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试证:从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛,其和不大于 80

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发表于 2019-2-14 10:46 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码9的项后所得级数收敛,其和不大于80.
 楼主| 发表于 2019-2-15 15:55 | 显示全部楼层
不含数码9的 k 位正整数有 8×9^(k-1) 个,其中最小的是 10^(k-1), 最大的是 (10^k-1)(8/9)  (各位都是8).
1/1,...,1/8,1/10,...,1/88,1/100,...,1/888,.... 它们的和
< 8 + 8(9/10) + 8(9/10)^2 + 8(9/10)^3+... =8(1/(1-9/10)) = 80.
 楼主| 发表于 2019-2-15 17:05 | 显示全部楼层
要得到一个不含9的k位数,最高位有 1 到 8 共8种选择,其余 k-1 位有 0 到 8 共 9 种选择,据乘法原理,不含数码 9 的 k 位数共有8×9^(k-1) 个.
发表于 2019-2-16 12:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-2-17 14:58 编辑
elim 发表于 2019-2-15 15:55
不含数码9的 k 位正整数有 8×9^(k-1) 个,其中最小的是 10^(k-1), 最大的是 (10^k-1)(8/9)  (各位都是8) ...


这是一道好题!我也来凑凑热闹。
题:试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母是 “好数” 的项后所得级数收敛.
“好数” 指恰好有2个(不多也不少)数码9,且这2个数码9是相邻的数。
 楼主| 发表于 2019-2-17 00:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2019-2-16 12:41 编辑

谢谢王守恩网友的参与。这么弄出来的级数是发散的:


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 楼主| 发表于 2019-2-17 03:46 | 显示全部楼层
解释:
k (>2) 位“好数”首位非9的有 8(k-2)9^(k-3) 个,首位为9的有 9^(k-2) 个。每个k 位数的倒数都大于 1/10^k.

上贴最后一个级数的一般项趋于 1.
 楼主| 发表于 2019-2-17 12:43 | 显示全部楼层
希望永远网友参与讨论, 叙述解题思路. 精进级数有关的分析能力.
发表于 2019-2-17 13:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-2-17 14:03 编辑
elim 发表于 2019-2-17 00:55
谢谢王守恩网友的参与。这么弄出来的级数是发散的:


(1)是主帖对应的级数。
(2),(3),(4)是主帖的扩展,允许某些数位上的数码可以是9
(5),(6),(7)还是主帖的扩展,只不过是允许最高位上的数码也可以是9。
(8)说明 4 楼弄出来的级数是发散的。
谢谢elim!这是一道很好的题目,引人回味,催人上进。谢谢elim!

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发表于 2019-2-19 08:04 | 显示全部楼层
题:试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛,其和不大于80.
题:试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 1 的项后所得级数收敛,其和不大于24.
发表于 2019-2-19 21:36 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子,可供参考:



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点评

谢谢陆老师!  发表于 2019-2-21 09:52
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