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本帖最后由 fmcjw 于 2015-8-27 06:48 编辑
陈建伟
方程x^2+y^2=z^2费马说有无穷多个正整数解，而对于方程x^n+y^n=z^n，n>2则没有正整数解。从方程的求解角度来讲，费马应该是求出了方程x^2+y^2=z^2的通解！而这个通解必然包含了方程x^2+y^2=z^2的所有可能的正整数解以及非正整数解。显然第二个结论是第一个结论的推论。
对于方程：x^2+y^2=z^2有无穷多组整数解是大家都知道和熟悉的。显然它还有无穷多的非整数解！那么有没有一个包含整数解和非整数解的通解呢？我发现费马定理的证明关键在于n=2时方程x^2+y^2=z^2有无穷多个正整数解的结论费马是怎么得出的？是因为有勾股定理吗？很明显不是！费马应该是求得了不定方程x^2+y^2=z^2的通解式才得出的结论。
经过多年探索，笔者发现了一种求解方程x^2+y^2=z^2的简单方法： 对于方程
x^2+y^2=z^2，(x,y=/=0,x=/=y,z>x,y) (1)
设c 令x-c=a,y-c=b,则x=c+a,y=c+b代入（1）得
(c+a)^2+(c+b)^2=z^2 (2)
由（2)可知，只要(c+a)^2+(c+b)^2是一个完全平方数（2）就成立，也即（1）成立有解！根据二项式定理将（2）式左边展开有
(c+a)^2+(c+b)^2=c^2+2ca+a^2+c^2+2cb+b^2 =c^2+2c(a+b)+a^2+b^2+c^2
=c^2+2c(a+b)+(a+b)^2-2ab+c^2
=[(a+b)+c]^2+c^2-2ab
显然当c^2-2ab=0即c=(2ab)^1/2时
(c+a)^2+(c+b)^2=[(a+b)+c]^2 (3)
是一个完全平方数！因此将c=(2ab)^1/2代入(3)得
[a+(2ab)^1/2]^2+[b+(2ab)^1/2]^2=[(a+b)+(2ab)^1/2]^2 (4)
由（4）式与（1）对比，完全等价，所以我们就求出了方程x^2+y^2=z^2的通解式为
x=a+(2ab)^1/2；
A={ y=b+(2ab)^1/2; （1）
z=a+b+(2ab)^1/2。
a,b取自然数时(2ab)^1/2中只要2ab为完全平方数其解就是正整数解！不难证明这个通解包含了这个方程所有的正整数解！也包含了这个方程所有的非正整数解！因此费马大定理的第一个结论得以确证。 很明显(2ab)^1/2中当（2ab)不为完全平方数时其解就是无理数；当a,b异号（即a,b有一个取负数）时这个解就是复数解！等等。总之，这个解就包含了满足方程x^2+y^2=z^2所有可能的解！ 那么当n>2时，x^n+y^n=z^n是否真的没有正整数解呢？答案是肯定的。因为这个方程我们可以变换成二次方程的形式_
(x^n/2)^2+(y^n/2)^2=(z^n/2)^2 ,
很明显它与x^n+y^n=z^n完全等价！。令x^n/2=A,y^n/2=B,z^n/2=C, x^n+y^n=z^n就变成了
A^2+B^2=C^2
这样的二次方程形式！显然，A=a+(2ab)^1/2;B=b+(2ab)^1/2;C=a+b+(2ab)^1/2,即：
x^n/2=a+(2ab)^1/2;
y^n/2=b+(2an)^1/2; （ 2）
z^n/2=a+b+(2an)^1/2，
所以
x^n=[a+(2ab)^1/2]^2;
y^n=[b+(2ab)^1/2]^2; （3）
z^n=[a+b+(2ab)^1/2]^2;
即x^n+y^n=z^n的通解为：
x={[a+(2ab)^1/2]^2}^1/n；
y={[b+(2ab)^1/2]^2}^1/n; （4）
z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}^1/n。
(n>2)当n=3时有：
x={[a+(2ab)^1/2]^2}1/3;
y={[b+(2ab)^1/2]^2}1/3;
z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}1/3.
