田刚率先解决YTD猜想的论文在CPAM发表

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田刚率先解决YTD猜想的论文在CPAM发表

来源：北京大学数学科学学院网站

北京大学数学科学学院院长、北京国际数学研究中心主任田刚教授率先解决K-稳定
Fano流形上Kohler-Einstein度量存在性问题（即Fano情形的著名YTD猜想）论文已在世
界顶尖数学期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）上发表。
CPAM于1948年在著名的库朗数学研究所创刊。根据ISI Journal Citation Reports，2013
年CPAM被评价为302种入选数学类刊物的第一名。

上世纪五十年代早期，美国数学家E.Calabi提出了Kohler-Einstein度量存在性问题：确定
Kohler流形上存在这一度量的充分必要条件。一个明显的必要条件是第一陈示性类是正
定、负定、或者为零。美籍华裔数学家丘成桐教授在1978年发表的论文中，证明了当
第一陈示性类为零或负定时Kohler-Einstein度量的存在性，即上述必要条件也是充分条
件。 第一陈示性类为负定的情形也被法国数学家Aubin独立解决。由于上述Calabi问题
是复微分几何中的基本问题并有广泛应用，因此人们希望在研究Fano流形上（即第一
陈示性类正定时）Kohler-Einstein度量的存在性问题中也有所突破。但是因为有新的必
要条件，这成为一个十分困难的问题。1957年，日本数学家Matsushima发现
Kohler-Einstein度量的存在性需要全纯向量场的李代数是约化的。1983年，日本数学家
Futaki引进了新的全纯不变量并证明它是Kohler-Einstein度量存在的障碍。1989年，田刚
利用他先前引进的不变量以及他发展的部分连续模估计这一新工具，彻底解决了复曲
面上的Calabi问题。这是非常重要的突破。高维的情形则更加困难。田刚首先给出例子
说明，即使没有非零全纯向量场也有可能不存在Kohler-Einstein度量。1996年，利用他
与丁伟岳教授合作定义的全纯不变量，田刚引进了K稳定的概念，证明流形上存在
Kohler-Einstein度量的Fano流形必须是K稳定的。之后K稳定的概念得到进一步发展并推
广到任意极化的Kohler流形，成为代数几何重要的概念之一。

2012年10月，田刚率先宣布解决了K-稳定Fano流形上Kohler-Einstein度量的存在性问题并
给出了证明概要。解决这个长期未决的重大问题的关键技术途径是在锥Kohler-Einstein空
间情形建立田刚早先猜测的部分连续模估计，而建立这一关键估计的主要方法是推广
Cheeger-Colding-Tian有关Kohler-Einstein流形的紧化理论。田刚的证明综合应用了众多理
论，涉及到很多数学分支，比如微分几何、代数几何、偏微分方程、多复分析、度量几
何等，特别是其证明将这些领域联系在一起，将完善并推动这些学科的发展。

红树

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