概述素数、双筛素数的值及其特性

吉林橹人123

序


有教无类（孔子）敬请赐正
概述素数、双筛素数的值及其特性
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             橹人
  中国 吉林市    邮编：132001

摘要：首先把奇数列划分为三类，即：j1=6X-1（X∈N*），j2=6X+1（X∈N*），j3=6X+3（X∈N*），从而证明了大于3的素数只分布在6X-1和6X+1两个数列中，其项数函数X的值是集合U＝﹛1，2，3，…（aj±1）/6﹜中的元素，当X为U的子集XHp的并集的补集元素Xp时，则在6X-1数列中，P＝6Xp-1；在6X+1数列中，P＝6Xp+1。又由于不小于6的偶数A，可分为三类，即A1＝6X-2（X∈N*），A2＝6X+2（X∈N*），A3＝6X（X∈N*）。可分解为；
A1=（6X1-1）+（6X2-1），(X=X1+X2)。
    A2＝（6X1+1）+（6X2+ 1）。
A3＝（6X1+1 ）+（6X2-1）或A3＝（6X1-1）+（6X2+ 1）。






则 A= Pn  +B1
A= P n-1 + B2，
A= P1 +Bn.。
再筛取B数列中的素数，叫双筛素数，用ps 表示。∴P=A- ps  ，∴A＝ ps+（A- ps）＝P+P，
故双筛素数与其对应的素数的组合，则是歌德巴赫猜想之正解。
关键词：偶数，奇数，合数，素数，双筛素数。
MR（2000）主题分类：11－XX＝数论268 /中图分类号：0156。

         




目   录

  1、非通用算数符号及定义
  2、双筛素数的定义
  3、合数计算单元域
  4、集合单元的划分及含有的素数因子
5、集合单元含有的素数
6、大于3的奇数可用6的函数表示
7、J-1 =（6X-1）数列含有的合数H-H及合数项函数X-H值的计算
8、J+2 =（6X+1）数列含有的合数H+H及合数项函数X+H值的计算
9、J+3 = 6X+3 数列含有的合数
10、计算奇数J-1 =（6X-1）数列含有的素数项函数X-P及素数P-的值
11、计算奇数J+2 =（6X+1）数列含有的素数项函数X+P及素数P+的值
12、偶数A的特性
13、橹人定理
1、非通用算术符号及定义
   （1）、P表示素数，Pn表示素数数列， ps表示双筛素数。
（2）、j表示奇数,aj表示数列末项数。
（3）、j-={6X-1|，X≥1， X∈N*}={5、11、17……}。j+=6X+1|， X≥1，X∈N*}=7、13、19……。（注：表达式中凡算数符号右上方标有“-”号的，只应用于6X-1数列，右上方标有“+”号的，只应用于6X+1数列）。







