揭示素数构造特性规律的文章竟然被退。

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对于素数来说，我们可以通过规则合数环，去掌握它们在整个自然数里的分布规律。我们还可以按照其中元素2的周期，去对它们予以分门别类，乃至运用这种规律，去对大数进行彻底分解。我们要想真正揭开素数的神秘面纱，了解各类素数的构造特性，就只能通过素数环去予以认识，然而，我的“通过素数环予以认识素数群”不仅被退，而且，退稿的理由是那么的让人吃惊。应该是由于我的告状，才使“探索证明只有5个费马素数”，得以糊里糊涂的发表。下面不妨将审稿专家的评阅意见，首先予以实录：
倪则均先生/女士：您好！
首先，感谢您对本栏目的关注！
经过审阅，您的来稿已在本栏目发布，请您查阅。
遵照专家的建议，对文章题目做了修改，加上探索二字。专家的评阅意见转录如下，备你参考：
“Fermat素数是否只有有限个，是迄今未解决的数论难题。作者的来稿称证明了只有5个Fermat素数。若他的证明无误，则是一个了不起的数学成果。但来稿只包含证明的一些思路，没有细节，甚至没有给出某些重要术语的意义，所以难以判断声称的结果是否确实被证明。但他的想法有一定参考价值（如：Fn是Fermat素数⇒Fn-1是Fermat素数）。所以建议发表，但在文章题目后加“(探索)”。特此告知。此致
敬礼！
《科学智慧火花》编辑组，2013-01-01。
尽管审稿专家对于这个问题看得很重，然而我则觉得，这个问题并非真的那么重要，因为它只是一个特例，不具普遍意义。我只是在讨论侯小山的“提出10…01猜想”时，才发现了这个方法的唯一的实用价值，我在7楼说：
“楼主侯先生：证明在10n+1形数里，只有当n=0，1，2时的三个素数，其它全部都是合数不难。首先容易证明当n为奇数时，11必定为其一个素因子。其次不难证明当n=2jk（k为奇数）时，10^2j+1必定为其一个因子数。最后可以按照我对于“探索证明只有5个费马素数”的方法，证明10^2j+1形数里，只有当j=0，...
楼主侯先生：证明在10n+1形数里，只有当n=0，1，2时的三个素数，其它全部都是合数不难。首先容易证明当n为奇数时，11必定为其一个素因子。其次不难证明当n=2jk（k为奇数）时，10^2j+1必定为其一个因子数。最后可以按照我对于“探索证明只有5个费马素数”的方法，证明10^2j+1形数里，只有当j=0，1时的二个素数，其它全部都是合数。
现在种种没有什么实际意义的猜想，可谓多如牛毛，跟着人家东施效颦更是毫无意义。其实,对于这些悬而未决的难题来说，即使今后还将永远悬挂在那里，也不会影响到数学的发展和社会的进步。当然，哥猜对于我们中国人来说，有着非比一般的特殊意义。只有初中毕业的民间数学家华罗庚，从上个世纪的三十年代，就开始了对于哥猜的研究。建国之初，他就带领了一批年轻学子，展开了对于哥猜更为广泛的探索。随着陈景润证明了“1+2”，立即在全国掀起了一场声势浩大的攻坚战，这场对于哥猜的攻坚战，似乎一直延续至今。今天我们特别需要通过破解哥猜，来鼓舞大家复兴中国数学的士气。”
现在看来，我的这个发言，还是有点问题的，特别是对于华罗庚的说法。华罗庚曾在上海读过职校，退学后不久就去清华旁听了二年高等数学。以后又去剑桥跟着哈代，研究了二年解析数论，因此他不能算作是完全自学成才的民间数学家。华罗庚对于博大精深的中国数学，根本没有作过真正的深入研究，却偏偏喜欢卖弄自己的一知半解，搞出了不少的笑话，应该说是华罗庚将中国数学引入了错误的歧途。
对于整个自然数的研究来说，我们既要通过素数域去认识合数环的种种特性规律，又要通过合数环去认识素数域的种种特性规律，这是一个螺旋式的认识过程，也是一个不断相互认识，共同提升的过程。这样的认识过程，岂不是印证了我一开始所说的，我们中国人的渐进式的运筹归纳思维模式，是一个最科学的思维模式和认识过程。倪则均，2014年12月28日。
通过素数环认识素数群
倪则均
1，一一对应。
如果p是一个奇素数，那么模数p-1对于整个自然数N的全体的余数集合为合数环：Hp-1={1，2，…，p-1（或0）}。为了区别于其它种种十分繁多的合数环，完全有必要将这类合数环，特别专门称之为素数环。
模数p对于整个自然数N的全体的余数集合为素数域：yp={1，2，…，p-1，p（或0）}，这个素数域包含着二个子群，一个是只有一个元素的因子群：DP={ p（或0）}；另一个是剩下的p-1个与模数p互素的元素，它们组成一个欧拉群：ΦP={1，2，…，p-1}，这个欧拉群则专门称之为素数群。
显然，素数环Hp-1与素数群ΦP之间，它们的元素完全相同，仅是模数差1而已。因此，我们可以设法通过素数环Hp-1，去认识素数群ΦP，由此逐步揭开素数的神秘面纱。由于素数群是素数域的核心，所以我们首先必须掌握一切素数群的内部结构规律。
每一个循环群它们都是由若干个生成元所构成，所有的素数群都是一个循环群，高斯专门将素数群的生成元称之为素数的原根。若设g是素数p的一个原根，我们就可以将上述素数群变换表示为：
ΦP={g1，g2，…，gp-1}
如果以此素数群里的元素作为底数，分别对它们作1至p-1次的乘方运算，那么这样的乘方运算对于指数来说，就是Hp-1素数环里的乘法运算，如此运算的结果就会得到一个剩余方阵。由于在这个剩余方阵里，它们的行与列之间是一种一一对应相同的关系，所以这类剩余方阵必定都是一个对称方阵。
若令gk（k≤p-1）是ΦP素数群里的一个元素，那么它的1至p-1次方为：g1k，g2k，…，g（p-1）k，而ΦP素数群里全体元素的k次方同样也为：g1k，g2k，…，g（p-1）k。由此证明在这个剩余方阵里，它们的行与列之间确实是一种一一对应相同的关系。
2，同构关系。
