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费马大定理的初等数学证明

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发表于 2015-2-22 07:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 一览众山小 于 2020-11-23 08:50 编辑

证明x^3+y^3=z^3无整数解
证明x^3+y^3=z^3无整数解,就是等价证明不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2无整数解即可。证明过程如下:

y^3=a^3+3a^2x+3ax^2 (1)
3ax^2+3a^2x-(y^3-a^3)=0 (2)
经过移项处理,得到的(2)式是关于x为未知数的一元二次方程式。由于我的电脑操作基础知识不好,不会打印一元二次方程式的求根公式,请谅解。我们知道在(2)式的求根公式根号里面的关系式是:(3a^2)^2+12a(y^3-a^3),要证明(2)式的未知数x有没有整数解,就是要证明根号里面的这个关系式在其变化过程中是否有平方数存在,现在对这个关系式作变形处理如下:
(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=(3a^2)^2+12a(y-a)(y^2+ya+a^2)
=(3a^2)^2+12a(y-a)a^2+12a(y-a)(y^2+ya)
=(3a^2)^2+2•3a^2•2a(y-a)+4a^2(y-a)^2+12a(y-a)(y^2+ya)-4a^2(y-a)^2
=[3a^2+2a(y-a)]^2+4a(y-a)[3y^2+3ya-a(y-a)]
=(2ay+a^2)^2+4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2)
即有(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=(2ay+a^2)^2+4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2) (3)
接下来模仿(3)式右端的结构形式构造一个相应的平方数关系式如下:
[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2=(2ay+a^2)^2+D,则有
D=[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2-(2ay+a^2)^2
=2ka(y-a)(4ay+2a^2+2kay-2ka^2)
=4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2)
即有[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2=(2ay+a^2)^2+4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2) (4)
要使(3)式左端与(4)式左端相等,即使(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2成立,应有
4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2)=4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2) (5)
因为y>a,因此y≠a,所以有
3y^2+2ya+a^2=2kay+ka^2+k^2ay-k^2a^2
把上式整理为y为未知数的一元二次方程式形式有
3y^2-(k^2+2k-2)ay+(k^2-k+1)a^2=0 (6)
在(6)式里的y有没有整数解,同样要看求根公式根号里面的关系式在其变化过程中是否有平方数存在,根号里面的关系式为:[(k^2+2k-2)^2-12(k^2-k+1)]a^2,经过进一步变形处理,这个关系式化简为:k^4+4k^3-12k^2+4k-8。当k=2时,这个关系式的计算结果等于0,因此k值的取值范围为k>2的一切整数,经过试算找到平方数两边夹不等式如下
(k^2+2k-8)^2<k^4+4k^3-12k^2+4k-8<(k^2+2k-5)^2
在平方数(k^2+2k-8)^2和平方数(k^2+2k-5)^2之间存在两个平方数,即(k^2+2k-7)^2和(k^2+2k-6)^2,这两个平方数的展开式如下
(k^2+2k-7)^2=k^4+4k^3-10k^2-28k+49
(k^2+2k-6)^2=k^4+4k^3-8k^2-24k+36
依据上述展开式建立数量关系式如下
k^4+4k^3-10k^2-28k+49=k^4+4k^3-12k^2+4k-8
k^4+4k^3-8k^2-24k+36=k^4+4k^3-12k^2+4k-8
化简这两个关系式分别得到2k^2-32k+57=0和k^2-7k+11=0,求解的结果是这两个方程式的k值都没有整数解,因此k^4+4k^3-12k^2+4k-8与(k^2+2k-7)^2和(k^2+2k-6)^2不存在等量关系,也就是说k^4+4k^3-12k^2+4k-8是一个非平方数,因此当k的取值为k>2的一切整数时,由(6)式通过求根公式求得的y值都无整数解,这说明k取k>2的一切整数时与其对应的y值没有同为整数解的情形存在,因此(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)与在前面构造的平方数[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2不存在等量关系,这就证明(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)在其变化过程中没有平方数存在。
由于(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)在其变化过程中没有平方数存在,因此由(2)式通过求根公式求得的每一个x值都无整数解,则x^3+y^3=z^3无整数解的命题得证。
 楼主| 发表于 2015-2-22 08:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2020-11-7 22:45 编辑

