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方程x^2+y^2=z^2的求解方法与费马大定理的证明

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发表于 2015-8-9 23:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 fmcjw 于 2015-8-27 06:48 编辑

                                                                                          陈建伟      

     方程x^2+y^2=z^2费马说有无穷多个正整数解,而对于方程x^n+y^n=z^n,n>2则没有正整数解。从方程的求解角度来讲,费马应该是求出了方程x^2+y^2=z^2的通解!而这个通解必然包含了方程x^2+y^2=z^2的所有可能的正整数解以及非正整数解。显然第二个结论是第一个结论的推论。        
      对于方程:x^2+y^2=z^2有无穷多组整数解是大家都知道和熟悉的。显然它还有无穷多的非整数解!那么有没有一个包含整数解和非整数解的通解呢?我发现费马定理的证明关键在于n=2时方程x^2+y^2=z^2有无穷多个正整数解的结论费马是怎么得出的?是因为有勾股定理吗?很明显不是!费马应该是求得了不定方程x^2+y^2=z^2的通解式才得出的结论。
     经过多年探索,笔者发现了一种求解方程x^2+y^2=z^2的简单方法:       对于方程                        
                                               x^2+y^2=z^2,(x,y=/=0,x=/=y,z>x,y)                       (1)
设c     令x-c=a,y-c=b,则x=c+a,y=c+b代入(1)得
                                               (c+a)^2+(c+b)^2=z^2                                     (2)
由(2)可知,只要(c+a)^2+(c+b)^2是一个完全平方数(2)就成立,也即(1)成立有解!根据二项式定理将(2)式左边展开有
                                   (c+a)^2+(c+b)^2=c^2+2ca+a^2+c^2+2cb+b^2                                                                                                                                  =c^2+2c(a+b)+a^2+b^2+c^2                              
                                                              =c^2+2c(a+b)+(a+b)^2-2ab+c^2                              
                                                              =[(a+b)+c]^2+c^2-2ab
显然当c^2-2ab=0即c=(2ab)^1/2时         
                                              (c+a)^2+(c+b)^2=[(a+b)+c]^2                        (3)
是一个完全平方数!因此将c=(2ab)^1/2代入(3)得                        
                                              [a+(2ab)^1/2]^2+[b+(2ab)^1/2]^2=[(a+b)+(2ab)^1/2]^2          (4)
由(4)式与(1)对比,完全等价,所以我们就求出了方程x^2+y^2=z^2的通解式为                        
                                             x=a+(2ab)^1/2;                        
     A={                                  y=b+(2ab)^1/2;                                         (1)                        
                                             z=a+b+(2ab)^1/2。  
a,b取自然数时(2ab)^1/2中只要2ab为完全平方数其解就是正整数解!不难证明这个通解包含了这个方程所有的正整数解!也包含了这个方程所有的非正整数解!因此费马大定理的第一个结论得以确证。     很明显(2ab)^1/2中当(2ab)不为完全平方数时其解就是无理数;当a,b异号(即a,b有一个取负数)时这个解就是复数解!等等。总之,这个解就包含了满足方程x^2+y^2=z^2所有可能的解!        那么当n>2时,x^n+y^n=z^n是否真的没有正整数解呢?答案是肯定的。因为这个方程我们可以变换成二次方程的形式_               
                                           (x^n/2)^2+(y^n/2)^2=(z^n/2)^2 ,
很明显它与x^n+y^n=z^n完全等价!。令x^n/2=A,y^n/2=B,z^n/2=C,  x^n+y^n=z^n就变成了                     
                                           A^2+B^2=C^2
这样的二次方程形式!显然,A=a+(2ab)^1/2;B=b+(2ab)^1/2;C=a+b+(2ab)^1/2,即:              
                                          x^n/2=a+(2ab)^1/2;               
                                          y^n/2=b+(2an)^1/2;                                      ( 2)               
                                          z^n/2=a+b+(2an)^1/2,
所以                 
                                          x^n=[a+(2ab)^1/2]^2;               
                                          y^n=[b+(2ab)^1/2]^2;                                      (3)              
                                          z^n=[a+b+(2ab)^1/2]^2;
即x^n+y^n=z^n的通解为:               
                                          x={[a+(2ab)^1/2]^2}^1/n;               
                                          y={[b+(2ab)^1/2]^2}^1/n;                                  (4)               
                                          z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}^1/n。     
(n>2)当n=3时有:                        
                                          x={[a+(2ab)^1/2]^2}1/3;                        
                                          y={[b+(2ab)^1/2]^2}1/3;                        
                                          z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}1/3.  
[a+(2ab)^1/2]^2是一个完全平方数,当其同时又为一个完全立方数时x才是正整数【在(2ab)^1/2为整数时】。y,z同理.但是,当x为正整数时a与b显然已经确定,那么z={[a+b+(2ab)^1/2]^2}1/3就不可能任然是正整数!这是因为当[a+(2ab)^1/2]^2=k^3时,[a+b+(2ab)^1/2]^2就不可能还是一个完全三次方数。因此,n=3,x^n+y^n=z^n中x,y,z不可能同为正整数!因此没有正整数解!同理可证n>3时方程x^n+y^n=z^n都没有正整数解!      
     一般来说当[a+(2ab)^1/2]^2为一个n次幂数时,[b+(2ab)^1/2]^2以及[a+b+(2ab)^1/2]^2就不可能仍然是一个n次幂数!这是由(2ab)^1/2为整数的条件所确定了的。
     数(2ab)^1/2为整数的条件是当a或b的取值分别为b或a的2,8,18,32....等整数倍数时。
我们就以a=2b为例,有:                     
                                           x^n=[a+(2ab)^1/2]^2,                     
                                           y^n= [b+(2ab)^1/2]^2,                     
                                           z^n= [a+b+(2ab)^1/2]^2
就变成                     
                                            x^n= [2b+(2^2b^2)^1/2]^2=(4b)^2                     
                                            y^n= [b+(2^2b^2)^1/2]^2=(3b)^2                     
                                            z^n=[2b+b+(2^2b^2)^1/2]^2=(5b)^2
显然,当(4b)^2是一个完全n次方数时,(3b)^2,(5b)^2就不可能也是完全n次方数!如其中的(4b)^2在b取2时等于4的三次方就是一个完全三次方数!而(3*2)^2,(5*2)^2就不是三次方数了。
      方程x^2+y^2=z^2的通解还有另一形式:
                  x=a-(2ab)^1/2;
B  ={         y=b-(2ab)^1/2;
                  z=a+b-(2ab)^1/2.
由于 B中x,y在(2ab)^1/2为正整数时不可能同时为正整数!必有一个是负整数,故不可能有正整数解!。所以在前面的讨论中就没有列出。
由方程X^2+Y^2=Z^2的陈氏解:
                           X=a+(2ab)^1/2,
                    {   Y=b+(2ab)^1/2,
                           Z=a+b+(2ab)^1/2。
我们可以得到两个重要的关于正整数域内的解:
                           X=(2n+1)k,
       (1)               Y=(2n^2+2n)k,
                           Z=(2n^2+2n+1)k.
      