[a+(2ab)^1/2]^2是一个完全平方数，当其同时又为一个完全立方数时x才是正整数【在（2ab)^1/2为整数时】。y,z同理.但是，当x为正整数时a与b显然已经确定，那么z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}1/3就不可能任然是正整数！这是因为当[a+(2ab)^1/2]^2=k^3时，[a+b+(2ab)^1/2]^2就不可能还是一个完全三次方数。因此，n=3,x^n+y^n=z^n中x,y,z不可能同为正整数！因此没有正整数解！同理可证n>3时方程x^n+y^n=z^n都没有正整数解！
一般来说当[a+(2ab)^1/2]^2为一个n次幂数时，[b+(2ab)^1/2]^2以及[a+b+(2ab)^1/2]^2就不可能仍然是一个n次幂数！这是由(2ab)^1/2为整数的条件所确定了的。
数(2ab)^1/2为整数的条件是当a或b的取值分别为b或a的2,8,18,32....等整数倍数时。
我们就以a=2b为例，有：
x^n=[a+(2ab)^1/2]^2，
y^n= [b+(2ab)^1/2]^2，
z^n= [a+b+(2ab)^1/2]^2
就变成
x^n= [2b+(2^2b^2)^1/2]^2=(4b)^2
y^n= [b+(2^2b^2)^1/2]^2=(3b)^2
z^n=[2b+b+(2^2b^2)^1/2]^2=(5b)^2
显然，当(4b)^2是一个完全n次方数时，(3b)^2，(5b)^2就不可能也是完全n次方数！如其中的(4b)^2在b取2时等于4的三次方就是一个完全三次方数！而（3*2)^2,(5*2)^2就不是三次方数了。
方程x^2+y^2=z^2的通解还有另一形式：
x=a-(2ab)^1/2;
B ={ y=b-(2ab)^1/2;
z=a+b-(2ab)^1/2.
由于 B中x,y在(2ab)^1/2为正整数时不可能同时为正整数!必有一个是负整数，故不可能有正整数解！。所以在前面的讨论中就没有列出。
由方程X^2+Y^2=Z^2的陈氏解：
X=a+(2ab)^1/2,
｛ Y=b+(2ab)^1/2,
Z=a+b+(2ab)^1/2。
我们可以得到两个重要的关于正整数域内的解：
X=(2n+1)k,
(1) Y=(2n^2+2n)k,
Z=(2n^2+2n+1)k.
(2) X=(2n+2)k
Y=(n^2+2n)k,
Z=(n^2+2n+2)k.
由解（1），（2）可知，对于大于1的所有奇数和大于2的所有偶数，每一个奇数和偶数x都有对应的两个自然数y,z与之组成x,y,z数组，使得x,y,z满足X^2+Y^2=Z^2。由于奇数和偶数的个数无穷多，故X^2+Y^2=Z^2的正整数解有无穷多个！这就直观明白地给出了费马大定理的第一个结论（n=2,X^n+Y^n=Z^n有无穷多个正整数解！）。
以上讨论了方程x^2+y^2=z^2的求解方法并得到其解，同时证明了这个解都不满足x^n+y^n=z^n（n>2)!那么这个解以外的其他正整数数组ABC有没有可能满足A^n+B^n=C^n(n>2)呢?显然，ABC是不满足A^2+B^2=C^2的，我们假设A^n+B^n=C^n(n>2)成立有解，则C>A,C>B,A=/=B=/=0,由于ABC是不满足A^2+B^2=C^2的数，因此有A^2+B^2<C^2这个不等式存在，由这个不等式就可证明A^n+B^n=C^n不真！试证明如下：当n=3
因为： A^2+B^2<C^2
所以 A^2*C+B^2*C<C^2*C
而 A^3+B^3< A^2*C+B^2*C(C>A,B)
所以 A^3+B^3<<C^3
故 A^3+B^3=C^3不成立！即 n=3时 方程x^2+y^2=z^2的 解以外的其他正整数数组ABC 不可能满足 A^3+B^3=C^3！所以 n=3时，
A^n+B^n=C^n 没有正整数解！
同理可证，n>3时 A^n+B^n=C^n 也不可能有正整数解！因为 A^2+B^2<C^2，所以
A^2*C^n-2+B^2*C^n-2<C^2*C^n-2
又因为
A^2*A^n-2+B^2*B^n-2< A^2*C^n-2+B^2*C^n-2 ,所以
A^2*A^n-2+B^2*B^n-2<<C^2*C^n-2 即:
A^n+B^n<<C^n，
而不是 A^n+B^n=C^n！
前面又证明了x^2+y^2=z^2时，X^3+Y^3<Z^3(因为x^2*x+y^2*y<x^2*c+y^2*c,而x^2*c+y^2*c=c^2*c)所以x^2+y^2无论是小于还是等于z^2都有X^3+Y^3<Z^3！以至于A^n+B^n<<C^n（n>2).