当n趋向无穷大时x^n+y^n=z^n无整数解的证明
当a取奇数时,不论x取奇数还是取偶数,(a+x) ^n-x^n的数值都是奇数;当a取偶数时,不论x取奇数还是取偶数,(a+x)^n-x^n的数值都是偶数。
因此 当y取奇数,a取偶数时,因为y^n的数值是奇数,而(a+x)^n-x^n的数值是偶数,故此种情形y^n的数值与(a+x)^n-x^n的数值是不相等的,因此此种情形的费马大定理是成立的。
当y取奇数,a也取奇数时,因为y^n的数值是奇数,(a+x)^n-x^n的数值也是奇数,则不能排除此种情形y^n的数值与(a+x)^n-x^n的数值有相等的可能性存在,因此此种情形的费马大定理是否成立则需要做出证明。
当y取偶数,a取奇数时,因为y^n的数值是偶数,而(a+x)^n-x^n的数值是奇数,故此种情形y^n的数值与(a+x)^n-x^n的数值是不相等的,因此此种情形的费马大定理是成立的。
当y取偶数,a也取偶数时,因为y^n的数值是偶数,(a+x)^n-x^n的数值也是偶数,则不能排除此种情形y^n的数值与(a+x)^n-x^n的数值有相等的可能性存在,因此此种情形的费马大定理是否成立则需要做出证明。
现在规定余数概念。在y值给定的情况下,当x的取值使y^n减去[(a+x)^n-x^n]的差值最小,则该差值就为余数(余数不能为负数)。依照余数概念进行计算,得到下面两个余数表:
                                   余数表 一
         「y^n 」\{a}        {1}              { 3 }          {5 }           { 7 }        {9 }      
             「3^3」           【2^3】
             「5^3」           【 34 】        【2^3】
             「7^3」           【 12 】        【4^3】        【2^3】
             「3^4」           【2^4】
             「5^4」           【4^4】        【2^4】
             「7^4」           【706】         【4^4】       【2^4】
             「3^5」           【2^5】
             「5^5」           【4^5】        【2^5】
             「7^5」           【846】         【4^5】       【2^5】
             「3^6」           【2^6】
             「5^6」           【4^6】        【2^6】
             「7^6」           【6^6】        【4^6】        【2^6】
             「9^6」           【 Δ  】         【6^6】        【4^6】       【2^6】
             「3^7」           【2^7】
             「5^7」           【4^7】        【2^7】
             「7^7」           【6^7】        【4^7】        【2^7】
             「9^7」           【8^7】        【6^7】        【4^7】       【2^7】
             「11^7」         【 ω  】         【8^7】        【6^7】       【4^7】      【2^7】
             「 y^(8→  n)」                  …………………………
注:在余数表一里面y^n中的y值为奇数情形。Δ=62882,ω=3142534;{1}、{3}、{5}等表示a值,例如{1}表示a=1,{3}表示a=3;「3^3」、「5^3」、「3^4」等表示y^n的数值,例如「7^5」表示y^5=7^5,「9^7」表示y^7=9^7;在【 】里面的数值均表示按照余数概念求得的余数值,例如在y^n中「5^6」与{ 3 }交叉对应的余数是【2^6】,即余数为2^6。在此表中求余数的举例说明,例如5^3-[(1+5)^3-5^3]=34,7^3-[(3+4)^3-4^3]=4^3,9^6-[(1+9)^6-9^6]=62882,9^6-[(3+6)^6-6^6]=6^6,9^6-[(5+4)^6-4^6]=4^6,9^6-[(7+2)^6-2^6]=2^6。