       (2)              X=(2n+2)k
                         Y=(n^2+2n)k,
                         Z=(n^2+2n+2)k.
由解(1),(2)可知,对于大于1的所有奇数和大于2的所有偶数,每一个奇数和偶数x都有对应的两个自然数y,z与之组成x,y,z数组,使得x,y,z满足X^2+Y^2=Z^2。由于奇数和偶数的个数无穷多,故X^2+Y^2=Z^2的正整数解有无穷多个!这就直观明白地给出了费马大定理的第一个结论(n=2,X^n+Y^n=Z^n有无穷多个正整数解!)。

       以上讨论了方程x^2+y^2=z^2的求解方法并得到其解,同时证明了这个解都不满足x^n+y^n=z^n(n>2)!那么这个解以外的其他正整数数组ABC有没有可能满足A^n+B^n=C^n(n>2)呢?显然,ABC是不满足A^2+B^2=C^2的,我们假设A^n+B^n=C^n(n>2)成立有解,则C>A,C>B,A=/=B=/=0,由于ABC是不满足A^2+B^2=C^2的数,因此有A^2+B^2<C^2这个不等式存在,由这个不等式就可证明A^n+B^n=C^n不真!试证明如下:当n=3


因为:                             A^2+B^2<C^2
                                    
所以                                A^2*C+B^2*C<C^2*C

而                                   A^3+B^3< A^2*C+B^2*C(C>A,B)   

所以                                A^3+B^3<<C^3   

故    A^3+B^3=C^3不成立!即 n=3时 方程x^2+y^2=z^2的 解以外的其他正整数数组ABC 不可能满足  A^3+B^3=C^3!所以  n=3时,

                  A^n+B^n=C^n   没有正整数解!

