已知当 x∈[-1,1] 时｜ax^2+bx+c｜≤1 ，求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

uk702

一个不严谨但感觉对的分析。

首先，f 取得最值的地方有三个点 -1, 1, -b/2a，同样, g 取得最值的地方也有三个点，-1, 1, -b/2c。对于 -1 和 1这两个点，g 和 f 是一样的，故一定也是在 [-1, 1] 之间。

而对于 -b/2c 这个点，若 c>0，函数开口向上，只需考虑最小值（最大值一定在 -1 或 1这两个点上），现在显然无需再考虑 -1 和 1 这两个点了，因此，（想像中）最好的情况应该在 x=0 时取得最值。经检验，g=x^2-2（对应 f=-2x^2+1）是一个选择，g 的最小值为 -2。

因此，答案应该是 [-2, 2]，也就是 C。

好题！赞一个。也没想到台湾的题会这么难。


由于是选择题，结果应该没理由不是一个对称的区间，故 A、D 似可以立马排除。

uk702

同#2，g 的最值有可能为三个点，-1, 1, -b/2c  这三个点，如果是 -b/2c 这个点还需要满足 abs(b/2c) ≤ 1。

由 |f(-1)|  ≤ 1 =〉 |a-b+c| ≤ 1，|f(1) ≤ 1=〉 |a+b+c| ≤ 1，|f(0)| ≤ 1=〉 |c| ≤ 1

如果我们能够证明：
命题：实数 a、b、c 满足 |a+b+c|≤ 1， |a-b+c| ≤ 1 ,  |c| ≤ 1, |b/2c|≤ 1时，|a-b^2/4c| 的最大值 = 2，则问题得以解决。
（计算机按 0.01 的步长遍历验证上述命题是成立的）

uk702

见如图所述。

黄绪励

已知当 x∈[-1,1] 时｜ax^2+bx+c｜≤1 ，求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围

波斯猫猫

思路：（1）当x∈[-1,1]时，令f（x）=ax^2+bx+c，g（x）=cx^2+bx+a。
（2）由条件有｜f（0）｜=｜c｜≤1，｜f（-1）｜=｜a-b+c｜≤1，｜f（1）｜=｜a+b+c｜≤1。
所以，①-1≤c≤1，②-1≤a-b+c≤1，③-1≤a+b+c≤1。由②+③得，④-1≤a+c≤1。
（3）（从此加速）令⑤-r≤c-a≤t（r，t＞0），由④+⑤得，-（r+1）/2≤c≤（t+1）/2,而①-1≤c≤1，从而r=t=1，即-1≤c-a≤1（确界），或｜c-a｜≤1。
（4）由（1）有g（x）=f（x）+（c-a）（x^2-1），
所以｜g（x）｜=｜f（x）+（c-a）（x^2-1）｜≤｜f（x）｜+｜（c-a）｜.｜（x^2-1）｜
≤｜f（x）｜+｜c-a｜≤1+1=2，即｜g（x）｜≤2。
这就是说，当x∈[-1,1]时，g（x）=cx^2+bx+a之值落在区间C，即[-2,2]。

uk702

某书上的证明。

uk702

又某书上的证明。

波斯猫猫

（1）｜1-x0｜≤1→-1≤1-x0≤1→-2≤-x0≤0→0≤x0≤2.

（2）f（x）=ax^2+bx+c，g（x）=cx^2+bx+a都不一定是二次函数。