                           余数表 二
「y^n 」\{a}           {2}          {4}           {6 }           {8}        {10}      
    「4^4」            【2^4】   
    「6^4」            【4^4】      【2^4】
    「8^4」            【6^4】      【4^4】       【2^4】
    「10^4」          【 μ  】       【6^4】       【4^4】       【2^4】
    「4^5」            【2^5】
    「6^5」            【4^5】      【2^5】
    「8^5」            【6^5】      【4^5】       【2^5】
    「10^5」          【8^5】      【6^5】       【4^5】      【2^5】
    「12^5」          【 Φ  】       【8^5】       【6^5】      【4^5】     【2^5】
    「y^(6→n)」                     ………………………

 楼主| 发表于 2015-2-22 08:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2020-11-7 20:14 编辑

注:在余数表二里面y^n中的y值表示偶数情形。μ=1920,Φ=38590;在此表中求余数的举例说明,以y^n=10^4为例,10^4-[(2+9)^4-9^4]=1920,10^4-[(4+6)^4-6^4]=6^4,10^4-[(6+4)^4-4^4]=4^4,10^4-[(8+2)^4-2^4]=2^4。
以上两个表只是列出一部分余数。以表一为例,当n=6时,y^n=7^6对应的三个余数2^6,4^6,6^6是有规律性地递增的,我们把2^6,4^6,6^6这样的余数称为规则余数;把y^3=5^3和a=1对应的余数34,以及y^4=10^4和a=2对应的余数1920称为非规则余数。在同一组余数中,当全部余数都由规则余数构成,我们就把这一组余数称为规则余数组。例如当n=7时,在y^7=9^7中求出的全部余数2^7,4^7,6^7,8^7都是规则余数,因此这是一个规则余数组。在规则余数组中最小余数为2^n。
以表一为例,我们来观察规则余数组的变化规律。当n=3时,只有一组规则余数组2^3;当n=4时有两组规则余数组2^4及2^4,4^4;当n=6时有三组规则余数组2^6及2^6,4^6,以及2^6,4^6,6^6。通过对规则余数组变化情况的观察,我们看到随着n值的增大,所举的这几个例子中的规则余数组组数也在增加,那么随着n值的无限增大,规则余数组的组数是否也随之增加呢?要回答这个问题,我们对需要证明的两种情形进行论证。
在y为奇数,a也为奇数的情形中,把指数幂分为奇数和偶数进行论证。
(一)指数幂为奇数的情况,设n表示奇数。
在(1+1/n)^n中,当n趋向无穷大时,这个函数有极限值存在,这个极限值为e≈2.71828……。人们在证明(1+1/n)^n有极限存在的过程中,首先证明出(1+1/n)^n是一个单调增加的函数,即有[1+1/(1+n)]^(1+n)>(1+1/n)^n。当n>2时,取n=3,则有(1+1/3)^3>2,依照该函数单调增加的性质,则恒有(1+1/n)^n>2,则有[(1+n)/n]^n>2,这样就有
(1+n)^n>2n^n
(1+n)^n-n^n>n^n
把(1+n)^n-n^n对照(a+x)^n-x^n来看,当x=n,a=1,时,(a+x)^n-x^n就可以表示为(1+n)^n-n^n,同时令y=n(因为y与n都是奇数),则y^n可以表示为n^n,但因为(1+n)^n-n^n>n^n,导致n^n-[(1+n)^n-n^n]<0,这样求出的余数为负值不符合余数概念的要求,按照逐步递减1试算的方法,对处于x值位置的n值做递减处理,即把x=n减去1,则有x=n-1,并且a=1,则代入(a+x)^n-x^n有
(1+n-1)^n-(n-1)^n=n^n-(n-1)^n
用y^n=n^n减去[n^n-(n-1)^n]得
n^n-[n^n-(n-1)^n]=(n-1)^n
因为(n-1)^n>0,而且这个余数是用试算方法由负转正求出的第一个正整数,因此求出的这个余数(n-1)^n符合余数概念的要求,而且这个余数是可以按照规律性计算出来的最小余数,规则余数就是这样计算出来的。因此当y为奇数,n也为奇数时,随着n值趋向无穷大,随之也会产生无穷组规则余数组。例如,当n=51时,规则余数组就会从2^51;2^51,4^51;2^51,4^51,6^51;这样一步一步增加到2^51,4^51,6^51,8^51,……,46^51,48^51,50^51。当n=999时,规则余数组就会从2^999;2^999,4^999;2^999,4^999,6^999
;2^999,4^999,6^999,8^999;这样一步一步增加到2^999,4^999,6^999,8^999,10^999,……,
992^999,994^999,996^999,998^999。这只是保守证明,如果具备计算条件进行更精确的计算,则在n值较大时,求得的规则余数组组数还会更多一些,例如当n=7时,通过(n-1)^n求得的规则余数是6^7,即规则余数组只到2^7,4^7,6^7,但精确的计算结果是规则余数组到2^7,4^7,6^7,8^7。
(二)指数幂为偶数的情形,设n为奇数,则n+1就为偶数。
证明思路与上例相同,但对证明过程进行简化,证明过程如下:
(1+1/n)^(1+n)>2
 楼主| 发表于 2015-2-22 08:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2020-12-28 16:13 编辑

