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已知当 x∈[-1,1] 时|ax^2+bx+c|≤1 ,求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围

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发表于 2014-10-19 08:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


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发表于 2020-11-14 19:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-14 19:44 编辑

一个不严谨但感觉对的分析。

首先,f 取得最值的地方有三个点 -1, 1, -b/2a,同样, g 取得最值的地方也有三个点,-1, 1, -b/2c。对于 -1 和 1这两个点,g 和 f 是一样的,故一定也是在 [-1, 1] 之间。

而对于 -b/2c 这个点,若 c>0,函数开口向上,只需考虑最小值(最大值一定在 -1 或 1这两个点上),现在显然无需再考虑 -1 和 1 这两个点了,因此,(想像中)最好的情况应该在 x=0 时取得最值。经检验,g=x^2-2(对应 f=-2x^2+1)是一个选择,g 的最小值为 -2。

因此,答案应该是 [-2, 2],也就是 C。

好题!赞一个。也没想到台湾的题会这么难。


由于是选择题,结果应该没理由不是一个对称的区间,故 A、D 似可以立马排除。
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发表于 2020-11-14 22:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-14 23:02 编辑

同#2,g 的最值有可能为三个点,-1, 1, -b/2c  这三个点,如果是 -b/2c 这个点还需要满足 abs(b/2c) ≤ 1。

由 |f(-1)|  ≤ 1 =〉 |a-b+c| ≤ 1,|f(1) ≤ 1=〉 |a+b+c| ≤ 1,|f(0)| ≤ 1=〉 |c| ≤ 1

如果我们能够证明:
命题:实数 a、b、c 满足 |a+b+c|≤ 1, |a-b+c| ≤ 1 ,  |c| ≤ 1, |b/2c|≤ 1时,|a-b^2/4c| 的最大值 = 2,则问题得以解决。
(计算机按 0.01 的步长遍历验证上述命题是成立的)





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发表于 2020-11-15 08:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-15 14:25 编辑

见如图所述。

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发表于 2021-2-11 13:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 黄绪励 于 2021-2-12 10:21 编辑

已知当 x∈[-1,1] 时|ax^2+bx+c|≤1 ,求 x∈[-1,1] 时 cx^2+bx+a 的取值范围

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发表于 2021-2-14 11:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2021-2-15 06:37 编辑

思路:(1)当x∈[-1,1]时,令f(x)=ax^2+bx+c,g(x)=cx^2+bx+a。
(2)由条件有|f(0)|=|c|≤1,|f(-1)|=|a-b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1。
所以,①-1≤c≤1,②-1≤a-b+c≤1,③-1≤a+b+c≤1。由②+③得,④-1≤a+c≤1。
(3)(从此加速)令⑤-r≤c-a≤t(r,t>0),由④+⑤得,-(r+1)/2≤c≤(t+1)/2,而①-1≤c≤1,从而r=t=1,即-1≤c-a≤1(确界),或|c-a|≤1。
(4)由(1)有g(x)=f(x)+(c-a)(x^2-1),
所以|g(x)|=|f(x)+(c-a)(x^2-1)|≤|f(x)|+|(c-a)|.|(x^2-1)|
≤|f(x)|+|c-a|≤1+1=2,即|g(x)|≤2。
这就是说,当x∈[-1,1]时,g(x)=cx^2+bx+a之值落在区间C,即[-2,2]。
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