同理可证,n>3时  A^n+B^n=C^n  也不可能有正整数解!因为 A^2+B^2<C^2,所以

                   A^2*C^n-2+B^2*C^n-2<C^2*C^n-2  

又因为
                  A^2*A^n-2+B^2*B^n-2< A^2*C^n-2+B^2*C^n-2   ,所以

                  A^2*A^n-2+B^2*B^n-2<<C^2*C^n-2    即:

                  A^n+B^n<<C^n,

而不是 A^n+B^n=C^n!
       前面又证明了x^2+y^2=z^2时,X^3+Y^3<Z^3(因为x^2*x+y^2*y<x^2*c+y^2*c,而x^2*c+y^2*c=c^2*c)所以x^2+y^2无论是小于还是等于z^2都有X^3+Y^3<Z^3!以至于A^n+B^n<<C^n(n>2).

       这里没有证明当A^2+B^2>C^2时的情况,是因为此时不能用前面方法确证当A^2+B^2>C^2时 A^3+B^3就一定大于C^3  !这个问题的解决有耐于其他方法证明。
        根据数的拆分法,对于费马定理是不是所有正整数的n次幂数都不能分为两个同次幂数的和呢?下面我们就从这个思路出发来讨论费马定理的第二个结论是否成立。
        由不定方程x^2+y^2=z^2的陈氏解
                           X=(2n+1)k,
       (1)               Y=(2n^2+2n)k,
                           Z=(2n^2+2n+1)k.


      

                         X=(2n+2)k
         (2)       Y=(n^2+2n)k,
                         Z=(n^2+2n+2)k.

可知,(2n^2+2n+1)^2可以分成(2n+1)^2与(2n^2+2n)^2的和以及(n^2+2n+2)^2可以分成(2n+2)^2与(n^2+2n)^2的和,由于我们已经证明解(1) ,(2)不满足x^n+y^n=z^n(n>2),即(2n^2+2n+1)^n和(n^2+2n+2)^n不能拆分为两个同次幂数的和,那么其他的正整数有没有可能拆分为两个同次幂数的和呢?以n=3为例,有没有A,B,C的正整数组满足A^3+B^3=C^3呢?显然若A^3+B^3=C^3则(C>A,C>B,A=/=B),设A=(2n+1)为A,B,C中最小一个,则A就是大于1的奇数,又因C>A则令C=2n+3,则C 就是大于5的奇数。(当然也可令C=2n+5,2n+7,等等,但2n+5,2n+7等显然已经包含在2n+3中了,只不过增大了C的最小一个数值而已)。
                                    A^3+B^3=C^3
就变成
                                   (2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3                  (q)
由(q)可知 (2n+1),B,[(2n+1)+2]三数就属于解(1) ,(2)以外的其他的正整数,(q)中的B若也是正整数则说明A^3+B^3=C^3成立,费马定理就不成立。由(q)有

                                  (2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3
                                                          =(2n+1)^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
                                                          = A^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
                                                          =A^3+6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
所以有
                                                   B^3 =6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
                                                          =2[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]

即                                                     B=2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3

       在2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3中只有当[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]等于2^3m-1时2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3即B才等于正整数!但是因为3(2n+1)^2是奇数,所以[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]恒为奇数,不可能等于2^3m-1!因此B恒为无理数。
因2^1/3为无理数,所以,任一大于三的奇数的三次幂数都不可能分成两个三次幂数的和!同理可证,任一大于4的偶数的三次幂数也不可能分成两个三次幂数的和!所以费马大定理得证成立!










