拨开云雾见青天，人类研究梅森素数问题终于走上光明正道

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梅森数能否被整除的验证方法：梅森数是指形如2ˆp-1的数，其中当p为素数时，如果2ˆp-1也是素数，则把这种类型的素数称为梅森素数。本文把梅森数的研究范围推广到(aˆp-1)/(a-1)和(aˆp+1)/(a+1)中（其中a的取值范围为2,3,4,5，……），将大大拓宽观察这一问题变化规律的视野。
　　当n=p时，由(aˆn-1)/(a-1)求得的数值能否被整除的举例说明。以梅森数（7ˆ41-1）/6的数值能否被m=kp+1=2x41+1=83（k取一切偶数）整除为例，运算工具为电子计算器（12位数），运算过程如下：
除数=6x83=498
（1）：被除数=7ˆ5=16807，则有7ˆ5/498≈33.74899598，然后用整数部分33乘以498，即有33x498=16434，这样用16807减去16434，便有16807-16434=373。这就是说，用7ˆ5的数值除以498所得的余数是373。
（2）：由于7ˆ5的数值除以498所得余数是373，因此有7ˆ10=（16434+373）ˆ2，则7ˆ10除以498所得余数是373ˆ2=139129，便有139129/498≈279.375502，然后用整数部分279乘以498，即有279x498=138942，则用139129减去138942，便有139129-138942=187。这就是说，用7ˆ10除以498所得最小余数是187。
（3）：模仿（2）的思路，由于用7ˆ10除以498所得最小余数是187，因此用7ˆ20除以498所得余数是187ˆ2=34969，则有34969/498≈70（小数点后的部分以后省略不写，下同），便有70x498=34860，这样就求得7ˆ20除以498所得最小余数为34969-34860=109。
（4）：与上述思路相同，由于用7ˆ20除以498所得最小余数是109，因此用7ˆ40除以498所得余数是109ˆ2=11881，则有11881/498≈23，便有23x498=11454，这样就求得7ˆ40除以498所得最小余数为11881-11454=427。
（5）：由于用7ˆ40除以498所得最小余数是427，因此用7ˆ41除以498所得余数是7x427=2989，则有2989/498≈6，便有6x498=2988，这样就求得7ˆ41除以498所得最小余数为2989-2988=1。
　　如果把7ˆ41除以498表示为一个等式，其中商值用w表示，则有
7ˆ41=498w+1
在上式中移项并对498做适当分解得
7ˆ41-1=6x83w
进一步变形得
（7ˆ41-1）/6=83w
由上式可以看出，（7ˆ41-1）/6的数值可以被83整除。
　　接下来验证（13ˆ37+1）/14能否被m=kp+1=6x37+1=223整除，运算过程如下：
除数=14x223=3122
（1）：被除数13ˆ4=28561，则有13ˆ4/3122≈9，便有9x3122=28098，这样就求得13ˆ4除以3122所得余数为28561-28098=463。
（2）：由于13ˆ4除以3122所得余数是463，因此有13ˆ8=（28098+463）ˆ2，则13ˆ8除以3122所得余数是463ˆ2=214369，则有214369/3122≈68，便有68x3122=212296，这样就求得13ˆ8除以3122所得最小余数为214369-212296=2073。
（3）：由于用13ˆ8除以3122所得最小余数是2073，因此用13ˆ9除以3122所得余数是13x2073=26949，则有26949/3122≈8，便有8x3122=24976，这样就求得13ˆ9除以3122所得最小余数为26949-24976=1973。
（4）：由于用13ˆ9除以3122所得最小余数是1973，因此13ˆ18除以3122所得余数是1973ˆ2=3892729，则有3892729/3122≈1246，便有1246x3122=3890012，这样就求得13ˆ18除以3122所得最小余数为3892729-3890012=2717。
（5）：由于用13ˆ18除以3122所得最小余数是2717，因此用13ˆ36除以3122所得余数是2717ˆ2=7382089，则有27172/3122≈2364，，便有2364x3122=7380408，这样就求得13ˆ36除以3122所得最小余数为1681。
（6）：由于用13ˆ36除以3122所得最小余数是1681，因此用13ˆ37除以3122所得余数是13x1681=21853，则有21853/3122≈6，便有6x3122=18732，这样就求得13ˆ37除以3122所得最小余数为21853-18732=3121。
　　如果把13ˆ37除以3122表示为一个等式，其中商值用w表示，则有
13ˆ37=3122w+3121
上式两边同时加1，得
13ˆ37+1=3122w+3122
进一步变形，得
13ˆ37+1=14x223（w+1)
（13ˆ37+1）/14=223（w+1）
由上式可以看出，（13ˆ37+1）/14可以被223整除。
　　以上通过举例说明，分别介绍了梅森数(aˆp-1)/(a-1)和(aˆp+1)/(a+1)可以被某一整数整除的验证方法。只要用心体会其中每一个步骤的验证思路，就能做到举一反三、触类旁通，就能验证p值更大的梅森数，就能在大量验证事例的实践中熟练地掌握该方法。
成稿时间：1994年3月
昆明市富民县永定街道办刘坤

