“奇素数的原根问题”的被退，是一个自欺欺人之事。

n123zj3

由于“只有一种殆完全数”，是我递送给“火花”的第26篇文章，“证明奇完全数的不存在”，是我递送给“火花”的第27篇文章，因此“奇素数的原根问题”，是我递送给“火花”的第28篇文章。这篇文章也是在2012年9月21日被退的，其退稿意见是：
“本文的论断值得商榷。文中说到，“我们证明了在整个自然数里只有五个费马素数”，“已经解决了许多长期悬而未决的难题”。虽然我们还不知道这些说法是否已为学术界认可，但从本文对他人工作的批评可以看到作者在逻辑上的欠缺。
例如文中说：“Heath-Brown证明了如下惊人的定理：除了至多两个例外的素数p1、p2之外，对每个素数p，存在无穷多个素数q以p为其原根。例如，存在无穷多个素数q以2、3、5中至少一个作为它的原根。这个定理确实太惊人了，不用查找他们的证明资料，即可知道这个定理是错的，因为我可以给出一个反例来推翻他们的证明。”作者给出的反例是素数18541。
作者实际上并未能“推翻他们的证明”，因为存在无穷多个素数，不一定非要包含某个特殊的素数不可。因此，从逻辑上来说，“他们的证明”并不存在矛盾。经过审阅，我们认为您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
既然本文的论断值得商榷。那么为什么不公开出来，让大家一起参与讨论呢？我的“探索证明只有5个费马素数”，“火花”所给出的投稿日期为2012年3月28日，其实我的实际投稿日期应该为2012年2月12日，不管怎么算都是快三年了。在这么长的时间里，我国的学术界不仅始终没有予以认可，而且，也一直未见有谁提出任何的质疑，让人觉得气愤的是，审稿专家居然还好意思将其拿出来说事。难道说我的“探索证明只有5个费马素数”，非但洋人认可后，我国的学术界才敢认可，这岂不是一副十足的奴才腔，我国的大国脸面简直被这些人丢尽了。倪则均，2015年1月20日。

