基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

愚工688

  使用计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2   ；( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )
计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量： n= 37 ,M=2^n= 137438953472

  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 147303944.55 δxi( 137438953472 )≈-0.016079  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953474 ) = 160758894 ;Xi(M)≈ 158151794.14 δxi( 137438953474 )≈-0.016217  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953476 ) = 342102886 ;Xi(M)≈ 336531855.04 δxi( 137438953476 )≈-0.016285  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953478 ) = 152566237 ;Xi(M)≈ 150088150.76 δxi( 137438953478 )≈-0.016243  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953480 ) = 201336558 ;Xi(M)≈ 198075689.15 δxi( 137438953480 )≈-0.016196  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953482 ) = 310570474 ;Xi(M)≈ 305519284.54 δxi( 137438953482 )≈-0.016264  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953484 ) = 179683321 ;Xi(M)≈ 176764736.13 δxi( 137438953484 )≈-0.016243  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953486 ) = 149792138 ;Xi(M)≈ 147365867.83 δxi( 137438953486 )≈-0.016198  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953488 ) = 304550723 ;Xi(M)≈ 299593962.18 δxi( 137438953488 )≈-0.016276  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953490 ) = 201051869 ;Xi(M)≈ 197790836.82 δxi( 137438953490 )≈-0.016220  (t1=  1.067838 )
  S( 137438953492 ) = 152367733 ;Xi(M)≈ 149888230.13 δxi( 137438953492 )≈-0.016273  (t1=  1.067838 )
  time start =15:00:11       time end =15:10:06

可以看到，正如47楼所述那样，从n=30起偶数的相对误差绝对值的数值处于单调增大的过程中，这反映出 t1解析式的值的缩小的速度要大于实际偶数与哈李计算式值的相对误差均值的变化速度，因此对于越来越大的偶数来说， Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 只能限定在一定的范围内才有比较高的计算精度。
当然，如果限定相对误差的绝对值小于0.05，那么其计算的大偶数范围已经是目前大多数人难以达到的。
（在10万亿以上的区域，偶数哈李素对计算式的相对误差基本处于0.07到0.075之间）

实际上，在大偶数区域，哈李计算式值的相对误差均处于一个很小范围内波动。比如2000亿时的计算实例：
哈代公式改进系数2.168的计算(双记值）实例与误差统计
D( 200000000010 )= 597262459   Dhg(m)= 1194373928.82   δh(m)=-.00013
D( 200000000012 )= 211454344   Dhg(m)= 422852498.768   δh(m)=-.00013
D( 200000000014 )= 212003641   Dhg(m)= 423949720.680   δh(m)=-.00014
D( 200000000016 )= 422780069   Dhg(m)= 845490644.812   δh(m)=-.00008
D( 200000000018 )= 282334611   Dhg(m)= 564602599.743   δh(m)=-.00012
D( 200000000020 )= 284785883   Dhg(m)= 569535231.886   δh(m)=-.00006
D( 200000000022 )= 434880484   Dhg(m)= 869647542.212   δh(m)=-.00013
D( 200000000024 )= 242973719   Dhg(m)= 485914151.419   δh(m)=-.00007  
D( 200000000026 )= 211436995   Dhg(m)= 422822193.227   δh(m)=-.00012
D( 200000000028 )= 450999930   Dhg(m)= 901964576.693   δh(m)=-.00004
200000000010 - 200000000028 : n= 10 ,μ=-.0001, σ= .00003,δmin=-.00014,δmax=-.00004

因此，如果能够使得某个偶数区域的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值处于这个波动范围之内，则就能够使得计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高的计算精度；

  如果能够使得一个很广范围内的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值处于哈李计算式值的相对误差波动范围之内，则计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高的计算精度；
如果能够使得某个偶数区域的计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 的t1解析值略低于该区域相对误差统计的下限值，则就能够使得计算式  Xi(M)能够计算这个范围的偶数而具有比较高精度的下界素对计算值；
这是一个比较困难的工作。
首先需要计算比较多小区域偶数的计算值的相对误差均值，二要用一个计算式来尽可能地贴近这个均值。
我提出的 素对计算式Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 以及t1解析式仅仅是这个方面所作的一个尝试，必然存在着不尽人意之处，有待改进。

