勒让德猜想的证明

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     勒让德猜想的证明
  勒让德猜想：在n^2和(n+1)^2之间至少有两个质数．
在1^2和(1+1)^2之间,即1和4之间,有2,3两个质数
在2^2和(2+1)^2之间,即4和9之间,有5,7两个质数
在3^2和(3+1)^2之间,即9和16之间,有11,13两个质数，
在4^2和(4+1)^2之间,即16和25之间,有17,19,23三个质数
在5^2和(5+1)^2之间,即25和36之间,有29,31两个质数
在6^2和(6+1)^2之间,即36和49之间,有37,41,43,47四个质数
在7^2和(7+1)^2之间,即49和64之间,有53,59,61三个质数
在8^2和(8+1)^2之间,即64和81之间,有67,71,73,79四个质数
在9^2和(9+1)^2之间,即81和100之间,有83,89,98三个质数
π(11^2)-PI(10^2)=30-25==5  
π(12^2)-π(11^2)=34-30=4  
πPI(13^2)-πPI(12^2)=39-34=5
....
[(n+1)^2 / ln((n+1)^2)] - n^2 / ln(n^2)
其中n+1)^2==n^2+2n+1==把n^2增大(2n+1)个数。
素数定理换算成幂与指数形式：设幂为M,指数为m
给定数以内素数的个数约等于幂与该幂指数的比值。
设:n=M,ln(n)=m,n+1=M+1,ln(n+1)=ln(M+1),
有运算法则:数取平方数,等于把指数乘于2。
则:π([M+1]^2]-π[M^2]≈
```[M+1][M+1]````MM  
≈(—————)-(——)   
....2ln[M+1].....2m

```[M+1][M+1]```MM````M````M
≈(—————)-(—-)-(—)+(—)   
...2·ln[M+1]...2m....2m...2m
```[M+1]````[M+1]````M``````M
≈(——-){(———-)-(—)}+(—-)   
.....2.....ln[M+1]...m.....2m
≈0.5(M+1){[π(M+1)]-[π(M)]}+0.5[π(M)]
其中:{[π(M+1)]-[π(M)]}等于{合数型(M+1)时为0,素数型(M+1)时为1}
其中:0.5(M+1){0或1}约等于{零或一半的(M数)}
公式表示:n^2 到 (n+1)^2之间,至少有一半的[M数内的素数个数]个。
(n+1)为素数时,还要多一半的(M数)个。小M,误差大。大M,误差小。
一半的[M数内的素数个数]是个增函数，所以勒让德猜想成立。
π[M^2]-π([M-1]^2]≈
````MM````[M-1][M-1]  
≈(——)-(—————)   
....2m.....2ln[M+1]

````MM````M````[M-1][M-1]```M  
≈(——)-(—)-(—————)+(—)   
....2m....2....2·ln[M+1]...2
```[M-1]```M````[M-1]```````M
≈(——-){(—)-(———-)}+(—-)   
.....2.....m...ln[M+1].....2m
≈0.5(M-1){[π(M)]-[π(M-1)]}+0.5[π(M)]
其中:{[π(M)]-[π(M-1)]}等于{合数型(M)时为0,素数型(M)时为1}
其中:0.5(M-1){0或1}约等于{零或约一半的(M数)}
公式表示n-1)^2 到 (n^2)之间,至少有一半的[M数内的素数个数]个。
(M)为素数时,还要约多一半的(M数)个。小M,误差大。大M,误差小。
一半的[M数内的素数个数]是个增函数，所以勒让德猜想成立。
不大的数,用素数定理求素数个数误差大,用素数定理推导的本公式也一样。公式是个有些误差的公式，但内含规律是确切的，可相信推导。
    青岛 王新宇
      2009.5.29

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[这个贴子最后由qdxy在 2009/06/02 08:37am 第 1 次编辑]