显而易见，在这个对称方阵里，Hp-1素数环里的ΦP-1欧拉子群，对应着ΦP素数群里的全体原根集合G P，因此，ΦP素数群里原根的数量为欧拉函数φ（p-1）。若令φ是ΦP-1欧拉子群里的一个元素，那么gφ就必定也是一个原根，这就是说，只要我们能够找到一个原根，其它所有的原根都可以通过这个方法得到。
其实，Hp-1素数环的内部结构十分复杂，其中存在着诸多的各阶子环，承担着极其重要的关键作用，它们是p-1的因子数与Hp-1素数环的乘积环，若令di为p-1的因子数，那么我们就可以将这些子环统一表示为di×Hp-1。由于1也是一个因子数，所以Hp-1素数环自身就是一个子环，ΦP-1欧拉子群里的所有的元素，全部都是这个子环的构成元，因为φHp-1=Hp-1，所以ΦP-1欧拉子群就是一个构成群。
Hp-1素数环的其它各阶子环，它们同样都有一个构成群，它们是p-1的因子数与ΦP-1欧拉子群的乘积群，同样可以将这些构成群统一表示为di×ΦP-1。应该不难看出这些构成群，与ΦP素数群里的各类循环子群的生成元集合之间，同样存在着一一对应的关系，所以素数环Hp-1与素数群ΦP之间，是一种同构的关系。
上面的论述或许不太容易理解，下面不妨通过一个实例予以具体说明。当奇素数p=11时，其素数群为Φ11={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其素数环为H10={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，所以它的剩余方阵如下：
乘方        底数
        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
方次        1        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
        2        1        4        9        5        3        3        5        9        4        1
        3        1        8        5        9        4        7        2        6        3        10
        4        1        5        4        3        9        9        3        4        5        1
        5        1        10        1        1        1        10        10        10        1        10
        6        1        9        3        4        5        5        4        3        9        1
        7        1        7        9        5        3        8        6        2        4        10
        8        1        3        5        9        4        4        9        5        3        1
        9        1        6        4        3        9        2        8        7        5        10
        10        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1
这是一个将底数按照由小到大的规则顺序排列，所得到的一个剩余方阵，所以这是一个常规剩余方阵。它的显著特点是，所有的奇次剩余都以中心位置而两两加法互逆，所有的偶次剩余都以中心位置而两两等同。但是，在这个常规剩余方阵里，它们的行与列之间的一一对应等同的关系却不易看清的。
其实，在Φ11素数群里，它们的的元素的位置是可以任意排列的，因此只要将一个原根列作为首列，其它各列根据这个首列排列位置，即可得到一个标准的对称方阵。因此有多少个原根，就可以变换出多少个不同的标准对称方阵。下面的这个标准对称方阵，是以原根2作为首列所得到的标准对称方阵。
乘方        底数
        2        4        8        5        10        9        7        3        6        1
方次        1        2        4        8        5        10        9        7        3        6        1
        2        4        5        9        3        1        4        5        9        3        1
        3        8        9        6        4        10        3        2        5        7        1
        4        5        3        4        9        1        5        3        4        9        1