    （4）、H表示合数。Hp表示素数因子P产生的合数，H1P表示P产生的数列首项合数, Hn表示合数数列。
（5）、 X-H或X+H表示可计算合数的项函数，X-p或X+p表示可计算素数的项函数，X-Hf、X+Hf表示反方向筛出的合数项函数，X-Pf 、X＋Pf表示反方向筛出的素数项函数， Hf与Pf表示反方向筛出的合数及素数，XPs- 、XPs+ 表示双筛素数项函数。  
（6）、g表示个数，如Pg表示素数的个数。
(7)、CA（B）,表示筛去{A}中子集{B}含有的元素。
2、双筛素数定义
双筛素数用ps表示，即由不小于6的偶数A含有的奇数数列的首末项，正反两方向筛出的素数，叫双筛素数。
3、合数计算单元域
定义一个奇数数列含有的奇数个数的区域，这个区域含有奇数的个数是数列的末项数减去首项数除以2，其中末项奇数不计算在内，如J1 g=（9-1）/2=4，J3g=（25-9）/2=8……Jng=[（n+2）2 – n2]/2。可用集合表示，即：U1={1，3，5，7}，U3={9，11，13……23}， U5={25，27，29……47}， U7={49，51……79}，……，Un={ n 2,( n 2+2)，……[( n +2)2  - 2]}。这个区域含有的合数是小于这个数列末项数的平方根的素数产生的合数。这个区域叫做合数计算单元域，简称合数单元域。
4、集合单元的划分及含有的素数因子
设U={X|X=2m-1，1≤m且m∈N*}={1，3，5，7，9，……n}。
令U1={1，3，5，7}叫做U1集合单元，不含素数因子。
U3={9，11，13，……，23}叫做U3集合单元, 素数因子Pn≤ =3。
U5={52，（52+2），……[（5+2）2 – 2]}叫做U5集合单元。素数因子Pn≤ ≤=5，3。
Un ={[n2，（），……[（n+2）2 - 2]}叫做Un集合单元。Pn≤ ……7，5，3。
通过上述表述证明集合单元是连续的、递增的、无穷的。
5、集合单元含有的素数
U1={1，3，5，7}。
H1={1，}，
∵ H1 U1，
∴ Cu1H1 ={3,5,7,}。∴P=3，5，7。
U3={9，11，13，……，23}。Pn≤ =3。
H3=｛x|x =9+(n-1)6，n∈N*}={9，15，21，}。∵H3 U3
∴Cu3H 3 ={11，13，17，19，23}。∴ P=11，13，17，19，23。
U5={25，27，29，……，47}。Pn≤ =5，3。
H3={27，33，39，45}， H5=｛x|x =15+(n-1)10，n∈N*｝={25，35， 45}。H3 U5，H5 U5。
其中H3∩H5={45∈H3，且45∈H5}。
（H3∪H5）={25，27，33，35，39，45}。
  ∴ Cu5(H 3∪ H5) ={29,31,37,41,43,47}。∴P=29，31，37，41，43，47。
    U7={49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75，77，79}。Pn≤ =7，5，3。








H3={    51，        57，        63，        69，        75， }。
H5={            55，                65，             （ 75） }。
H7={49，                      （63），                       77 }。
   注Hp=｛x|x =（2n+1）P，n∈N*｝。
   H3∩H5={75∈H3，且75∈H5} ，H3∩H7={63∈H3，且63∈H7}。
(H 3∪ H5∪ H7)= {49，51， 55，57， 63，65，69， 75，77， }。CU(H 3∪ H5 ∪ H7)= {53，59，61， 67，     
71,73， 79}。∴P=53，59，61， 67， 71，73， 79。
通过上述表述证明：（1）大于U1的Un集合单元都含有等于及小于n 的素数因子的子集（素数做为乘数时叫做素数因子），所有子集包含的元素都是合数,所有子集的并集包含的元素则是集合单元所包含的全部合数。（2）大于U3的Un集合单元，其因子n与(n-2）产生的元素值Hn =n.(n-2),小于Un的Un-2集合单元也含有Hn-2=n.(n-2)的元素值，所以n.(n-2)必然是Un的子集{Hn}与Un-2的子集{Hn-2}的交集元素。所以大于U3的Un集合单元一定含有两个素因子的子集的交集元素。集合单元含有的数列末项数愈大，含有的子集愈多，产生的交集元素也愈多。并且诸子集的并集包含的元素是诸子集元素叠加排列的非连续的，无公差的全合数数列，其元素一定少于全集合所包含的元素。所以大于U1的集合单元一定存在所含子集的并集的补集，即一定含有素数。况且，U1单元含有3个素数，U3单元含有5个素数，之后每递增一个集合单元，则只增多一个素数因子，4个奇数，只产生3个合数（注：在Un=｛n2，（n+２）２－２｝域中n2是合数，H,g=1，在｛（n+２）2-2｝域中[（n+２）2-2]／２n＝｛n2＋４n＋４－２｝／２n＝２＋（2+n）/２n，所以Hg=2.所以在Un=｛n2，（n+２）２－２｝域中Hg=3。∵4＞3， 所以大于U1的任意集合单元Un都一定含有素数，且Pg＞5。（3）集合单元是连续的，递增的，无穷的，素数也是逐集合单元连续分布的，无穷的。
6、大于3的奇数可用6的函数表示
如：5=6×1-1。   11=6×2-1。
7=6×1+1。  13=6×2+1。
9=6×1+3。  15=6×2+3。
所以大于3的奇数可分为三类，即：
j1=6X-1（Ｘ≥1且Ｘ∈N*）={５，11，17，……}。
j2=6X+1（Ｘ≥1且Ｘ∈N*）={7，13，19，……}。
j3=6X+3（Ｘ≥1且Ｘ∈N*）={9，15，21，……}。
所以奇数数列可排列为1、3、（6X1-1）、（6X1+1）、（6X1+3）、（6X2-1）、（6X2+1）、（6X2+3）……。
7、j1-=（6X-1）数列含有的合数H-n及合数项函数X-H值的计算
在（6X-1）数列中，35是首位合数，5×7=35 , ∴6X-1=35 ,∴X=6.其中5=P-,7=P+。设   U={1,2,3……(aj1-+1)/6} 。                    
∵X1H5=6，X1H7=6   。根据通项公式an＝a1+（n-1）d所示：                 
∴XH5n=6+（n-1）5=5n+1。XH5={X|X=5n+1,1≤n,且n∈N*}={6，11，16，21……} , XH5 U。
  XH7n=6+（n-1）7=7n-1。XH7={X|X=7n-1,1≤n,且n∈N*}={6，13，20，27……}，XH7 U。
素因子11产生的首位合数是11×7=77其中11=P-,7=P+。
  ∵X1H11= 77+1/6=13。
∴XH11n=13+（n-1）11=11n+2。XH11={X|X=11n+2,1≤n,且n∈N*}={13，24，35，46……}，X11 U。