这里没有证明当A^2+B^2>C^2时的情况，是因为此时不能用前面方法确证当A^2+B^2>C^2时 A^3+B^3就一定大于C^3 ！这个问题的解决有耐于其他方法证明。
根据数的拆分法，对于费马定理是不是所有正整数的n次幂数都不能分为两个同次幂数的和呢？下面我们就从这个思路出发来讨论费马定理的第二个结论是否成立。
由不定方程x^2+y^2=z^2的陈氏解
X=(2n+1)k,
(1) Y=(2n^2+2n)k,
Z=(2n^2+2n+1)k.
X=(2n+2)k
（2） Y=(n^2+2n)k,
Z=(n^2+2n+2)k.
可知，(2n^2+2n+1)^2可以分成(2n+1)^2与(2n^2+2n)^2的和以及(n^2+2n+2)^2可以分成(2n+2)^2与(n^2+2n)^2的和，由于我们已经证明解(1) ，（2）不满足x^n+y^n=z^n（n>2)，即(2n^2+2n+1)^n和(n^2+2n+2)^n不能拆分为两个同次幂数的和，那么其他的正整数有没有可能拆分为两个同次幂数的和呢？以n=3为例，有没有A,B,C的正整数组满足A^3+B^3=C^3呢？显然若A^3+B^3=C^3则（C>A,C>B,A=/=B),设A=(2n+1)为A,B,C中最小一个，则A就是大于1的奇数，又因C>A则令C=2n+3,则C 就是大于5的奇数。(当然也可令C=2n+5，2n+7,等等，但2n+5，2n+7等显然已经包含在2n+3中了，只不过增大了C的最小一个数值而已）。
A^3+B^3=C^3
就变成
(2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3 (q)
由(q)可知 (2n+1)，B，[(2n+1)+2]三数就属于解(1) ，（2）以外的其他的正整数，(q)中的B若也是正整数则说明A^3+B^3=C^3成立，费马定理就不成立。由(q)有
(2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3
=(2n+1)^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
= A^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
=A^3+6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
所以有
B^3 =6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
=2[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]
即 B=2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3
在2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3中只有当[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]等于2^3m-1时2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3即B才等于正整数！但是因为3(2n+1)^2是奇数，所以[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]恒为奇数，不可能等于2^3m-1！因此B恒为无理数。
因2^1/3为无理数，所以，任一大于三的奇数的三次幂数都不可能分成两个三次幂数的和！同理可证，任一大于4的偶数的三次幂数也不可能分成两个三次幂数的和！所以费马大定理得证成立！
因此所有不满足方程x^2+y^2=z^2的自然数xyz同样不满足x^n+y^n=z^n！费马大定理至此得以证明成立！
这就是笔者对费马定理给出的简捷证法。请各位先生斧正！
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发表于 2015-8-9 23:46
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