“勾股公式与毕氏三元数”的回复，仍是不敢得罪洋人。

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“勾股公式与毕氏三元数”，是我递送给“火花”的第30篇文章，也是我系统论述勾股理论，即各类欧拉群，它们的二次剩余问题的第二篇文章。这篇文章也是在2012年9月21日回复的，其回复意见是：“谢谢来稿！审稿专家和编辑组觉得本文与作者的另一篇文章类似，适合于投给面向学生的科普刊物。经过审阅，来稿不属于本栏目的定位要求。”
应该说，这一篇文章跟上一篇“勾股数的正本清源”一样，如果也仅仅将它看作是一篇科普文章是很不妥当的。我的这篇“勾股公式与毕氏三元数”，除了更进一步揭示，西方的数史学家们，在勾股数问题上的弄虚作假之外，也更进一步论述了，我国的古代数学在勾股问题上，对于整个世界数学所作出的卓越贡献。
其实，长期以来，许多的西方数学家，都喜欢往我们中国数学脸上摸黑。如果他们仅仅是对当今的中国数学脸上摸黑，我无话可说，因为当今的中国数学实在太不象话了，完全丢尽了我们中国人的脸面。若是他们想要在我国的古代数学脸上摸黑，那么他们就只能自讨没趣了，因为假的就是假的，指鹿为马终究只能硬压一时。让我觉得极为痛心的是，如果仅仅是外国人在往我国博大精深的古代数学脸上摸黑，我们完全可以嗤之以鼻，然而，若是我们的专家教授也在帮着外国人，也在往我国博大精深的古代数学脸上摸黑，那就太可怕了。
“勾股公式与毕氏三元数”的回复，说到底仍是不敢得罪洋人的问题。感谢微科普能让我的“勾股公式与毕氏三元数”，终于得见天日。我一直认为我的数学发现，不管是在“火花”上发表，还是在微科普和数学中国上公开，其意义都是一样的，只要以后不是随我一起去火化，我就心满意足了。倪则均，2015年1月22日。
勾股公式与毕氏三元数
倪则均
一，再议泥板上的勾股数
我们在前文“勾股数的正本清源”里，只是从古巴比伦人的楔形文字现在无法解读，以及他们的石子运算工具二个方面，置疑了《数学百科辞典》上所给出的，那组泥板上的最大勾股数，还没有从数理的角度来分析研究这个问题。其实，如果这组五位数的勾股数为（3k，4k，5k）=k，那么它们再大也不会让人吃惊的，因为这是一种显然勾股数，它们的数量可以无限之多，其数值可以无穷之大。
然而，让人吃惊的是这组泥板上的最大勾股数为（12709，13500，18541）=1，它不仅不是具有最大公约数k的显然勾股数，而是一类两两互素的本原勾股数，并且它还不是一组所谓的毕氏三元数，而是必须运用勾股公式等特殊方法才能得到的一个种子勾股数。如果古巴比伦人确实已经知道了这组勾股数，那么他们就必须至少掌握了以下三个方面数学知识。
第一古巴比伦人必须比我国的《九章算术》更早就已经掌握了勾股公式，然而，古希腊人的数学是从古巴比伦人那里传承过来的，既然古希腊人都不知道勾股公式，古巴比伦人怎会已经掌握了勾股公式；第二古巴比伦人必须比十七世纪的费马，更早就已经知道一个4k+1形素数，可以唯一的表示为二个数的平方和的规律；第三古巴比伦人必须比我更早，就已经找到了将一个4k+1形素数，表示为二个数的平方和的具体方法。
因此，如果破译者没有造假的话，那么，对于古巴比伦人的这种没有后继数学的数学，只能说是早在三四千年前，外星人已经造访过两河流域，这块泥板是外星人替古巴比伦人刻下的，这样岂不成了毫无根据的“天方夜谈”了吗？显然这不是专家学者们应该具有的科学态度。当然，古巴比伦人可以不必知道，这组泥板上的最大勾股数同样具有唯一性，但是，我们却应该设法证明这类种子勾股数的唯一性，因为这是费马的又一个猜想。
对于自然数的特性规律，费马曾作过大量的猜想，至今只是发现他对于费马素数的猜想是错的，那么，他的其它的种种猜想是不是都是对的，我们需要找到一些比较简洁的方法，对它们一一予以验证，看看其正确率到底有多高。种子勾股数的唯一性证明属于难度较大的一个，如果p是一个4k+1形素数，则有p=a2+b2，根据勾股公式即得p2=c2+d2。然而，在Φp^2欧拉群里，我们可以运用得到p=a2+b2的同样的方法，得到p2=e2+f2，所以我们必须证明，运用这二种不同的方法，所得到的结果却是完全相同。
二，毕达哥拉斯的三元数
毕达哥拉斯的三元数有着两种不同的说法，一种说法称：m（m＞1），（m2-1）/2，（m2+1）/2为毕达哥拉斯的三元数；另一种说法则称：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为毕达哥拉斯的三元数。二种说法之间一直长期争执，大家都标榜自己所说的是真正毕达哥拉斯的原著原文。