        素数定理的深入开发(20090530续）
   素数定理:数内的素数个数约为数与自然对数倒数的积。π(N)≈N/LnN
实际情况(N/LnN)约为区域大小等于数N的区域界限内的素数个数,等效于把首N
区域移大些,“π(N)≈N/LnN”应该是π(N)≈π(N+a)-π(a)≈N/LnN
素数前密后疏,即:π(N)>π(N+a)-π(a),要减少误差,该把分母减少点,或把分
子增大点。数内的实际素数个数接近{数与(把其自然对数减少一点)的倒数的
积}。π(N)→N/(LnN-1_)。
   素数定理深入开发中可利用的估算公式:
(一)利用:数内的素数个数约为一半的{平方根数与(平方根数内素数的个数)的
积}。可用已知的小区域内的素数个数求解将区域扩大后的数内的素数个数。
π(N)≈N/LnN=(0.5)(√N)[(√N)/Ln(√N)]≈(0.5)(√N)[π(√N)]
(二)利用:数内的实际素数个数约为两倍的{数与(数的平方数的自然对数)倒数
的积}。可用较精确的大区域的素数个数公式求解其内含数内的素数个数。
π(N)≈N/LnN==2N/Ln(N^2)=(2/N)[(N^2)/Ln(N^2)]≈(2/N)[π(N^2)]
(三)利用大(LnN)时,1-(2/Ln(N)≈√[1-(4/Ln(N)]的近似公式推出的
增加了修正量{2/[1+√(1-4/LnN)]}的素数个数公式:
N/(LnN-1)=N/{[Ln(N)/2]+[Ln(N)/2]-[Ln(N)/Ln(N)]}  
=2N/{Ln(N)·[1+1-(2/Ln(N))]}
={2/[1+√(1-4/LnN)]}·N/{Ln(N)
大数的素数个数的求解公式中，该公式简单，误差小。
(四)利用{(1-√(1-(4/LnN))/2}{(1+√(1-(4/LnN))/2}
==(0.25){1-1+(4/LnN)}==1/LnN。
π(N)≈(0.5){1-√(1-(4/LnN)}N,
该公式更简单，误差不大。
(五)利用π([M+1]^2]-π[M^2]≈
≈0.5(M+1){[π(M+1)]-[π(M)]}+0.5[π(M)]
π[M^2]-π([M-1]^2]≈
≈0.5(M-1){[π(M)]-[π(M-1)]}+0.5[π(M)]
区域上界数是合数时，区域内素数个数约为比下界数平方根数更小的素数的个
数的一半。区域上界数是素数时，素数个数,还要约多(一半的平方根数)个。
区域大小等于(2N+1),可换算为:N平方数处,大小等于N的邻近区域内素数个数
。
利用等于N的区域内素数个数公式的解作参数,继续同步修正素数定理的误差。
素数定理深入开发采取的方式:
把自然对数称呼为素数平均间隔(简称素间隔)。
(一)把自然对数减一数，改为乘以接近一的小数。
有:数内的实际素数个数接近{数与(自然对数同步减少)的倒数的积}。即：把
自然对数减小，改成乘以同步接近1的小数,称为素数间隔缩小量。
(数-素数个数)/数≈数/{素间隔·素数个数}
设：素隔缩小量为“数内合数个数/数=1-素数个数/数"，
素隔缩小量求解公式为:
1-{(0.5){1-√(1-(4/LnN)}N}/N=1-(0.5)+(0.5)√[1-(4/LnN)]
==0.5+0.5√[1-(4/LnN)],素数个数公式如下:
```````````N````````````1
π(N)≈-------·------------------------
.......[Ln(N)]...{0.5+0.5√[1-(4/LnN)]}
(二)修正量为：2比大于1的数。等于2/[1+√(1-4/LnN)]
有:数内的实际素数个数接近{增大一点的数与自然对数倒数的积}
即:修正量中分子增大的数比分母增大的数微大一点。
设：修正量为{数/数内合数个数}={2/[1+√(1-4/LnN)]}，
`````````2````````````````N
π(N)≈---------------·------
.......[1+√(1-4/LnN)]..Ln(N)
(三)有:让分子增大的数(取全数N)稍大于分母增大的数(取合数)
`````````数``````````````N
π(N)≈--------------·------==公式(一)==公式(二)
.......[N-估算π(N)]...Ln(N)
大数时,有[数-估算π(N)]≈数的平方/[素数个数·素间隔]
(四)有:数内的实际素数个数接近{增大一点的数与(自然对数倒数)的积}。
由：π(N)≈N/(LnN-1)
知：π(N)(LnN)-π(N)≈N
即:π(N)(LnN)≈π(N)+N
有:π(N)≈[N+π(N)]/LnN=[N+(N/LnN)]/LnN=(N/LnN)+(N/(LnN)^2)
实际素数个数(素间隔减小点)等效于把数增大素数个数个,素间隔原样。
由π(N)≈N/(LnN-1)推出,“π(N)(LnN)≈N+π(N)”
大数时,有[数+估算π(N)]≈[素数个数·素间隔]
````````N```````````N
π(N)≈------+----------
.......Ln(N)....[Ln(N)}^2
[数+估算π(N)]≈[素数个数·素间隔]
[数-估算π(N)]≈数的平方/[素数个数·素间隔]
得:数的平方-估算π(N)的平方≈数的平方数
或许需素间隔取[Ln(N-估算π(N)],
素数个数≈[数+n]/Ln(N-n)≈n=估算得的素数个数。
“森蓝”发现：[N+n]≈[素数个数·对应(N-n)的素数间隔]
   青岛  王新宇
    2009.5.30
注：一个“+”误写成“·”，登录改错一直失败，晚改了两天。
这个符号，是两筛法的重要关口，
“对数2次幂的倒数”可以用“两个1次幂的数相减”替换。
多么重要的发现啊！！

