δ1= .061
* Sp( 500002)=[( 500002/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*…*( 689/ 691)*( 699/ 701)= 2465.65

M= 500004  S(m)= 5261  S1(m)= 5235 Sp(m)= 5532.037  δ(m)= .052 K(m)= 2.314 δ1= .057
M= 500006  S(m)= 2483  S1(m)= 2468 Sp(m)= 2608.12    δ(m)= .050  K(m)= 1.091 δ1= .057
M= 500008  S(m)= 2293  S1(m)= 2281 Sp(m)= 2390.785  δ(m)= .043 K(m)= 1     δ1= .048
  [ 500010 = ]  249973 + 250037 …217661 + 282349 … 37 + 499973  31 + 499979
M= 500010  S(m)= 7265  S1(m)= 7224 Sp(m)= 7650.542   δ(m)= .053 K(m)= 3.2   δ1= .059
M= 500012  S(m)= 2240  S1(m)= 2229 Sp(m)= 2390.804 δ(m)= .067  K(m)= 1      δ1= .073
M= 500014  S(m)= 2278  S1(m)= 2266 Sp(m)= 2390.814 δ(m)= .05   K(m)= 1      δ1= .055
M= 500016  S(m)= 5026  S1(m)= 4995 Sp(m)= 5312.942 δ(m)= .057  K(m)= 2.222  δ1= .064
M= 500018  S(m)= 2429  S1(m)= 2419 Sp(m)= 2561.262 δ(m)= .054  K(m)= 1.071  δ1= .059
M= 500020  S(m)= 3165  S1(m)= 3149 Sp(m)= 3339.591 δ(m)= .055  K(m)= 1.397  δ1= .061

任在深

楼主注意！
      哥德巴赫猜想属于纯粹数学！
      纯粹数学是关于空间形的结构以及结构关系的科学！
      而概率是属于应用数学范畴！
      因此你的证明是错误的！

愚工688

哥德巴赫猜想属于什么随便你去吹嘘,哪怕你讲成宇宙飞船也没有人管.
而你讲错的,那么是找出全部的素对的方法错了?或者不能够找出全部素对?
还是计算素对的计算式子错了?你能够写出比这个计算式 的计算相对误差更小的计算式?
空讲是没有用的,要能够写出来才行.
就像网络上面有许多人对刘翔吐槽说他不行一样,但是只用问他一声:你能够比刘翔的跨栏更快么?他就只能瞪眼了。
不要以为自己讲了什么不行就显得自己比它更高明了，还要看你能够做得怎么样啊！