因此所有不满足方程x^2+y^2=z^2的自然数xyz同样不满足x^n+y^n=z^n!费马大定理至此得以证明成立!


                                                              

                                    






这就是笔者对费马定理给出的简捷证法。请各位先生斧正!
                                                                                                                                                                                                  

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 楼主| 发表于 2015-8-11 00:20 | 显示全部楼层
1234567- 发表于 2015-8-10 18:22
对于x^n + y^n = z^n,在 n = 2 时的解,并不
一定都是 n > 2 时的解!因此,你的证明有问题!

谢谢先生提出自己的看法和见解!对于x^n + y^n = z^n,在 n = 2 时的解为(1), n > 2 时的解为(4)。(1)与(4)显然是完全不同的解!只不过它们有一定的关系而已。
 楼主| 发表于 2015-8-11 01:27 | 显示全部楼层
fmcjw 发表于 2015-8-11 00:20
谢谢先生提出自己的看法和见解!对于x^n + y^n = z^n,在 n = 2 时的解为(1), n > 2 时的解为(4)。 ...

根据解(4)可知,当n=2时,解(4)就还原为解(1)!n>2时x^n + y^n = z^n的解是解(1)的完全平方数的n次根。所以并不是 n = 2 时的解!只是与解(1)有关。当然我们也可以用二项式定理分别对n>2的各个方程求解来求证费马定理。
例如对方程x^3+y^3=Z^3求解有
设数c<x,c<y=/=0,令x-c=a,y-c=b则x=c+a,y=c+b代入方程x^3+y^3=Z^3有:
                      (c+a)^3+(c+b)^3=z^3
将左边展开
c^3+3c^2a+3ca^2+a^3+c^3+3c^2b+3cb^2+b^3=c^3+3c^2(a+b)+3c(a^2+b^2)+a^3+b^3+c^3
               =c^3+3c^2(a+b)+3c(a+b)^2+(a+b)^3-3a^2b-3ab^2-6cab+c^3
               =[c+(a+b)]^3+c^3-6cab-3ab(a+b)
显然,当且仅当c^3-6cab-3ab(a+b)=0时
                (c+a)^3+(c+b)^3=[c+(a+b)]^3
即 (c+a)^3+(c+b)^3是完全立方数!由c^3-6cab-3ab(a+b)=0可知,解这个一元三次方程求出以a,b表示的c代入 (c+a)^3+(c+b)^3=[c+(a+b)]^3即可证明方程x^3+y^3=Z^3没有正整数解!
 楼主| 发表于 2015-8-12 02:13 | 显示全部楼层
1234567- 发表于 2015-8-11 08:34
应更正为: 对于x^n + y^n = z^n,n > 2 时的解,并
不都是由 n = 2 时的解求得的!因此,你的证明有问 ...

谢谢先生再次提出宝贵的看法!先生的意思我明白,对于 n = 2 时的解以外的任意三个数组成的数组xyz是否满足x^n + y^n = z^n也是需要证明的!
 楼主| 发表于 2015-8-12 04:43 | 显示全部楼层
fmcjw 发表于 2015-8-12 02:13
谢谢先生再次提出宝贵的看法!先生的意思我明白,对于 n = 2 时的解以外的任意三个数组成的数组xyz是否满 ...


我已将原文增加了补充证明。
 楼主| 发表于 2015-8-13 16:07 | 显示全部楼层
其实费马大顶理的证明就用他发明的二项式定理对方程x^n + y^n = z^n进行求解便可得证!因为n>2时,我们就会得到由a,b表示的C的一元n次方程!依次对这些一元高次方程求解就会得出C不可能有正整数解!而只有n=2时得到的一元二次方程C^2-2ab=0的解:C=(2ab)^1/2才有无穷多的正整数解!
发表于 2015-8-13 22:15 | 显示全部楼层
fmcjw 发表于 2015-8-13 16:07
其实费马大顶理的证明就用他发明的二项式定理对方程x^n + y^n = z^n进行求解便可得证!因为n>2时,我们就会 ...