        5        10        1        10        1        10        1        10        1        10        1
        6        9        4        3        5        1        9        4        3        5        1
        7        7        5        2        3        10        4        6        9        8        1
        8        3        9        5        4        1        3        9        5        4        1
        9        6        3        7        9        10        5        8        4        2        1
        10        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1
在这个标准对称方阵里，尽管可以清楚地看到，行与列之间的一一对应等同的关系，但是还看不清楚H10素数环与Φ11素数群之间的同构关系。于是，我们只要将行与列一起交换位置，将其调整为下面的特殊方阵，即可清楚地看到，H10素数环里的各类构成群，正好与Φ11素数群里的各类生成元集合，形成一一对应的关系。
乘方        底数
        2        8        7        6        4        5        9        3        10        1
方次        1        2        8        7        6        4        5        9        3        10        1
        3        8        2        2        7        9        4        3        5        10        1
        7        7        6        6        8        5        3        4        9        10        1
        9        6        8        8        2        3        9        5        4        10        1
        2        4        5        5        3        5        3        4        9        1        1
        4        5        3        3        9        3        9        5        4        1        1
        6        9        4        4        5        4        5        9        3        1        1
        8        3        9        9        4        9        4        3        5        1        1
        5        10        10        10        10        1        1        1        1        10        1
        10        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1
3，原根判别。
高斯在引进原根的概念时，没有对奇素数的原根必定存在予以证明，他仅仅只是给出了一种寻找原根的方法。其实，原根是一个极其重要的概念，具有十分广泛的用途，不管是运用它去解决问题还是研究课题，都能得到事半功倍的效果。因此对于它的必定存在，不能不予以严格证明。然而，要证明素数的原根必定存在却又极其困难，笔者好象找到了一个证明方法，不知是否正确。由于篇幅较长，只能以后再与大家讨论。
高斯所给出的寻找原根的方法是将整个ΦP素数群里的全体元素，犹如大海捞针般的一一逐个予以试算，只要奇素数是一个较大的数，整个运算量就会大得十分惊人。笔者一直在思考，是否能采用判别的方法，不用作繁琐的试算就能查出一个原根来。
笔者设想因为p-1的因子数，与ΦP素数群里各类生成元之间，也是一种一一对应的关系。其中的因子数1始终固定对应着gp-1，因子数p-1始终固定对应着g（p-1）/2，二个乘积为p-1的因子数，它们的原根的指数之和必定为（p-1）/2。
按照高斯的一反二补律，我们又可以立即判别出，其中的那些因子数必定是一个二次剩余。只要根据这些已知条件仔细分析，我们应该就能查出那个恰是原根的因子数。例如在上述实例中，由于2×5=10，所以2和5的原根的指数之和必定为5，再由于5必定是一个二次剩余，所以2必定是一个原根。如果2确是一个原根，则有24≡5（mod 11）。
当p-1只有二个素因子时，这个判别方法非常简捷，然而，当p-1具有多个素因子时，特别是含有素因子幂时，情况也会变得十分复杂，或许只能运用电脑，才能查出这个原根指数为1的因子数。总之，笔者的这个原根判别方法远未成熟，希望大家共同努力予以完善。