(1+n)^(1+n)>2n^(1+n)
(1+n)^(1+n)-n^(1+n)>n^(1+n)
因为(1+n)^(1+n)-n^(1+n)>n^(1+n),这不符合余数概念的要求,因此按照试算的方法应进行递减处理,则应把(1+n)^(1+n)-n^(1+n)写成(1+n-1)^(1+n)-(n-1)^(1+n)=n^(1+n)-(n-1)^(1+n),则用n^(1+n)减去[n^(1+n)-(n-1)^(1+n)得
n^(1+n)-[n^(1+n)-(n-1)^(1+n)]=(n-1)^(1+n)
因为(n-1)^(1+n)>0,因此(n-1)^(1+n)就是所要求出的规则余数,因而当y为奇数,指数幂n+1为偶数时,随着n值的不断增大,随之也会产生无穷组规则余数组。例如,当n+1=50时,规则余数组就到2^50,4^50,6^50,8^50,……,46^50,48^50;当n+1=2000时,规则余数组就到2^2000,4^2000,6^2000,8^2000,……,1996^2000,1998^2000。
在y为偶数,a也为偶数的情形中,把指数幂分为偶数和奇数两种情况进行论证。
(三)指数幂为偶数的情形。设n表示偶数,证明过程如下:
(1+2/n)^n>2
(2+n)^n>2n^n
(2+n)^n-n^n>n^n
按照试算的方法对(2+n)^n-n^n进行递减处理得(2+n-1)^n-(n-1)^n=(1+n)^n-(n-1)^n,则有
(1+n)^n-(n-1)^n>n^n
对上式作变形处理得
(1+n)^n>n^n+(n-1)^n
在上式两边同除n^n得
(1+1/n)^n>1+[(n-1)/n]^n
因为(n-1)/n<1,所以[(n-1)/n]^n<1,则有1+[(n-1)/n]^n<2成立。而因为n>2时有(1+1/n)^n>2成立,因此(1+1/n)^n>1+[(n-1)/n]^n也成立。这就是说(n+1)^n-(n-1)^n>n^n是成立的,因此还需要对(n+1)^n-(n-1)^n进行递减处理如下
(n-1+1)^n-(n-1-1)^n=n^n-(n-2)^n
按照求余数的方法有下式
n^n-[n^n-(n-2)^n]=(n-2)^n
因为(n-2)^n>0,因此(n-2)^n就是所要求出的规则余数,因此当y为偶数,n也为偶数时,随着n值趋向无穷大,随之也会产生无穷组规则余数。例如,当n=100时,规则余数组就到2^100,4^100,6^100,……,96^100,98^100;当n=1000时,规则余数组就到2^1000,4^1000,6^1000,8^1000,……,996^1000,998^1000。
(四)指数幂为奇数的情形。设n表示偶数,则n+1为奇数。证明过程如下:
(1+2/n)^(1+n)>2
(2+n)^(1+n)>2n^(1+n)
(2+n)^(1+n)-n^(1+n)>n^(1+n)
对(2+n)^(1+n)-n^(1+n)进行递减处理得, (2+n-1)^(1+n)-(n-1)^(1+n)=(1+n)^(1+n)-(n-1)^(1+n) ,则有
(1+n)^(1+n)-(n-1)^(1+n)>n^(1+n)
对上式作变形处理得
(1+n)^(1+n)>n^(1+n)+(n-1)^(1+n)
上式两边同除n^(1+n)得
(1+1/n)^(1+n)>1+[(n-1)/n]^(1+n)
仿照(三)中的思路可知(1+1/n)^(1+n)>1+[(n-1)/n]^(1+n)是成立的,这就是说(1+n)^(1+n)-(n-1)^(1+n)>n^(1+n)也是成立的,因此还需要对(1+n)^(1+n)-(n-1)^(1+n)进一步作变形处理如下
(1+n-1)^(1+n)-(n-1-1)^(1+n)=n^(1+n)-(n-2)^(1+n)
按照求余数的方法有下式
n^(1+n)-[n^(1+n)-(n-2)^(1+n)]=(n-2)^(1+n)
因为(n-2)^(1+n)>0,因此(n-2)^(1+n)就是所要求出的规则余数。因此当y为偶数,n+1为奇数时,随着n趋向无穷大,随之也会产生无穷组连续的规则余数。例如,当n+1=99时,规则余数组就到2^99,4^99,6^99,……,94^99,96^99;当n+1=1001时,规则余数组就到2^1001,4^1001,6^1001,8^1001,……,996^1001,998^1001。
以上通过对(一)、(二)、(三)、(四)等四种情形进行了论证,得到的证明结果为:随着n值(或者n+1)不断增大,以致趋向无穷大,会随之产生无穷组连续的规则余数。因此当n趋向无穷大时,我们可以把全部余数想象为都是由规则余数组成,而在每一组规则余数中的最小余数是2^n,因此当n趋向无穷大时余数为零的情形不会出现,因此y^n的数值与(a+x)^n-x^n的数值不可能相等,这样n趋向无穷大时z^n=y^n+x^n无整数解的命题得证。
经过证明n=3时z^3=y^3+x^3无整数解,接着经过证明当n趋向无穷大时z^n=y^n+x^n也无整数解,则根据数学归纳法可以认定费马大定理成立(即对n>2的一切n值费马大定理都成立)。(昆明市富民县永定街道办刘坤)
成稿时间:2005年9月26日