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笔者通过验证发现，要求出所有被kp+1（以下提到kp+1时均为素数，其中k的取值为一切偶数）整除的梅森数是很有规律的。例如，在(a^p-1)/(a-1)和(a^p+1)/(a+1)中，当p=5，k=6时，则kp+1=6×5+1=31，则有k/2=6/2=3，这样便有2^3，3^3，4^3，5^3，……，继而可把2^3，3^3，4^3，5^3，……中的某一个数作为第一个能被31整除的a值，例如取2^3=8作为第一个被31整除的a值，则寻求第二个被31整除的a值过程为8×8=64,64=2×31+2，则余数2便为所要求出的第二个a值。第三个被31整除的a值寻求过程为8×2=16，则16便为第三个a值。第四个被31整除的a值寻求过程为8×16=128，则128=4×31+4，该余数4即为第四个a值，这样求得的四个a值分别为8,2，16,4，则(8^5-1)/7,2^5-1,(16^5-1)/15,(4^5-1)/3等梅森数可以被31整除。
　　同时笔者还发现（8^5-1）/7,2^5-1，（16^5-1）/15，（4^5-1）/3与(a^5+1)/(a+1)存在互补关系，依据互补关系求得的另外四个a值分别是
31-8=23,31-2=29,31-16=15,31-4=27。
也就是说，（23^5+1）/24，（29^5+1)/30，（15^5+1）/16，（27^5+1）/28等梅森数可以被31整除。到此，当k=6，p=5时，可以被31整除的全部a值是8,2，16,4，23,29,15,27。
　　当取3^3=27作为第一个被31整除的a值，则第二个被31整除的a值寻求过程为27×27=729，则729=23×31+16，则余数16便为第二个a值。第三个被31整除的a值寻求过程为27×16=432,432=13×31+29，则余数29便为第三个a值。第四个被31整除的a值寻求过程为27×29=783,783=25×31+8，则余数8便为第四个a值，这样求得的四个a值为27,16,29,8,。经过验证（27^5+1)/28,（16^5-1）/15，（29^5+1）/30,（8^5-1）/7等可以被31整除。根据互补关系，求得的另外四个a值是
31-27=4,31-16=15,31-29=2,31-8=23.
　　也就是说，（4^5-1)/3,（15^5+1）/16，2^5-1，（23^5+1）/24可以被31整除。到此，当取3^3=27作为第一个被31整除的a值时，由此求得的可以被31整除的全部a值是27,16,29,8,4,15,2,23。
　　通过以上寻求a值的过程我们可以看出，由3^3=27求出的全部a值的整除情况与由2^3=8求出的全部a值的整除情况是完全相同的。
　　取更大一些的数值为例，例如取11^3为例，则寻求第一个被31整除的a值过程为11^3=1331，则有1331=42×31+29，则余数29便为第一个a值。第二个a值的寻求过程为29×29=841,841=27×31+4，则余数4便为第二个a值。第三个a值的寻求过程为29×4=116,116=3×31+23，则余数23便为第三个a值。第四个a值的寻求过程为29×23=667,667=21×31+16，则余数16便为第四个a值，这样求得的四个a值分别是29,4,23,16。根据互补关系求得的另外四个a值是
31-29=2,31-4=27,31-23=8,31-16=15。
到此，当取11^3作为寻求全部a值的第一个数时，求出的可以被31整除的全部a值是29,4,23,16,2,27,8,15。
　　通过上述所举例子可以看出，由2^3,5^3,11^3作为求a值的第一个数，分别求得的全部a值的整除情况都是相同的，因此以后在k=6的情形中寻求a值时，只要在2^3,3^3,4^3，5^3，……中选择一个适当的数就行了。
      还需要补充说明的是， 在 kp+1=6×5+1=31这个数中（30和31这两个数除外），在(3^5-1)/2，（3^5+1）/4；（5^5-1）/4，（5^5+1）/6；（6^5-1）/5，（6^5+1）/7；（7^5-1）/6，（7^5+1）/8；（9^5-1）/8，（9^5+1）/10；（10^5-1）/9，（10^5+1）/11；（11^5-1）/10，（11^5+1）/12；（12^5-1）/11，（12^5+1）/13；（13^5-1）/12,(13^5+1)/14；（14^5-1）/13，（14^5+1）/15；（17^5-1）/16，（17^5+1）/18；（18^5-1）/17，（18^5+1）/19；（19^5-1）/18，（19^5+1）/20；（20^5-1）/19，（20^5+1）/21；（21^5-1）/20，（21^5+1）/22；（22^5-1）/21，（22^5+1）/23；（24^5-1）/23，（24^5+1）/25；（25^5-1）/24，（25^5+1）/26；（26^5-1）/25，（26^5+1）/27；（27^5-1）/26，（27^5+1）/28；（28^5-1）/27，（28^5+1）/29等这些梅森数里面分解不出31这个素因子。在这个段落中列举出这些梅森数分解不出素因子31的情形，但在这些梅森数中有可能分解出其它素因子，不过这种分解方法可能会存在另外的规律性，而这种另外的规律性并不影响梅森数分解定理的正确性，因此必须做出进一步的强调说明。
　　当p=7，k=10时，kp+1=10×7+1=71，则有k/2=10/2=5，则有2^5,3^5,4^5,5^5，……等等，选取2^5=32作为第一个a值，则寻求第二个a值的过程为32×32=1024,1024=14×71+30，则余数30便为第二个a值。第三个a值的寻求过程为32×30=960,960=13×71+37，则余数37便为第三个a值。第四个a值的寻求过程为32×37=1184,1184=16×71+48，则余数48便为第四个a值。第五个a值的寻求过程为32×48=1536,1536=21×71+45，则余数45便为第五个a值。第六个a值的寻求过程为32×45=1440,1440=20×71+20，则余数20便为第六个a值，这样求得的六个a值为32,30,37,48,45,20。根据互补关系求得的另外六个a值为
71-32=39,71-30=41,71-37=34,71-48=23,71-45=26,71-20=51。
到此，可以被71整除的全部a值为32,30,37,48,45,20,39,41,34,23,26,51，经过验证，把这些a值写成对应的梅森数形式为（32^7-1）/31，（30^7-1）/29,（37^7-1）/36，（48^7-1）/47，（45^7-1）/44，（20^7-1）/19，（39^7+1）/40，（41^7+1）/42,（34^7+1）/35，（23^7+1）/24，（26^7+1）/27，（51^7+1）/52，这些梅森数都可以被71整除。
　　以上介绍了在(a^p-1)/(a-1)和(a^p+1)/(a+1)中能被素数kp+1整除的方法，由于这种方法很有规律性，因此可以把此种方法简称为梅森数分解规律，或者称为梅森数分解定理。
　　从介绍梅森数分解规律的例子可以看到，当p=5时，在(a^5-1)/(a-1)中有四个梅森数可以分解，在（a^5+1)/(a+1)中也有四个梅森数可以分解；当p=7时，在(a^7-1)/(a-1)中有六个梅森数可以分解，在(a^7+1)/(a+1)中也有六个梅森数可以分解。以这两个例子为依据，得到一个结论为：当kp+1的数值为素数时，按照梅森数分解规律可以分解的梅森数个数有p-1个。
   