素因子13产生的首位合数是13×5=65   其中13=P+,5=P-。
∵X1H13=65+1/6=11。
∴X1H13n=11+（n-1）13=13n-2。XH13={X|X=13n-2,1≤n,且n∈N*}={11，24，37，50……}，X13 U。
∴X-H＝（XH5∪XH7∪XH11　……∪XHＰ）＝{6,11,13,16,20,21……}。
    ∴XHp1=(P+•5+1)/6或(-P－•7+1)/6 ，                  
∴XHpn= XHp1+(n-1)P。                         ……7-1 。      
所以，在（6X-1）数列中，含有的全部合数项函数X-H的值，等于集合XH5、XH7、XH11…的并集含有的元素的值。
8、j2+=（6X+1）数列含有的合数H+n及合数函数X+H值的计算
  在（6X+1）数列中，25是首位合数，5×5=25.     5=P-, ∴25=P-•-P-。设U={1,2,3……(aj2+-1)/6}。
∴X1H5=25-1/6=4。根据通项公式an＝a1+（n-1）d所示：
∴X1H5n= XH51+（n-1）5=5n-1。XH5={X|X=5n-1,1≤n,且n∈N*}={4，9，14，19，24……}，X5 U。
素因子7产生的首位合数是7×7=49 ,  7=P+ ,∴49=P+&#8226+。
∴X1H7=(49-1)/6=8。
∴X1H7n= X1H7+（n-1）7=7n+1。XH7={X|X=7n+1,1≤n,且n∈N*}={8，15，22，29……}，X7 U。
同理，XH11n=11n-2。XH11={X|X=11n-2,1≤n,且n∈N*}={9，20，31，42……}，XH11 U。
∴X+H＝（XH5∪XH7∪XH11　……∪XHＰ）＝{４,8,9,14,15,19,20……}。
∴ X1Hp=(P-•5-1)/6或(P+•7-1)/6 ，        
∴XHpn= XHp1+(n-1)P，                        ……8-1。
所以在（6X+1）数列中，含有的全部合数项函数X+H的值，等于集合XH5、XH7、XH11…的并集含有的元素的值。
9 、j3=6X+3数列含有的合数
j3=6X+3（Ｘ≥1且Ｘ∈N*）={9，15，21，……}。集合含有的元素都是合数。
    所以,大于3的素数只能只分布在6X-1（X∈N），和6X+1（X∈N）两个数列中。
10、计算奇数j1-=6X-1数列含有素数项函数X-p及素数P-的值
设任意奇数aj1-,则aj1-含有(6x-1)数列的项数函数X值是集合U包含的元素，U={1，2，3，……(aj1-+1)/6}。
∴X={1，2，3，……(aj1-+1)/6}，又因为aj1-含有的素因子Pn＜ ∴Pn=5,7,11,……＜  。
XH5={X|X=5n+1，1≤n，且n∈N*}  XH5 U ，
     XH7={ X|X=7n-1，1≤n，且n∈N*}  XH7 U ，
XH11={ X|X=11n+2，1≤n，且n∈N*}  XH11 U ，
∴X-H=(XH5∪XH7∪XH11……∪XHP)，    ∴X-p=Cu（X-H）。
∴P-=6•X-p-1。……10-1。
举例1，计算  j-1=6X-1=35，含有的素数。（含有，指小于末项数的素数）。
  ∴ U={1，2，3，……（35+1）/6}，∴X={1，2，3，4，5，6}。
∵   Pn ＜ ＜7，∴ Pn=  5。
∵XH5={X|X=5n+1，1≤n，且n∈N*}={6}。∵XH5 U。
∴X-H={6}，∴ X-p =Cu（X-H）={1、2、3、4、5}。
∴P-=6 X-p -1=6×1-1=5。
     6 X-p -1=6×2-1=11。
     6 X-p -1=6×3-1=17。
     