其实，毕达哥拉斯学派是一个极其严密的帮派组织，带有十分浓厚的宗教色彩。门徒们的著作不得留名，全归学派所有；他们的创造发明不准外传，必须守口如瓶永保秘密；他们素食、爱护庄稼、男女平等；不管谁违反了教规，都要受到极其严厉的惩罚。因此上述二种说法，全都不可能拿出让人信服的确切证据。
同样，那些数史书上所罗列的，有关毕达哥拉斯学派的种种数学成就，似乎也都毫无根据，例如，阿波罗多罗斯（Apollodorus）在他的《希腊编年书》上说，毕达哥拉斯学派由于发现了勾股定理惊喜若狂，宰杀了一百头牛举行大祭，以谢智慧神缪斯的默示。
由于宰牛之说完全违背了毕达哥拉斯学派的教规，属于严重失实，无可争辩。然而现在的史学家们，只是承认宰牛之说失实，并不怀疑毕达哥拉斯学派，是否真的发现了勾股定理。其实，上述关于毕达哥拉斯三元数的两种说法，全都不是完整的勾股公式，它们都是斜边大于一条直角边为1的特殊情况。
有人说公元四世纪的丢番图（Diophantus），已经知道完整的勾股公式为：x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，其中m与n互素且为一奇一偶，但是他没有明确地表达出来。其实，在古希腊的数学家之中，是否有一个名叫丢番图的人尚有疑问，因为对于此人一直缺乏相关的史料记载，谁也说不清楚他到底是什么时代的人。丢番图的《算术》或许也是十二世纪大翻译运动时，从阿拉伯翻译过来的课本，翻译者随便取用了丢番图为作者而已。
也有人说完整的勾股公式，是印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta，598—665），在他的《婆罗摩修正体系》中所提出来。然而，他是运用了等腰直角三角形证明了勾股定理，由此不仅不能得到一般的勾股整数，更加不可能得到完整的勾股公式的。
三，《九章算术》里的勾股公式
“勾股”是《九章算术》的第九章，其中的第十四题和第二十一题，实际上都给出了这个完整的“勾股公式”。由于古文不大好懂，仅将第十四题翻译如下：
题：今有甲乙两人，站在同一个地方。甲行率为7，乙行率为3。乙向东走，甲向南走10步而后斜向东北与乙相会。问：甲、乙的行程各是多少？答：乙向东走了10.5步，甲斜向东北再走14.5步，正好与乙相会。算法：使7自乘，3也自乘，相加后除以2，作为甲斜行率。用斜行率去减7自乘数，余数做南行率。以3乘以7作为乙的东行率。取南行步数10，乘以甲斜行率。另取10步，乘以乙的东行率，各自作为被除数，除以南行率，各得所行步数。
本题若是运用解二次方程的方法，极易得到同样的结果，然而《九章算术》巧妙地借用此题，给出了“勾股公式”。由于题中的术语不大好懂，所以稍作一点解释。所谓行率，实际上是指甲乙二人，行走在同一条直路上的速度比，没有明确的方向概念。然而南行率、东行率、斜行率则是具有方向性的速度比。
甲在南北方向，实际上来回共走了二个10步，所以甲的南行率为20。其实甲在东西方向也有行率，只是与乙的东行率完全相同而已。因此甲的斜行率是这二个方向的合行率。
如果设南行步数为勾a，东行步数为股b，斜行步数为弦c；又设甲行率为m，乙行率为n，那么按照上述算法则有：斜行率=（m2+n2）/2，南行率=m2-（m2+n2）/2，东行率=mn。由此得到以下比例关系：
a∶b∶c= m2-（m2+n2）/2∶mn∶（m2+n2）/2
显然，这就是上面的那个“勾股公式”。其实我国与印度之间，尽管有着世界屋脊的阻隔，然而在玄奘西行取经之前，早已开通了海陆两条丝绸之路。我国的僧侣正是通过这两条丝绸之路，从印度取回了佛经，或许他们也带去了《九章算术》，作为见面之礼，真所谓“礼尚往来，礼而勿往，非礼也”。因此，婆罗摩笈多的“勾股公式”的源头，或许就是我国的《九章算术》。数学是当时印度僧侣最高学府的必修课目，史载作为一般留学生的玄奘，却受到了非比一般的礼遇，其中的缘由大家应该仔细地想一想。2012年5月14日。

太阳

勾股定理，数据不可靠，有错误存在

太阳

太阳

太阳

数学题应该有点难度吧，科学智慧火花...专家...恐怕解决不了啊...

太阳

勾股定理，数据不可靠，有错误存在

太阳

n123zj3

回复太阳先生：你说勾股定理数据不可靠，有错误存在。你却没有具体指出它到底错在那里。你所列举的几道几何题，似乎与你的命题毫无关系。你的第一道几何题，只要放在内接圆里，可见AC是直径，2BD是一条弦，直径当然大于弦。但是当∠A=∠C时，2BD也是直径，此时才可能有AC=2BD，其它时候都是AC＞2BD。倪则均，2015年1月24日。

红树

第一题，是简单，后面几题，难度就加大吗？