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在网络上搜索就会看到的说法是，目前数学界对梅森素数的性质知之甚少，最后喊出一句口号：我们必须知道，我们必将知道。我发现的梅森数能否被整除的验证方法和梅森数分解定理是研究梅森素数问题的奠基石，使人们喊出的口号梦想成真。

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目前国际数学界对怎样研究梅森素数问题不知从何下手，还处于“踏破铁鞋无觅处”的困境之中，我把研究梅森素数问题的重要成果公诸于世，给关注梅森素数问题的人们带来了“柳暗花明又一村”的光明前景。

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梅森素数的意义
梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平，而不仅仅是体现一国的数学水平。英国顶尖科学家索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志，也是科学发展的里程碑。

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   破解梅森素数意义重大，应该引起人类数学界的关注，但就如有人所说的那样，有时候破解难题并不难，得到人类社会认可才难，比骑自行车上月球还难。

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毕达哥拉斯定理的证明是人类数学史上的第一座里程碑，创立几何学是第二座里程碑，创立代数学是第三座里程碑，创立微积分是第四座里程碑，创立梅森素数学是第五座里程碑。我发现的“梅森数能否被整除的验证方法”、“梅森数分解定理”和梅森素数判断法则构成了梅森素数学的主要内容。

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一览众山小 发表于 2015-2-27 20:27
毕达哥拉斯定理的证明是人类数学史上的第一座里程碑，创立几何学是第二座里程碑，创立代数学是第三座里程碑 ...

古希腊数学家给出毕达哥拉斯定理的证明后欣喜若狂，据说宰了100头牛进行隆重庆贺，我创立的梅森素数学同样可喜可贺！

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在杂乱无章的乱麻堆中理出头绪，梅森素数问题因为有我而精彩。

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费马大定理与梅森素数问题是珠联璧合的无价之宝，珠联璧合是双胞胎的意思。