     6 X-p -1=6×4-1=23。
     6 X-p -1=6×5-1=29。
所以，35含有的属于P-的素数是X=X-p时，则P-=6 X-p -1=5，11，17，23，29。
举例2，令j-1=6X-1=161，求含有的素数P的值。
解，∵aj-1=161 ，
∴U={1，2，3，……（161+1）/6} , ∴X={1，2，3，……27}，Pn＜  ＜13=11、7、5。
      XH5={X|X=5n+1，1≤n，且n∈N*}={6,11,16,21,26}  ∵XH5 U，
      XH7={X|X=7n-1，1≤n，且n∈N*}={6,13,20,27}     ∵XH7 U，
      XH11={X|X=11n+2，1≤n，且n∈N*}={13,24}       ∵XH11 U，
     ∴X-H=（XH5∪XH7∪XH11)={6,11,13,16,20,21,24,26,27}。
∴X-p =Cu(X-H)={1，2，3，4，5、7，8，9，10，12，14，15，17，18，19，22，23，25}。
∴P-=6X-p -1=5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，101，107，113，131，137，149。
11、计算奇数j+2=6X+1数列含有素数函数X+p及素数P+的值
设任意奇数aj+2，则aj+2含有6X+1数列的项数函数X值是集合U包含的元素，U={1，2，3……(aj+2-1)/6}。
∴X={1，2，3，……(aj+2-1)/6}，Pn＜  。
XH5={X|X=5n-1,1≤n,且n∈N*}  ∵XH5 U，
XH7={X|X=7n+1,1≤n,且n∈N*}  ∵XH7 U，
XH11={X|X=11n-2,1≤n,且n∈N*} ∵XH11 U，
∴X+H=（XH5∪XH7∪XH11……∪XHp）， ∴X+p =Cu(X+H).
∴P+=6 X+p +1。……11-1.
举例，计算j+2=6X+1=49含有的素数的值。
∴U={1，2，3……(49-1)/6}。∴X={1，2，3……8}。
又∵   =7，所以49含有的素因子 Pn=7、5。
∴XH5={X|X=5n-1，1≤n, 且n∈N*}={4} ∵XH5 U，
  XH7={X|X=7n+1，1≤n, 且n∈N*}={8} ∵XH7 U，
∴X+H= (XH5∪XH7)={4、8}。
∴X+p =Cu(X+H) = {1，2，3，5，6，7}。
P+=6 X+p +1=6×1+1=7。
=6×2+1=13。
=6×3+1=19。
=6×5+1=31。
     =6×6+1=37。
=6×7+1=43。    ∴  P+n=43 ，37，31,19,13,7。
综上述证明,大于3的素数的值都是可以计算的。
12、偶数A的特性
特性1：大于2的偶数可用6的函数表示
  如：4=6×1-2 ，    10=6×2-2，     16=6×3-2，
6=6×1   ，    12=6×2，       18=6×3，
                8=6×1+2 ，    14=6×2+2，     20=6×3+2。