看看我的《费马大定理》,也许,你就明白费马大定理是如何证明了。
 楼主| 发表于 2015-8-15 01:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 fmcjw 于 2015-8-15 01:53 编辑
maoguicheng 发表于 2015-8-13 22:15
看看我的《费马大定理》,也许,你就明白费马大定理是如何证明了。


X^n+Y^n=/=Z^n?在未经证明前就先入为主!这是需要证明X^n+Y^n=Z^n无正整数解后才成立的整数不等式方程!
 楼主| 发表于 2015-8-15 02:03 | 显示全部楼层
况且X^n+Y^n=Z^n起码在非正整数内应当是成立有解的!当确证没有正整数解时才有X^n+Y^n=/=Z^n且要附加(x,y,z=R)的条件。
 楼主| 发表于 2015-8-15 02:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 fmcjw 于 2015-8-27 06:39 编辑

由方程X^2+Y^2=Z^2的陈氏解:
                           X=a+(2ab)^1/2,
                    {   Y=b+(2ab)^1/2,
                           Z=a+b+(2ab)^1/2。
我们可以得到两个重要的关于正整数域内的解:
                           X=(2n+1)k,
       (1)               Y=(2n^2+2n)k,
                           Z=(2n^2+2n+1)k.
      

       (2)              X=(2n+2)k
                         Y=(n^2+2n)k,
                         Z=(n^2+2n+2)k.
由解(1),(2)可知,对于大于1的所有奇数和大于2的所有偶数,每一个奇数和偶数x都有对应的两个自然数y,z与之组成x,y,z数组,使得x,y,z满足X^2+Y^2=Z^2。由于奇数和偶数的个数无穷多,故X^2+Y^2=Z^2的正整数解有无穷多个!这就直观明白地给出了费马大定理的第一个结论(n=2,X^n+Y^n=Z^n有无穷多个正整数解!)。
      
       根据数的拆分法,对于费马定理是不是所有正整数的n次幂数都不能分为两个同次幂数的和呢?下面我们就从这个思路出发来讨论费马定理的第二个结论是否成立。
        由不定方程x^2+y^2=z^2的陈氏解
                           X=(2n+1)k,
       (1)               Y=(2n^2+2n)k,
                           Z=(2n^2+2n+1)k.


      

                         X=(2n+2)k
         (2)       Y=(n^2+2n)k,
                         Z=(n^2+2n+2)k.

可知,(2n^2+2n+1)^2可以分成(2n+1)^2与(2n^2+2n)^2的和以及(n^2+2n+2)^2可以分成(2n+2)^2与(n^2+2n)^2的和,由于我们已经证明解(1) ,(2)不满足x^n+y^n=z^n(n>2),即(2n^2+2n+1)^n和(n^2+2n+2)^n不能拆分为两个同次幂数的和,那么其他的正整数有没有可能拆分为两个同次幂数的和呢?以n=3为例,有没有A,B,C的正整数组满足A^3+B^3=C^3呢?显然若A^3+B^3=C^3则(C>A,C>B,A=/=B),设A=(2n+1)为A,B,C中最小一个,则A就是大于1的奇数,又因C>A则令C=2n+3,则C 就是大于5的奇数。(当然也可令C=2n+5,2n+7,等等,但2n+5,2n+7等显然已经包含在2n+3中了,只不过增大了C的最小一个数值而已)。
                                    A^3+B^3=C^3
就变成
                                   (2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3                  (q)
由(q)可知 (2n+1),B,[(2n+1)+2]三数就属于解(1) ,(2)以外的其他的正整数,(q)中的B若也是正整数则说明A^3+B^3=C^3成立,费马定理就不成立。由(q)有

                                  (2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3
                                                          =(2n+1)^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
                                                          = A^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
                                                          =A^3+6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
所以有
                                                   B^3 =6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
                                                          =2[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]

即                                                     B=2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3

在2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3中只有当[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]等于2^3m-1时2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3即B才等于正整数!但是因为3(2n+1)^2是奇数,所以[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]恒为奇数,不可能等于2^3m-1!因此B恒为无理数。
因2^1/3为无理数,所以,任一大于三的奇数的三次幂数都不可能分成两个三次幂数的和!同理可证,任一大于4的偶数的三次幂数也不可能分成两个三次幂数的和!所以费马大定理得证成立!


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