奇素数的原根问题
倪则均
一，原根的重要作用
我们对于整数系统的探索，是从“通过素数环认识素数群”着手展开的，我们在这篇文章里已经提出了奇素数的原根问题。原根的概念是高斯首先引进的，但是他并没有证明素数的原根必定存在，其实，我们在“通过素数环认识素数群”一文里，不仅已经证明了素数的原根必定存在，而且还进一步证明了全体原根集合，它们必定是一切素数群里，具有最大周期的一类元素的集合，也是最大的一个子集合。
高斯在他的《算术研究》里，给出了寻找原根的试算方法，比较繁琐费时。我们则对原根的特性规律作了一些初步地研究，提出了寻找原根的一种新方法，但是，总觉得还是不够完善，难以付之实际应用。其实，寻找原根更切实可行的方法，只能来自于对素数的原根，作更进一步的深入研究，充分掌握其特性规律，然而，其中的情况却是极其复杂，就非轻易就能完全掌握的。
由于素数的原根，也是一个功能非常强大的数学工具，许多十分繁琐复杂的数学问题，只要巧妙地运用原根的特性，就会使得它们变得简洁清晰起来。前面我们运用了原根的强大功能，让我们对于剩余方阵有了一个比较透彻的理解，从而使我们不仅重新认识了商群的问题，而且还证明了在整个自然数里，只有五个费马素数的难题。
我们已经解决了许多长期悬而未决的难题，然而，仍有二个非比一般的，十分特殊的数学问题，一直横在我们面前，一个是古巴比伦人泥板上的勾股数的问题，另一个则是费马大定理，到底有没有“一个真正的非常奇妙的证明”。其实，这二个问题不管从其实际内容上来看，还是从其影响范围上来看，都是完全相类似的。其实这二个非比一般的特殊数学问题，我们仍然要通过素数的原根去予以解决。
二，原根的性质问题
如果说，以往的西方数学家们，对于素数问题作了大量探索，取得了许多卓越成果，为我们深入研究素数问题提供了有利条件。那么，我们就不能不说，他们对于原根问题，几乎没有作过什么认真的研究，具有参考价值的东西实在少得可怜。加拿大数学家盖伊写了一本名为《数论中未解决的问题》的书，他花了九牛二虎之力，才是找到二条关于原根的性质问题。
第一条是，Artin有一个著名的猜想：对每一个整数g≠-1（g不是平方数），存在无穷多个素数p以g作为原根。Hooley在广义Riemann猜想为真的条件下证明了这一猜想，Gupta和Murty无条件地证明了它对无穷多个g成立。由于笔者未能找到他们的证明资料，所以不敢轻易断言此说是否正确。
第二条是，Heath-Brown证明了如下惊人的定理：除了至多两个例外的素数p1，p2之外，对每个素数p，存在无穷多个素数q以p为其原根。例如，存在无穷多个素数q以2，3，5中至少一个作为它的原根。这个定理确实太惊人了，不用查找他们的证明资料，即可知道这个定理是错的，因为我可以给出一个反例来推翻他们的证明，然而这个反例的出典，更是让人瞠目结舌。
日本数学会曾编写了，一部名为《岩波数学辞典》的巨著。这部数学辞典，后来又根据西方数学家们的意见，作了大量的修改，因此颇具权威性。这部数学辞典的中文版，称为《数学百科辞典》，其中对于美索不达米亚数学作了这样的介绍：“……在代数学中使用数表是一特色，并用数表解出了简单的三次方程和二元二次方程组等。二次方程根的公式能用文字形式正确叙述。也研究了a2+b2=c2的整数解（最大的解是12709，13500，18541）和平方根的近似计算，……”
《数学百科辞典》上，没有给出这组最大勾股整数的出典，估计应该是有人从古巴比伦人的某块泥板上所破译解读出来的。其中的18541是一个极为特殊的素数，我们通过实际计算，得知2，3，4，5都不是这个素数的原根，它的最小的一个原根为6，从而彻底推翻了上述第二个定理。
三，推导原根的算法问题
既然我们已经将2的周期，作为研究整数系统的一个法宝，对于任何一个素数，我们都必须首先计算出其2的周期，所以，我们推导原根的方法，应该从2的周期着手展开。一般来说2只可能是p=4k+1（k为奇数）形素数的原根，显然，上述18541也是一个p=4k+1（k为奇数）形素数，但是2不是这个素数的原根，因为22060≡1（mod 18541）。
如果2不是素数p的原根，2在Φp素数群里的周期为t，即有2 t≡1（mod p），那么在其剩余方阵里，2就为其（p-1）/ t次剩余，则有g（p-1）/ t≡2，g（p-1）/ t-1≡1（mod p）。若（p-1）/ t是为偶，又有g（p-1）/ t-1=（g（p-1）/2 t-1）（g（p-1）/2 t+1）≡1（mod p），因此，只要在的乘法互逆对里，找出二个差为2互逆数，即可从中找到原根g。
然而，在Φ18541素数群里，由于2的周期为2060，因此在其剩余方阵里，2却是某个原根g1的（18541-1）/2060=9次剩余，即有g19≡2（mod 18541）。此时若要证明6确是Φ18541素数群里的一个原根，就必须再计算出其3的周期为9270，从而得到39270≡1（mod 18541），g12≡3（mod 18541），于是就有6=2×3≡g19×g12= g111。由于11是H18540素数环里的一个欧拉数，所以6≡g111必定也是Φ18541素数群里的一个原根。
由于φ（18540）=4896，因此在Φ18541素数群里共有4896个原根。不难证明这4896个原根之间，必定既两两结对加法互逆，又两两结对乘法互逆。因此在4896个原根之中，必定是奇偶各占其半。根据6≡g111是Φ18541素数群里最小的一个原根，可知18535=18541-6≡g111+9270是Φ18541素数群里最大的一个原根。
尽管我们已经算出，在Φ18541素数群里5的周期也为9270，但是5只能表示为另一个原根g2的二次剩余，即有g22≡5（mod 18541），所以不能立即断言10也是一个原根。若令g2φ≡g1，φ为H18540素数环里的一个欧拉数，则有g19≡g29φ≡2（mod 18541），此时，10=2×5≡g29φ×g22= g29φ+2。由于9φ+2是H18540素数环里的一个欧拉数，所以10必定也是Φ18541素数群里的一个原根。