     所以偶数（A）可分为三类，即：
A1=6X-2（Ｘ≥1，且Ｘ∈N*）=4，10，16……。
A2=6X+2（Ｘ≥1，且Ｘ∈N*）=8，14，20……。
A3=6X（Ｘ≥1，且Ｘ∈N*）=6，12，18…… 。
所以偶数数列可排列为2，（6X1-2），（6X1），（6X1+2），（6X2-2），（6X2）（6X2+2），（6X3-2），……。
特性2：偶数的组合
∵A1 =6X-2，令X=X1 +X2 ，（X∈N*）。
∴6X-2=6（X1+X2 ）-2=（6X1 -1）+（6X2 -1）。
∴A1 =6X-2=（6X1 -1）+（6X2 -1）。
A2 =6X+2，令X=X1+X2 ，（X∈N*）。
∴6X+2=6（X1+X2 ）+2 =（6X1+1）+（6X2 +1）。
∴A2 =6X+2=（6X1 +1）+（6X2 +1）。
A3 =6X 令X=X1 +X2，（X∈N*）。
6X=6（X1 +X2）+1-1 =6X1 +6X2 +1-1，
∴A3=（6X1 +1）+（6X2-1）或A3=（6 X1-1）+（6 X2+1）。
特性3：凡大偶数都可以表示成两个素数的和。
3-1，求证A1=6X-2=P+P，（X∈N*）。
解，已知: （1）A1=6X-2=（6X1-1）+（6X2-1）[X=X1+X2].
（2）A1含有(6X-1)项数函数值是集合U={1，2，3，……A1/6}包含的元素值。
（3）A1含有的产生合数的最大素数因子P＜  。
（4）集合U含有的XHP 值的子集分别是：
XH5={X|X=5n+1，1≤n，且n∈N*}={6,11,16,21，……}，    XH5 U，
XH7={X|X=7n-1，1≤n，且n∈N*}={6,13,20,27，……}，    XH7 U，
XH11={X|X=11n+2，1≤n，且n∈N*}={13，24，35……},    XH11 U，
XH13={X|X=13n-2，1≤n，且n∈N*}={11，24，37，…}，XH13 U，
XHP={X|X=P（n-1）+HP-1，1≤n，且n∈N*}={ N*，N* ，N*，…}，XHP U。
（5）∴X-H =（XH5∪XH7∪XH11…∪XHP）={6,11,13,16,20,…}。
（6）∴X-p =CU（X-H）={1,2,3,4,5,7,8,9，10，12，14，15，17，18，19…  }。
（7）A1含有素数P-=6•X-p -1=5，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89，101，107，113… 。
   又  ∵   A1 -  P-n  =B1,
             A1 -  P-n-1  =B2,
             A1 -  P-2    =Bn-1,　
             A1 -  P-1    =Bn。
令P-n、P-n-1、…P-1均为（6X-1）数列含有的素数,B1、B2…Bn也必然是（6X-1）数列中的奇数，所以A1含有的两个（6X-1）数列，含有的奇数个数相同，只是排列顺序首、末项相反，但其各项位相互对应(对应：指an=an-m+am，则an-m与am是对应的）。再筛B数列，由于B数列是按A1数列的反方向排列的，且P-项位与B项位是相互对应的重叠的。又根据已知（7）、（6）、（5）、（1）、得知，在6X-1 数列中含有的X-H元素是非连续（连续，指自然数列






