“特殊类型的勾股数”的被退，仍是睁着眼睛说瞎话。

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“特殊类型的勾股数”是我于2012年6月7日，递送给“火花”的第33篇文章，也是我系统论述勾股理论，即各类欧拉群，它们的二次剩余问题的第五篇文章。我的这篇文章是在2012年9月21日被退的，其退稿理由仍然是：“本文又提到“我们已经证明......费马素数只有有限的5个”。这与学术界已经承认的结果是不一致的。学术界承认的结果是已经发现5个费马素数，而不是只有5个费马素数。经过审阅，我们认为您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
2014年11月13日，我在答复李敏对于“《孙子算经》与“孙子定理”的问题”的讨论时说：“15楼的李敏先生：你说王晓明的这些问题，应当用单独的较完整的文章来论述。然而，他的这些文章又能发表到那里？我一直觉得大家辛辛苦苦所写出来的数学论文，无论长短，不管对错，全都应该允许予以公开，中国科学院应该给出这样的交流平台。是对是错让众人予以评说，大家可以与专家学者展开公正平等的辩论，对于其中有价值的东西，国家必须予以重奖，只有这样，我国的全民的数学素质才能迅速提高。2014年11月13日。”
我的这个答复，“火花”编辑组硬是不让公开，它们的回复是：“谢谢作者积极讨论！本文内容看来主要是与本栏目组讨论。栏目组谢谢作者对如何办好栏目提建议。同时也请作者理解本栏目的宗旨和定位要求。经过审阅，我们认为您的来稿不符合本栏目的定位要求。” “火花”对全国人民所公布的栏目宗旨是：
“本栏目由中国科学院主办，中国科学技术协会协办。面向广大科技工作者和社会大众，贴近社会关注的科学问题，登载有关自然科学与技术的新问题、新发现、新思路和新方法的短文，交流对科学技术问题的见解，汇集来自公众的科学智慧与灵感。本专栏是展示科学智慧的窗口，是沟通科学思想的渠道，是传播科学知识的平台，也是广大科学爱好者和科学家互动的平台。希望通过本专栏使点点滴滴的科学灵感互相碰撞，迸出智慧火花，引起科研第一线工作者的关注和深入思考，同时引发更多科学爱好者的科学兴趣，为促进我国科学事业的蓬勃发展和提高国民的科学素养做出贡献。”
这个宗旨怎么可以随心所欲的任意变更！难道说中国科学院对于来自民间的数学成果，也永远不已认可吗？陆家羲的悲剧难道还要不断地重演下去吗？中国数学的复兴能寄希望于那些所谓的专家吗？倪则均，2015年1月25日。
特殊类型的勾股数
倪则均
一，4k2+1形数的特性规律
一个m=4k2+1形数，其自身就是一个特殊的二数平方之和形式。其中的k既可以是奇数，也可以是偶数，甚至为2的幂2t。如果u=2^2n，那么它们就是费马数，由此可见，费马数只是属于此类特殊类型的勾股数里的一种而已。我们已经证明在Fn=2^2n+1形费马数里，费马素数只有有限的5个。然而，在m=4k2+1形数里，素数的藏量却是十分丰富，其数量可能无限，对此如何予以证明？难度极大。下面仅列出10个最小的m=4k2+1形数，以展示其中素数的藏量情况。
k        4k2+1        性质                k        4k2+1        性质
1        5        素数                6        145        合数
2        17        素数                7        197        素数
3        37        素数                8        257        素数
4        65        合数                9        325        合数
5        101        素数                10        401        素数
其中的合数只有三个，它们是65=5×13，145=5×29，325=5×5×13，显然它们都是4k+1形素数的乘积。由于一个m=4k2+1形合数，只能从若干个勾股数的乘积运算得到，所以一个m=4k2+1形合数，只能分解成此若干个4k+1形素数的乘积形式。如果k是一个2的幂，那么这个m=4k2+1形数，还可以表示为二个数的高次幂之和，例如65=13+43=16+26，257=14+44=18+28。