由于小偶数区域，哈李计算式计算值的相对误差分别范围比较大，因此计算式  Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2 不能在此区域取得比较高的计算精度。

重生888@

愚工先生好！人们不知道哈-李公式的重要代数式：M/{logM)^2是怎么得来的，而我独立研究出这个代数式，并得到很好地运用。如：
D（200000000010）=597262459     我的计算
（5/3）*200000000010/（log200000000010)^2=492279579       误差-0.175     计算的素数对接近真值，小于真值。
我并不否定您的研究，只是想和您交流，互相找找简单适应的规律。谢谢！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-12 11:12
愚工先生好！人们不知道哈-李公式的重要代数式：M/{logM)^2是怎么得来的，而我独立研究出这个代数式，并得 ...

你的计算公式，仅仅是计算一类特定分组的偶数，我对此一直不太感兴趣的。
我感兴趣的的计算式是能够针对连续的偶数的。
单一的一个偶数，如何判断一个计算式的正确无误？
比如：908
A= 454 ,x= : 33  45  87  117  123  147  177  255  273  297  303  315  357  375  423
M= 908        S(m)= 15    S1(m)= 15   Sp(m)= 15      δ(m)≈ 0     K(m)= 1       r= 29
  Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
能够构成素对A±x 的x值的个数与计算值相等，难道就能够判断连乘式对于其它偶数的素对数的计算都没有误差？显然是不能的。

顺便提一下，哈-李公式对于偶数的素对数的计算式：（采用双记时）是  H(N)=2C(N)N/(lnN)^2 ; （双记法把10=3+7=7+3看成是两个不同的素对表法）
因此采用单记法时  ： H(N)=C(N)*N/(lnN)^2；
式中，C(N)为拉曼扭扬系数。求法如下：
(一）拉曼纽扬系数C(N)=C2A(N)*C2B(N)。
(二）C2A(N)= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
(三）C2B(N)= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]

重生888@

愚工好，恕我打扰！您对我不感兴趣我知道，不过，我的公式是可以连续计算的。您比较过哈-李公式·（单计）连续计算与我的公式连续计算的精度吗？我很在意吸收你的长处，我的呢？我看到您想往哈-李公式上转。将两个名公式搬来用，我的公式，您可能没正眼看过。我倒不在乎别人看不看，怕不交流，看不到别人的长处。正因为您指出我的误差较大，才得到我现在的改进公式！谢谢！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-13 10:13
愚工好，恕我打扰！您对我不感兴趣我知道，不过，我的公式是可以连续计算的。您比较过哈-李公式·（单计） ...

也不是往哈李公式上面转。

使用素数连乘式计算偶数的素对数量，存在着一个误差修正的问题。
否则对于一亿以上的偶数，计算值的相对误差始终在10%以上，那样就太差了一些。但是由于相对误差的偏差值是随着偶数的增大而缓慢增大的，故需要在不同的偶数区域采用不同的修正系数来进行计算，才能收到计算值始终保持在高精度的范围。我目前对大偶数素对的高精度的计算就是这样做的。

哈李公式，由于采用了对数计算，对于比较大的偶数，其计算的速度要远远快于素数连乘式，而这个方法也是大多数数学家在研究哥猜时采用的。因为真正的计算偶数的素对数量，起步于哈代-李特伍德的研究。
而哈-李公式（单计）在小偶数区域的计算值的相对误差，与素数连乘式一样分布的范围比较大；而到稍大一些时，基本上处于负值的状态，并且相对误差的绝对值趋近于一个小范围内波动，而这个相对误差的偏差，据说会随着偶数的趋向无穷大而逐渐趋近于0。因此哈李公式被称为渐近式。