或等差数列），无公差的数列，之余项一定都是X-p元素，故X-H 项与X-p项是互补元素，同理在6X-1 数列中含有的H-n数列也是非连续的，无公差的数列，之余项必然都是P-项，故H-项与P-项也是互补元素，当B数列按A1数列的反方向排列时，其项函数X也必然是按A1数列的反方向排列的。由于A1=6X-2，∴X＝（Ａ1＋２）／６，∴X-Hf={（Ａ１＋２）／６－６，（Ａ１＋２）／６-11，（Ａ１＋２）／６-13，（Ａ１＋２）／６-16 . . . }。∴ X-pf  = Cxp-（X-Hf ），∴H-f=6•X-Ｈf -1，而P-f=6•X-Pf -1。由于X-Ｈf项与X-ｐf项是互补元素，所以B数列含有的Hn-f数列与Pn-f数列也是两个互为补集元素的数列。又根据（5）X-Ｈ所列合数项元素的项位及项位差与（6）X-P所列素数项元素的项位及项位差都是完全不同的，所以H-项位及项位差与P-项位及项位差也都是不同的。当H-数列也按A1数列反方向排列时，其B数列含有的H-项位的项位差是不变的。所以P数列各项位与B数列各项位就一定不能完全对应。故与各P-项位对应的各B项位就一定不完全是H-项位。∴CB（H-f ）= pf,∴pf≠ 0 或pf≥1。所以在B1、B2……Bn中至少含有一个或多个双筛素数,用ps 表示，即，A1-P-= ps 。且与ps对应的项数一定是素数，∴ P- =A1- ps 。
综上述，由于A1含有的正反两个数列同是6X-1数列，含有X-H的元素是固定的，相同的，所以用X-H=（XH5∪XH7∪XH11……∪XHP）={6，11，13，16，20，……}之元素，由大偶数A1反方向再次筛除X-p数列中的合数函数，剩余的函数则是双筛素数项函数X-ps 。
∵X-Hf=, {（A1+2）/6-6，（A1+2）/6-11, （A1+2）/6-13,（A1+2）/6-16…}。
∴X-ps =  CXp-（X-Hf ） ……12－1。
∴ ps = 6•X- ｐi -1 ……12－2。
又∵P－＝A1－ps 。
∴A1 = ps +（A1- ps ）= ps + P-  =1+1……12－3。
举例：求证大偶数A=100=P+P。
∵A1=100=6X-2，U={1，2，3，……100/6}。∴X={1，2，……，16}。
又∵ ＜11， ∴ Pn=7、5。
∴XH5={X|X=5n+1,1≤n，且n∈N*}={6,11，16}，   XH5 U。
∴XH7= {X|X=7n-1,1≤n，且n∈N*}={6,13}，       XH7 U。
∴X-H=（XH5∪XH7）={6，11，13，16}。
∴X-p =Cu（X-H）={1，2，3，4，5，7，8，9，10，12，14，15}。
∵X-Hf={（A1+2）/6-6,（A1+2）/6 -11, （A1+2）/6-13,（A1+2）/6 -16}={11,6,4,1}。
根据公式12-1，
∴X -pi =Cxp-（XHf-）={2，3，5，7，8，9，10，12，14，15}。
∴ps =6•X- pi -１＝11，17，29，41，47，53，59，71，83，89。
取ps =89，…。
∵P- = A1－p-i  =100-89=11, ∴A1= p-i + P- =89+11，A1 =83+17=71+29 … 。
∴100=P+P=1+1，∴A1=P+P=1+1。
3-2，求证A2=（6X+2）=P+P，（X∈N*）。
解，已知: (1）A2=6X+2=（6 X1 +1）+（6 X2+1）[X= X1+ X2]。
         （2）A2含有的（6X+1）项数函数值是集合U={1，2，3，……A2/6}包含的元素值。
(3) A2含有的产生合数的最大素数因子P＜ 。