点评

花了一定时间看了你的“证明”。最后你说:则根据数学归纳法可以认定费马大定理成立(即对n>2的一切n值费马大定理都成立)。(昆明市富民县永定街道办刘坤) 成稿时间:2005年 好好在百度查查数学归纳法吧。  发表于 2021-4-19 22:08
 楼主| 发表于 2015-2-22 08:22 | 显示全部楼层
以上由“1#”至“4#”的内容构成了我给出的费马大定理的初等数学的完整证明。
 楼主| 发表于 2015-2-22 08:47 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2015-3-1 08:41 编辑

为了帮助理解本证明,发布几个跟贴。
n=4的等价命题是一个关于x为未知数的一元三次方程式,n=5的等价命题是一个关于x为未知数的一元四次方程式。一元三次方程式和一元四次方程式有求根公式,因此证明n=4和n=5的思路可以模仿证明n=3的情形去做。挪威天才数学家阿贝尔经过研究认为一元五次方程式和高于五次以上的方程式都没有求根公式,因此n=3的证明思路对n=6,n=7等等一系列的等价命题就不适用了。用数学归纳法证明费马大定理,只要证明出n=3无整数解,再证明出N趋向无穷大时也无整数解,就可以认定费马大定理成立。如果要对n=4,n=5,n=6以致无穷无尽个n逐一进行证明,谁也没有这样的精力去做,全世界的电脑联网也做不到。我之所以说“以此类推”,是说每一个n的等价命题方程式是能够一一列出来的的,至于对这些方程式能不能给出证明是另一回事。一句话,有求根公式的等价命题可以模仿n=3的思路去证明,没有求根公式的等价命题只能另辟它途去证明。n=4和n=5的证明前人已经完成(n=4由费马大定理的提出者费马本人完成),我不想在这些问题上耗费精力,不过感兴趣的网友自己可以去试试,如果你也能模仿我证明n=3的思路给出n=4、n=5的证明,你虽然尝到了克服重重困难的艰辛,但也能体验一把会当凌绝顶的 美妙感觉,令人心旷神愉,岂不美哉。
 楼主| 发表于 2015-2-22 08:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2015-2-27 08:46 编辑