我只能计算有限大的偶数。因此在我能够计算的范围内（＜10^15），有可能用一个修正系数来进行修正。
我这里探索使用修正系数的方法来用类似哈李计算式的方法进行计算，应该效果也是比较好的。
看看上面的对n=20至34的帖子中计算 M= 2^n 起的连续偶数的素对数量的计算值的相对误差的数据，就可以看到。

当然同样的修正系数的解析式，用素数连乘式时也能够采用，那样不同偶数区域的修正系数也可以采用一个解析式近似计算出来。目前我没有着手做。因为一来需要对不同区域的相对误差的偏差做大量的统计数值，再试验构造修正系数的回归式；二来大偶数时用素数连乘式的计算速度本来就不快，是否会使得计算速度慢得使人难以忍受？
而目前的素数连乘式方法的计算精度，在网络上，似乎还是少有匹敌的。使用起来也比较顺手的。

你的计算式，如果式子本身中不含有波动系数，那么怎么可能能够比较精确的计算连续的偶数呢？因为实际偶数的表为两个素数和的数量本身是在波动变化的。

比如：100亿起始的连续偶数：
在具有波动性的偶数M的素对下界计算值 inf( m)的相对误差绝对值小于0.001的情况下，inf( m )图形几乎与真值 G(M)的图形重合。大小变化规律几乎完全一致。
而偶数表法数的区域下界函数值infS（m)则随着偶数的增大，始终缓慢的攀升，表明大偶数的表法数下限是逐渐上升的。

  G(10000000000) = 18200488；
Sp( 10000000000 *)≈  18192520.4 , Δ≈-0.0004378,infS（m)= 13644390.26 , k(m)= 1.33333
  G(10000000002) = 27302893；
Sp( 10000000002 *)≈  27288780.5 , Δ≈-0.0005169,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2
  G(10000000004) = 13655366；
Sp( 10000000004 *)≈  13644390.3 , Δ≈-0.0008038,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1
  G(10000000006) = 13742400；
inf( 10000000006 )≈  13737209.3 , Δ≈-0.0003777,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 1.0068
  G(10000000008) = 27563979；
inf( 10000000008 )≈  27548673.7 , Δ≈-0.0005553,infS（m)= 13644390.27 , k(m)= 2.01905
  G(10000000010) = 28031513
inf( 10000000010 )≈  28018960 , Δ≈-0.0004478,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.05351
  G(10000000012) = 13654956；
inf( 10000000012 )≈  13647157.3 , Δ≈-0.0005711,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 1.0002
  G(10000000014) = 27361348；
inf( 10000000014 )≈  27348233.3 , Δ≈-0.0004793,infS（m)= 13644390.28 , k(m)= 2.00436
  G(10000000016) = 13708223；
inf( 10000000016 )≈  13701479.8 , Δ≈-0.0004919,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00418
  G(10000000018) = 13781412；
inf( 10000000018 )≈  13776842.4 , Δ≈-0.0003316,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00971
  G(10000000020) = 37335123；
inf( 10000000020 )≈  37319942.4 , Δ≈-0.0004066,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 2.73519
  G(10000000022) = 13653503；
inf( 10000000022 )≈  13646792.1 , Δ≈-0.0004915,infS（m)= 13644390.29 , k(m)= 1.00018
  G(10000000024) = 16587802；
inf( 10000000024 )≈  16575407.5 , Δ≈-0.0007472,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.21481
  G(10000000026) = 28871083；
inf( 10000000026 )≈  28857101.3 , Δ≈-0.0004843,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 2.11494
G(10000000028) = 13665084；
inf( 10000000028 )≈  13661050.1 , Δ≈-0.0002952,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.00122
G(10000000030) = 19127680；
inf( 10000000030 )≈  19121318.9 , Δ≈-0.0003326,infS（m)= 13644390.3 , k(m)= 1.40141
G(10000000032) = 32355048；
inf( 10000000032 )≈  32342258.5 , Δ≈-0.0003953,infS（m)= 13644390.31 , k(m)= 2.37037