  （4）集合U含有的XHp 值的子集分别是：
        XH5={X|X=5n-1，1≤n，且n∈N*}={4，9，14，19，……}，    XH5 U。
        XH7={X|X=7n+1，1≤n，且n∈N*}={8，15，22，29，……}，  XH7 U。
XH11={X|X=11n-2，1≤n，且n∈N*}={9，20，31，42，……}，  XH11 U。
        XHP={X|X=Pn+X1+HP-P，1≤n，且n∈N*}={ N*，N*，N*，……}，XHP  U。
        （5）∴X+H=（XH5 ∪XH7 ∪XH11…∪XHp）={4,8,9,14,15,…}。
（6）∴X+p =CU（X+H）={1，2，3，5，6，7，10，11，12，13……}。
（7）A2含有的素数P+=6•X+p +1=7，13，19，31，37，43，61……。
        又∵A2 – P+n  =B1，
            A2 - P+n-1 = B2，
A2 - P+2   = Bn-1，
            A2 - P+1  = Bn。
因为P+n…P+3、P+2、P+1与B1、B2、B3、…Bn同属A2含有的（6X+1）数列，两个数列奇数个数相同，只是排列顺序首、末项相反，但其各项位相互对应。再筛B数列，由于B数列是按A2数列的反方向排列的，且P项位与B项位是相互对应的，重叠的，又根据已知（7），（6），（5），（1）得知，在6X+1 数列中含有的X+H元素是非连续，无公差的数列，之余项一定都是X+p元素，故X+H 项与X+p是互为补集元素。同理在6X+1 数列中含有的H+n数列也是非连续的，无公差的数列，之余项必然都是P+项，故H+项与P+项也是互补元素。当B数列按A2数列的反方向排列时，其项位函数X也必然是按A2数列的反方向排列的。由于A2=6X+2， ∴X=（A2-2）/6， ∴X+Hｆ ={（A2-2）/6－4，（A2-2）/6－８，（A2-2）/6－９，…}。∴X+pｆ= Cxp（X+Hｆ）。.∴H+f=6•X+Hf+1，P+f=6•X+pf+1。由于X+Hｆ与X+pｆ是互补元素，所以B数列含有的H+f数列与P+f 数列也是两个互为补集元素的数列。又根据（5）X+Ｈ所列合数项元素的项位及项位差与（6）X+P所列素数项元素的项位及项位差都是完全不同的，所以H+项位及项位差与P+项位及项位差也都是不同的。当H+数列也按Ａ+2数列反方向排列时，其B数列含有的H+项位的项位差是不变的。所以P数列各项位与B数列各项位就一定不能完全对应。故与各P+项位对应的各B项位就一定不完全是H+项位。∴CB(H+f)= p+f  ,∴p +f ≠ 0 , 或p+f ≥1 。所以在B1、B2、B3……Bn中至少含有一个或多个双筛素数，用ps表示，即，A2- ps += P+。且与ps +对应的项位数一定是素数，∴P+ =A 2- ps +。
   综上述，由于A2含有的正反两个数列同是6X+1数列，含有X+H的元素是固定的，相同的，所以用X +H=（XH5∪XH7∪XH11……∪XHP）={4，8，9，14，15，…}之元素，由大偶数A2反方向再一次筛除X+P数列中的合数        项函数，剩余的函数则是双筛素数项函数X+ps。
∴X+Hf={（A2-2）/6－4，（A2-2）/6－８，（A2-2）/6－９，（A2-2）/6-14…}。
∴X+ps  =C＋X p (X+Hf)……12－4。
∴ps＋=6•X＋pi ＋1 ……12－5。
∵Ｐ＋= A2 -pi＋
∴A2 = ps＋+（A2 - ps＋）= ps＋　+P＋ =1+1……12－6。
举例：求证大偶数A2=104=P+P。
∵104=6X+2 ∴U={1，2，3，……104/6}。∴X={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17}。
∵   A2 =    104 ＜11 ∴Pn=7，5。


                           
                                                                       


