试证：从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛，其和不大于 80

王守恩

elim 发表于 2019-3-1 19:46
你这个级数的项不是正整数的倒数．

谢谢elim！

从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含某些数码的项后所得的和可以是 1234567890 。

   很多答案中的一种。

elim

王守恩 发表于 2019-3-1 09:59
谢谢elim！

从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含某些数码的项后所得的和可以是 1234567890 。

還不是一些正整數的倒數

王守恩

elim 发表于 2019-3-2 16:04
還不是一些正整數的倒數

谢谢elim！

从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含某些数码的项后所得的和可以是 1234567890 。

   很多答案中的一种。

elim

你的项的分母不能被分子整除．所以它不等于任何 1/n.  (n是正整数)

王守恩

永远 发表于 2019-2-28 00:12
这是一道考试题，仔细分析，很可惜，我没考上大学，哎！（陕西初赛）

谢谢elim！谢谢永远！

由以下可得（一）式：
1位：9×(1/10^0)=9×(9/10)^0
2位：9×10×(1/10^1)=9×(9/10)^0
3位：9×9×10×(1/10^2)=9×(9/10)^1
4位：9×9×10×10×(1/10^3)=9×(9/10)^1
5位：9×9×9×10×10×(1/10^4)=9×(9/10)^2
6位：9×9×9×10×10×10×(1/10^5)=9×(9/10)^2
7位：9×9×9×9×10×10×10×(1/10^6)=9×(9/10)^3
8位：9×9×9×9×10×10×10×10×(1/10^7)=9×(9/10)^3
9位：9×9×9×9×9×10×10×10×10×(1/10^8)=9×(9/10)^4
n位：9^(n/2)×10^(n/2)×(1/10^(n-1))=9×(9/10)^((n-2)/2)
由以下可得（二）式：
1位：9×(1/10^0)=9×(9/10)^0
2位：9×10×(1/10^1)=9×(9/10)^0
3位：9×10×10×(1/10^2)=9×(9/10)^0
4位：9×9×10×10×(1/10^3)=9×(9/10)^1
5位：9×9×10×10×10×(1/10^4)=9×(9/10)^1
6位：9×9×10×10×10×10×(1/10^5)=9×(9/10)^1
7位：9×9×9×10×10×10×10×(1/10^6)=9×(9/10)^2
8位：9×9×9×10×10×10×10×10×(1/10^7)=9×(9/10)^2
9位：9×9×9×10×10×10×10×10×10×(1/10^8)=9×(9/10)^2
n位：9^(n/3)×10^(2n/3)×(1/10^(n-1))=9×(9/10)^((n-3)/3)
由以下可得（三）式：
1位：9×(1/10^0)=9×(9/10)^0
2位：9×10×(1/10^1)=9×(9/10)^0
3位：9×10×10×(1/10^2)=9×(9/10)^0
4位：9×10×10×10×(1/10^3)=9×(9/10)^0
5位：9×9×10×10×10×(1/10^4)=9×(9/10)^1
6位：9×9×10×10×10×10×(1/10^5)=9×(9/10)^1
7位：9×9×10×10×10×10×10×(1/10^6)=9×(9/10)^1
8位：9×9×10×10×10×10×10×10×(1/10^7)=9×(9/10)^1
9位：9×9×9×10×10×10×10×10×10×(1/10^8)=9×(9/10)^2
n位：9^(n/4)×10^(3n/4)×(1/10^(n-1))=9×(9/10)^((n-4)/4)
由（一）,（二）,（三）可得（四）式。

永远

转载陆老师生活园地：（2011-4-9 23:28:47）

王守恩

王守恩 发表于 2019-3-4 07:48
谢谢elim！谢谢永远！

由以下可得（一）式：

还真是不好找的。谢谢 elim！谢谢永远！谢谢陆老师！

从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含某些数码的项后所得的和可以是 1234567890 。

王守恩

正整数中:  使得十进制表示的非零子序列不能被 3 整除。

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 17, 20, 22, 25, 28, 40, 41, 44, 47, 50, 52, 55, 58, 70, 71,
74, 77, 80, 82, 85, 88, 100, 101, 104, 107, 110, 140, 170, 200, 202, 205, 208, 220,
250, 280, 400, 401, 404, 407, 410, 440, 470, 500, 502, 505, 508, 520, 550, 580,....

s=1+1/2+1/4+1/5+1/7+1/8+1/10+1/11+1/14+1/17+1/20+1/22+1/25+........

cgl_74

luyuanhong 发表于 2019-2-19 21:36
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

这个帖子大家讨论得很激烈！但是遗憾的是，题主的结论是错误的！调和级数去掉含9的项，实际上是发散的！这个其实也很好证明，因为前n项中，含9的项之和，是小于不含9的项之和的。由于调和级数发散，不含9之和也必发散！
陆老师的证明，主要的错误点是数列的项数计算错误。比如算前1000项时(不含9的)，实际上要包含1/1001，1/1002等项，因为含9的项去掉了，要用后面的数项补足。但陆老师没计算在内，结果算小了。

王守恩

cgl_74 发表于 2022-12-30 16:18
这个帖子大家讨论得很激烈！但是遗憾的是，题主的结论是错误的！调和级数去掉含9的项，实际上是发散的 ...

不走弯路了！

分母缺数码 "9" 调和级数的和, 见--OEIS--A082838，

结果约 22.92067661926415034816365709437......