如果m=4k2+1形数是一个素数，那么在其剩余方阵里，它的2k次剩余子群的2k个元素，就各有一个具有2k个元素底根集合，构成一个商群，形成对于全体元素的等和划分。应该不难将这些等和的底根集合排列成一幅纵横图，纵横图是我国首创，其源头就是远古时代所出现的“洛书”。纵横图传至西方后改名为幻方，成了属于游戏性质的趣味数学，大家都没有真正从数学的角度去予以深入研究。
其实，纵横图里的数学内容极其丰富，正有待于大家去探索，例如，纵横图实际上就是一个整数的分拆问题。英国的哈代和李特伍德写了一本《数的分拆》，也提出了大量的猜想，然而他们的猜想，根本不能与费马的猜想相提并论。他们的第五个猜想，也是关于m=4k2+1形数的猜想，他们提出了这类数里的素数的概率的猜想。显然，这种猜想实在毫无意义，大家真正需要的是对于它们的素性判别，以及对于其中合数的分解。
二，4k2+1形数的素性判别
一个m=4k2+1形数，如果对于迭代方程x2=x1（m-x1）来说，只有当迭代始数x1为2k或m-2k时，才能使其迭代结果为1，而其它所有的数都不能使其迭代结果为1，那么即可断定这个m=4k2+1形数必定是一个素数。若是还有其它的数也能使这个迭代方程的迭代结果为1，那么即可断定这个m=4k2+1形数必定是一个合数。
其实，其中的道理并不怎么深奥，因为如果m=4k2+1是一个素数，那么其原根的数量为φ（4k2），并且这φ（4k2）个原根之间，可以结成两两之和为m的对子，即有ga+gb=m。于是则有ga^2=(m-gb)2=m2-2mgb+gb^2≡gb^2（mod m），还有ga×gb=ga（m-ga）=gam-ga^2≡-ga^2，或ga×gb=(m-gb)gb≡-gb^2（mod m）。
如果k是一个奇数，我们就可以根据ga+gb=m，推导得到ga^ k2+gb^ k2≡m，按照上述规律则有ga^k2×gb^k2≡-ga^2k2≡1，或ga^k2×gb^k2≡-gb^2k2≡1。这样的迭代算法，不仅适用于所有4k+1形数的素性判别，而且也是证明4k+1形素数，可以惟一表示为二数平方之和的最简捷的方法。上述文字说明可能有些词不达意，为了便于大家理解，不妨再通过一个实例予以更具体的说明。24+1=17是一个费马素数，3，5，6，7，10，11，12，14是其八个原根，于是则有
3×14≡8，5×12≡9，6×11≡15，7×10≡2（mod 17）
显然，这八个原根的一次迭代结果，即为它们的四个二次剩余：2，8，9，15。这四个二次剩余的二次迭代结果，则为以下的二个四次剩余：4，13。
2×15≡13，8×9≡4（mod 17）
上述二个四次剩余的三次迭代结果即为1。
三，4k2+1形合数的分解
一个m=4k2+1形合数，如果为二个4k+1形素数pa和pb的积，那么Hm合数环里的全体元素，都可以运用只有二个分量的同余式组〈a，b〉予以表示。Hm合数环里元素的最大周期，为pa-1和pb-1的最小公倍数，然而，其最大周期元素的同余式组〈a，b〉，其中的二个分量a和b，未必要求它们必须都是这二个素数域的原根，只要这二个分量的周期的最小公倍数，也为pa-1和pb-1的最小公倍数即可。
如果其最大周期元素的同余式组〈a，b〉，其中的二个分量a和b，都是这二个素数域的原根，则称这样的最大周期元素为。Φm欧拉群里的基本生成元。这些基本生成元可以分为二类，一类是二个分量原根a和b奇偶相同，另一类是二个分量原根a和b奇偶相异。
应该不难证明这二类基本生成元，它们在Φm欧拉群里也是对称分布的。因此，如果以它们作为迭代始数作连续迭代运算，就会出现两种迭代结果都为1的情况。从而就可以运用遍乘的方法，将这个m=4k2+1形合数，表示为两种形式的二个数的平方之和。
由于这两种形式的二个数的平方之和，也是pa和pb二组勾股数的乘积，因此可以根据这两种形式的二个数的平方之和，反算得到pa和pb的二组勾股数，由此即可将这个m=4k2+1形合数，分解为二个4k+1形素数pa和pb的积。显然，当这个m=4k2+1形合数，为多个4k+1形素数的乘积时，我们仍然可以运用上述方法，将它们予以逐步分解，下面仍举一个实例予以具体说明这种分解方法。
对于HF5合数环来说，运用上述迭代算法可得65536×4294901761≡1，46837383×4248129914≡1（mod F5）。运用前述遍乘算法则可得到F5=655362+1=622642+204492。运用勾股数的乘法反运算即得42+252=641，4092+25562=6700417，于是即可将F5费马数分解为F5=641×6700417。2012年6月7日。