∴XH5 ={X|X=5n-1，1≤n，且n∈N*}={4，9，14}，   XH5 U 。
XH7 ={X|X=7n+1，1≤n，且n∈N*}={8，15}，      XH7 U。
∴X+H=（XH5∪XH7） ={4，8，9，14，15}。
∴X+p =Cu（X+H）={1，2，3，5，6，7，10，11，12，13，16，17}。
∴X+Hf={（104-2）/6-4,（104-2）/6 -8,（104-2）/6 -9,（104-2）/6 -14,（104-2）/6-15 } ={13，9，8，3，2}。
  根据公式12-4。
∴X+ps =CXp＋( X＋Hf)={1,5,6,7,10,11,12,16，17}。
p＋i=6•X＋ps＋1 =7，31，37，43，61，67，73，97，103。  （注∵（104-103＜3。所以舍去103）。  
Ｐ＋ = A2 －p＋s＝104-7,104-31, ∴104=Ｐ＋　＋p＋s＝97+7=73+31  … 。∴A2=104=p＋s +Ｐ＋=1+1。
3-3，求证A3=6X=P+P，（X∈N*）。
已知：（1）A3=6X=（6X1+1）+（6X2-1）或A3＝6X=（6X1-1）+（6X2+1），[X=X1+X2]。
    （2）∵A3=A1+2。所以大偶数A3含有A1含有的全部双筛素数项函数X－pi，又∵A3=A2-2。所以大偶数A3含有A2含有的全部双筛素数项函数X+ pi。
(3)确定{xp-},{XH-}及{xp+},{XH+}含有的元素，又∵X=A3/6,从而确定{xHf-}{xpi-}及{xHf+ {xPi+}}含有的元素，         ∴X-pi=Cx-P (X+Hf)，X+Pi=CXp+(X-Hf)，则p- i=6•X-Pi-1,或 p+ i =6•X+P i +1。
∵p - = A3 -p＋i　，p＋＝A3　-Ｐ－i　　　　　　　
∴A3　＝p＋i　＋p -　＝１＋１或A3　＝p－i　＋p＋　＝１＋１  ……12－7。
举例：求证大偶数A3=102=P+P。
∵102-2=100,∴XP-={1,2,3,4,5,7,8,9,10,12,14,15},XH-={6,11,13,16}。
∵102+2=104,∴XP+={1,2,3,5,6,7,10,11,12,13,16}, XH+={4,8,9,14,15}。
又∵A3/6=17.∴xHf+ = {17-4,17-8,17-9,17-14,17-15}={13,9,8,3,2}，X-ps=Cx-P (X+Hf)={1,4,5,7,10,12,14,15}。
∴XHf_  = {17-6,17-11,17-13,17-16}={11,6,4，1}，X+Ps=CXp+(X-Hf)={2，3，5，7，10，12，13，16} 。
∴p-s =6•X-pi-1=5,23,29,41,59,71,83,89。 p+s=6•X+P i+1=13,19,31,43,61,73,79,97。
取p＋s  =97，取p－s  =89。
∴Ｐ－=A3-p＋i=102-97=5，∴A3＝102＝97+5，Ｐ＋= A3-p－i=102-89=13，∴A3 ＝102＝89+13。
∴A3=P+P=1+1。
     综上所述，双筛素数的特性：
（1），确定性，不小于6的偶数都含有至少一个或多个双筛素数，偶数值愈大含有的双筛素数愈多。
（2），对应性，不小于6的偶数含有的双筛素数，所对应的项位数一定是素数，即：P=A-ps。
（3），歌德巴赫猜想解，∵P=A- ps，∴A= ps+（A- ps)=P+P。
13、橹人定理：
    不小于6的偶数A都含有至少一个或多个双筛素数pi，且与双筛素数相对应的项位数一定是素数，即
A- ps =P。又不小于6的偶数可用A1=6X-2，A2=6X+2，A3=6X只三个数列表示,其中,
A1  = p-s+ （A1 -p-s） =P+P，
A2  = p＋s+ （A2 -p＋s）=P+P，
A3  = p-s+ （A3 - p-s）=P+P或A3  =p＋s+ （A3 -p＋s）=P+P。
   所以不小于6的偶数都可以表示成一个双筛素数加一个与其双筛素数相对应的素数的和。
故，A= ps+（A- ps)=P+P。则歌德巴赫猜想之正解。
吉林橹人   0432-66125492