若把这些偶数的波动系数 k(m) 从大到小的排列起来，那么这些偶数分为两个素数的真值数量也同样排列好了：

G(10000000020) = 37335123； k(m)= 2.73519
G(10000000032) = 32355048； k(m)= 2.37037
G(10000000026) = 28871083； k(m)= 2.11494
G(10000000010) = 28031513 , k(m)= 2.05351
G(10000000008) = 27563979； k(m)= 2.01905
G(10000000014) = 27361348； k(m)= 2.00436
G(10000000002) = 27302893； k(m)= 2
G(10000000030) = 19127680； k(m)= 1.40141
G(10000000000) = 18200488； k(m)= 1.33333
G(10000000024) = 16587802； k(m)= 1.21481
G(10000000018) = 13781412； k(m)= 1.00971
G(10000000006) = 13742400； k(m)= 1.0068
G(10000000016) = 13708223； k(m)= 1.00418
G(10000000028) = 13665084； k(m)= 1.00122
G(10000000012) = 13654956； k(m)= 1.0002
G(10000000022) = 13653503； k(m)= 1.00018
G(10000000004) = 13655366； k(m)= 1

这就是波动系数与实际真值 之间的关联。不含有波动系数的计算式，若想比较高精度的计算连续偶数的素对数量，理论上是不可能做到的。

重生888@

谢谢好友的耐心解释！我说我的公式应与哈-李公式比。我知道我的公式不及您的精确。但与哈-李公式（单计）必定不差，苦于网上没人连续计算哈-李公式的值，我又苯（主要使用电脑差）算不了利用哈-李公式计算100个连续偶数的素对，因此相比不了！有人说我是“奇人”，说明我原公式（有您的功劳）精度是很高的，但找具体素数很困难，所以借用素数定理x/lnx,通过演化，居然得到系数后面的x/(lnx)^2这个代数式！因此我确信计算值不会比它差。
您的计算能力强，能不能请求你随便取100或200个连续偶数的纯哈-李公式（单计）计算数据给我？谢谢，拜托！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-14 08:23
谢谢好友的耐心解释！我说我的公式应与哈-李公式比。我知道我的公式不及您的精确。但与哈-李公式（单计）必 ...

没有意思的。
哈李公式不是以它的精度而显示其优越性的，而是以它的开创性。
它首创使用计算式对偶说的素对数量进行计算；首创使用拉曼扭扬系数来体现偶说素对数量的波动性；等等。
现代大多数数学家对偶说素对的计算式中都使用了拉曼扭扬系数。
而x/(lnx)^2这个代数式本来就是来自于哈李公式,只是去掉了拉曼扭扬系数。而拉曼扭扬系数包含了2个因子：一个是比例系数，另外一个波动系数。
而且哈李公式在不同的偶数区域的相对误差的平均值是不同的，你怎么比？
几百、几千、几万、几十万、几百万、几千万、几亿、……

重生888@

谢谢好友回复！您上面计算大偶数素对，使用了拉曼纽扬系数吗？看来不可能使用，因为他太复杂了！1000以内连续100个偶数能算吗？请你告诉我一个方法我自己算！您原来来的计算方法，我就学会过。（p-1）/p*(p-2)/p......

重生888@

上面式子错了吧？

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-15 00:42
谢谢好友回复！您上面计算大偶数素对，使用了拉曼纽扬系数吗？看来不可能使用，因为他太复杂了！1000以内连 ...