在中学学习过代数知识后知道(a+x)^2=a^2+2ax+x^2,在这个完全平方数公式中,设y^2=a^2+2ax,z=a+x,就可得到勾股定理的代数表达式z^2=y^2+x^2。对y^2=a^2+2ax作变形处理,则有x=(y-a)(y+a)/2a。求解勾股数的方法如下。
(1):当a=1时,x=(y-1)(y+1)/2。通过观察法可知,当取y值为3,5,7,……等不断增大的整数时,就可求得相应的x值为4,12,24,……等,继而可求得z值(z=1+x)为5,13,25,……等。这样就求出了本系列z^2=y^2+x^2的勾股数,这就是5^2=3^2+4^2,13^2=5^2+12^2,25^2=7^2+24^2,……等。
(2):当a=2时,x=(y-2)(y+2)/4。通过观察法可知,当取y值为6,8,10,……等不断增大的整数时,就可求得相应的x值为3,8,15,……等,继而可求得z值(z=2+x)为5,10,17,……等。这样就求出了本系列z^2=y^2+x^2的勾股数。
(3):当a=3时,x=(y-3)(y+3)/6。通过观察法可知,当取y值为9,15,21,……等不断增大的整数时,就可求得相应的x值为12,36,72,……等,继而可求得z值(z=3+x)为15,39,75,……等。这样就求出了本系列z^2=y^2+x^2的勾股数。
仿照上述方法,当继续取a值为4,5,6,7,8,……等连续不断的整数时,就可求得z^2=y^2+x^2的一系列勾股数。在这些勾股数中含有素勾股数组。


在(a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3中,模仿在勾股定理中求整数解的思路,设y^3=a^3+3a^2x+3ax^2,z=a+x,就得到了费马大定理中n=3的表达式z^3=y^3+x^3,因此要证明z^3=y^3+x^3是否有整数解,只要证明出y^3=a^3+3a^2x+3ax^2即可,因此这两个不定方程式是等价命题。同理,要证明z^4=y^4+x^4是否有整数解,就要证明它的等价命题方程式y^4=a^4+4a^3x+6a^2x^2+4ax^3是否有整数解。以此类推,我们就可以得到在费马大定理中证明
n=5,n=6,n=7等等一系列不定方程式是否有整数解的等价命题。
我发现的求勾股数的最简单方法,浅显易懂,学习过中学代数知识的人都能应用。而一般数论专著中介绍的求勾股数的方法,只有数论专家才会应用,对大多数数学爱好者来说就不容易把握了,这当然不利于数学知识的普及和传播。
 楼主| 发表于 2015-2-22 11:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 一览众山小 于 2015-3-1 09:19 编辑
一览众山小 发表于 2015-2-22 08:59
在中学学习过代数知识后知道(a+x)^2=a^2+2ax+x^2,在这个完全平方数公式中,设y^2=a^2+2ax,z=a+x,就可得 ...


本楼是我独自发现的求勾股数的全新方法,通过对此方法的不断拓展即一步一步地向前推进,最终完美解决了费马大定理问题。因此我发现的求勾股数的方法是解决费马大定理问题的逻辑起点,没有这个起点证明费马大定理就无从谈起。
发表于 2015-2-23 10:58 | 显示全部楼层
完整的错误证明!
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 楼主| 发表于 2015-2-23 11:45 | 显示全部楼层
任在深 发表于 2015-2-23 10:58
完整的错误证明!

说一句没头没脑的话,不像智者风范,愿闻其详。
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