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发表于 2015-2-22 08:06
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本帖最后由 一览众山小 于 2020-11-7 20:14 编辑
注:在余数表二里面y^n中的y值表示偶数情形。μ=1920,Φ=38590;在此表中求余数的举例说明,以y^n=10^4为例,10^4-[(2+9)^4-9^4]=1920,10^4-[(4+6)^4-6^4]=6^4,10^4-[(6+4)^4-4^4]=4^4,10^4-[(8+2)^4-2^4]=2^4。
以上两个表只是列出一部分余数。以表一为例,当n=6时,y^n=7^6对应的三个余数2^6,4^6,6^6是有规律性地递增的,我们把2^6,4^6,6^6这样的余数称为规则余数;把y^3=5^3和a=1对应的余数34,以及y^4=10^4和a=2对应的余数1920称为非规则余数。在同一组余数中,当全部余数都由规则余数构成,我们就把这一组余数称为规则余数组。例如当n=7时,在y^7=9^7中求出的全部余数2^7,4^7,6^7,8^7都是规则余数,因此这是一个规则余数组。在规则余数组中最小余数为2^n。
以表一为例,我们来观察规则余数组的变化规律。当n=3时,只有一组规则余数组2^3;当n=4时有两组规则余数组2^4及2^4,4^4;当n=6时有三组规则余数组2^6及2^6,4^6,以及2^6,4^6,6^6。通过对规则余数组变化情况的观察,我们看到随着n值的增大,所举的这几个例子中的规则余数组组数也在增加,那么随着n值的无限增大,规则余数组的组数是否也随之增加呢?要回答这个问题,我们对需要证明的两种情形进行论证。
在y为奇数,a也为奇数的情形中,把指数幂分为奇数和偶数进行论证。
(一)指数幂为奇数的情况,设n表示奇数。
在(1+1/n)^n中,当n趋向无穷大时,这个函数有极限值存在,这个极限值为e≈2.71828……。人们在证明(1+1/n)^n有极限存在的过程中,首先证明出(1+1/n)^n是一个单调增加的函数,即有[1+1/(1+n)]^(1+n)>(1+1/n)^n。当n>2时,取n=3,则有(1+1/3)^3>2,依照该函数单调增加的性质,则恒有(1+1/n)^n>2,则有[(1+n)/n]^n>2,这样就有
(1+n)^n>2n^n
(1+n)^n-n^n>n^n
把(1+n)^n-n^n对照(a+x)^n-x^n来看,当x=n,a=1,时,(a+x)^n-x^n就可以表示为(1+n)^n-n^n,同时令y=n(因为y与n都是奇数),则y^n可以表示为n^n,但因为(1+n)^n-n^n>n^n,导致n^n-[(1+n)^n-n^n]<0,这样求出的余数为负值不符合余数概念的要求,按照逐步递减1试算的方法,对处于x值位置的n值做递减处理,即把x=n减去1,则有x=n-1,并且a=1,则代入(a+x)^n-x^n有
(1+n-1)^n-(n-1)^n=n^n-(n-1)^n
用y^n=n^n减去[n^n-(n-1)^n]得
n^n-[n^n-(n-1)^n]=(n-1)^n
因为(n-1)^n>0,而且这个余数是用试算方法由负转正求出的第一个正整数,因此求出的这个余数(n-1)^n符合余数概念的要求,而且这个余数是可以按照规律性计算出来的最小余数,规则余数就是这样计算出来的。因此当y为奇数,n也为奇数时,随着n值趋向无穷大,随之也会产生无穷组规则余数组。例如,当n=51时,规则余数组就会从2^51;2^51,4^51;2^51,4^51,6^51;这样一步一步增加到2^51,4^51,6^51,8^51,……,46^51,48^51,50^51。当n=999时,规则余数组就会从2^999;2^999,4^999;2^999,4^999,6^999
;2^999,4^999,6^999,8^999;这样一步一步增加到2^999,4^999,6^999,8^999,10^999,……,
992^999,994^999,996^999,998^999。这只是保守证明,如果具备计算条件进行更精确的计算,则在n值较大时,求得的规则余数组组数还会更多一些,例如当n=7时,通过(n-1)^n求得的规则余数是6^7,即规则余数组只到2^7,4^7,6^7,但精确的计算结果是规则余数组到2^7,4^7,6^7,8^7。
(二)指数幂为偶数的情形,设n为奇数,则n+1就为偶数。
证明思路与上例相同,但对证明过程进行简化,证明过程如下:
(1+1/n)^(1+n)>2
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