我在1楼已经对哈-李公式、拉曼纽扬系数、我的对数计算式  Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2 都作了介绍与解释。
偶数猜想单记哈-李公式则为：H-l (N)~ C(N)*N/(lnN)^2, ---  {式2}
拉曼纽扬系数 C(N)的计算方法等等。拉曼纽扬系数 C(N)肯定需要用一个程序来计算，否则无法计算。

55楼的数据是使用素数连乘式乘以一个修正系数的形式计算的。
前面10^n 的素对计算式  Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2  中使用了拉曼纽扬系数的。（1楼已经详细写明）
程序化计算式很快的。比如，我现在就计算今天日期2019011500的连续偶数的计算值：
使用 Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2  对项目偶数可表的素对数的计算值：( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )

  S( 2019011500 ) =    ;Xi(N)≈ 4810947.87   δxi( 2019011500 )≈  -0.002703 ；
（相对误差值需要对两个程序的数据用手工计算，其余偶数不计算了，各个偶数计算值的相对误差值的波动肯定很小的，）
  S( 2019011502 ) =    ;Xi(N)≈ 6407528.57   δxi( 2019011502 )≈   略
  S( 2019011504 ) =    ;Xi(N)≈ 3198477.85   δxi( 2019011504 )≈  
  S( 2019011506 ) =    ;Xi(N)≈ 3253701.51   δxi( 2019011506 )≈  
  S( 2019011508 ) =    ;Xi(N)≈ 6586508.18   δxi( 2019011508 )≈  
  S( 2019011510 ) =    ;Xi(N)≈ 4263470.88   δxi( 2019011510 )≈  
  S( 2019011512 ) =    ;Xi(N)≈ 3837123.77   δxi( 2019011512 )≈  
  S( 2019011514 ) =    ;Xi(N)≈ 6976588.46   δxi( 2019011514 )≈  
  S( 2019011516 ) =    ;Xi(N)≈ 3433383.24   δxi( 2019011516 )≈  
  S( 2019011518 ) =    ;Xi(N)≈ 3197603.1    δxi( 2019011518 )≈  
  S( 2019011520 ) =    ;Xi(N)≈ 8632553.34   δxi( 2019011520 )≈  
  S( 2019011522 ) =    ;Xi(N)≈ 3628078.39   δxi( 2019011522 )≈  
  S( 2019011524 ) =    ;Xi(N)≈ 3381373.44   δxi( 2019011524 )≈  
  S( 2019011526 ) =    ;Xi(N)≈ 7717604.98   δxi( 2019011526 )≈  
  S( 2019011528 ) =    ;Xi(N)≈ 3410776.68   δxi( 2019011528 )≈  
  S( 2019011530 ) =    ;Xi(N)≈ 4470590.1    δxi( 2019011530 )≈  
  S( 2019011532 ) =    ;Xi(N)≈ 6504450.82   δxi( 2019011532 )≈  
  S( 2019011534 ) =    ;Xi(N)≈ 3200882.79   δxi( 2019011534 )≈  
  S( 2019011536 ) =    ;Xi(N)≈ 3198645.06   δxi( 2019011536 )≈  
  S( 2019011538 ) =    ;Xi(N)≈ 6395206.27   δxi( 2019011538 )≈  
  S( 2019011540 ) =    ;Xi(N)≈ 5581270.96   δxi( 2019011540 )≈  
  time start =21:21:43      end time =21:22:45
用时1分零2秒。
筛选真值的程序更快：
2019011500:25:2

G(2019011500) = 4823988
G(2019011502) = 6425256
G(2019011504) = 3207375
G(2019011506) = 3264466
G(2019011508) = 6605723
G(2019011510) = 4275187
G(2019011512) = 3848156
G(2019011514) = 6994006
G(2019011516) = 3442206
G(2019011518) = 3207266
G(2019011520) = 8656885
G(2019011522) = 3638230
G(2019011524) = 3390502
G(2019011526) = 7739712
G(2019011528) = 3421218
G(2019011530) = 4482978
G(2019011532) = 6522086
G(2019011534) = 3208813
G(2019011536) = 3208377
G(2019011538) = 6411763
G(2019011540) = 5597073
G(2019011542) = 3206607
G(2019011544) = 7397492
G(2019011546) = 3206874
G(2019011548) = 3221336

count = 25, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.449 sec ——用时： 半秒不到。
再手工计算相对误差值，这需要花费一点时间。我就不全部计算了。