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          孪生素数个数分布 新公式
孪生素数T(x)=1.32032*[Li(x)-x/lnx]
T(x)=2(0.660161815846869573927812…)[Li(x)-x/lnx]
T(x)=(1.320323631693739147855624…)[Li(x)-x/lnx]
孪生质数常数＝0.660161815846869573927812…,(沙先生提出)
Li(x)-x/lnx________T(x)____________1.32032*[Li(x)-x/lnx]___误差
1.6________________2_______________2.1_____________________1.0939215483
8.2________________8_______________10.9____________________1.3674019353
32.2_______________35______________42.5____________________1.2160212348
160.2______________205_____________211.5___________________1.0321926543
943.1______________1224____________1245.2__________________1.0173263669
6244.5_____________8169____________8244.8__________________1.0092853775
44497.3____________58980___________58750.6_________________0.9961120788
333527.9___________440312__________440363.6________________1.0001173203
2594291.5__________3424506_________3425295.0_______________1.0002304101
20761132.0_________27412679________27411337.9______________0.9999510785
169934746.3________224376048_______224368244.2_____________0.9999652204
1416743454.7_______1870585220______1870554718.1____________0.9999836940
11992967422.8______15834664872_____15834554747.7___________0.9999930454
102838623524.9_____135780321665____135779891412.4__________0.9999968313
891606015070.2_____1177209242304___1177205253817.5_________0.9999966119
7804293059023.6____10304195697298__10304164211690.1________0.9999969444
68883742650516.8___90948839353159__90948583096330.3________0.9999971824
612483092843091.2__808675888577435_808673677142590.1_______0.9999972654  
作者：高斯的奴僕 2009.5.31

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  百度上的贴文：
质数定理:兀(x)/x=1/ln(x),已经由许多人提出证明
n^2以内的质数个数为
兀(n^2)/n^2=1/ln(n^2)
兀(n^2)=n^2/ln(n^2)
(n+1)^2以内的质数个数为
兀[(n+1)^2]/(n+1)^2=1/ln[(n+1)^2]
兀[(n+1)^2]=[(n+1)^2]/ln[(n+1)^2]
则自然数n^2到(n+1)^2之间的质数个数为
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)
=[(n+1)^2]/ln[(n+1)^2]-n^2/ln(n^2)
=[(n+1)^2]/2ln(n+1)-n^2/2ln(n)
=[(n+1)/2][(n+1)/ln(n+1)]-(n/2)[n/ln(n)]
=[(n+1)/2][(n+1)/ln(n+1)]-[(n+1)/2][n/ln(n)]+
(1/2)[n/ln(n)]
用兀(n+1)=(n+1)/ln(n+1)和兀(n)=n/ln(n)取代上式
=[(n+1)/2][兀(n+1)]-[(n+1)/2][兀(n)]+(1/2)[兀(n)]
=[(n+1)/2][兀(n+1)-兀(n)]+(1/2)[兀(n)]
观察兀(n+1)-兀(n)可发现相邻的两个自然数的质数差,不是0就是1
假若兀(n+1)-兀(n)=0
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=(1/2)[兀(n)]
假若兀(n+1)-兀(n)=1
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=[n+1+兀(n)]/2
故两个结果都证明n^2到(n+1)^2之间必定有一个质数
n=1的情况适用兀(2)-兀(1)=1
即兀[4]-兀(1)=[1+1+兀(1)]/2=[1+1+0]/2=1,结果
符合n^2到(n+1)^2之间必定有一个质数
实际:兀(1)=0，兀(4)=2，
所以1^2～(1+1)^2之间有2个质数
  上方的证明是用许多"数学家"所证明的质数定理来证明,如果上面证明有误,
则说明质数定理错误,请问上方的证明的对错。
作者：高斯的奴僕
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高斯的奴僕的续文：
观察兀(n+1)-兀(n)可发现相邻的两个自然数的质数差,不是0就是1
这句话的出现,应该可以说是观察法,要证明也很简单
(1):连续(相差1)两自然数不可能同为质数
(2):n为质数,n+1为合数:
设n为第m个质数,则兀(n)＝m,若第(m+1)个质数为A时,
则兀(n)＝兀(n+1)＝兀(n+2)＝...＝兀(A-1)=m
但兀(A)=m+1
此时兀(n+1)-兀(n)＝m-m=0
(n和n+1都为合数属於此情形,不用祥述)
(3):n为合数,n+1为质数:
设n+1为第k个质数,则兀(n+1)＝k,若第(k-1)个质数为B时,
则兀(n)＝兀(n-1)＝兀(n-2)＝...＝兀(B+1)=k-1
此时兀(n+1)-兀(n)＝k-(k-1)=1
故兀(n+1)-兀(n)非0即1,
请问甘先生说的“假若兀(n+1)-兀(n)=1
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=[n+1+兀(n)]/2 ”是哪个情形？
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高斯的奴僕的续文：
该证明是有些诡异
(1):用质数定理所推得的式子可以证明勒让德猜想,因为验证
兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=[n+1+兀(n)]/2的值普遍都大於1个质数。
(2):甘先生用实际n^2到(n+1)^2区间的质数个数值验证兀[(n+1)^2]-兀(n^2)
=[n+1+兀(n)]/2的值太大。
推论是,质数定理,只是非常模糊的说明质数的分布,却无法100％去说明质数的
分布,有非常大的误差,导致由它推得的式子兀[(n+1)^2]-兀(n^2)=[n+1+兀
(n)]/2也有误差,
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弯国强贴文 用反证法证明：
假设n²和(n+1)²之间 没有质数
根据假设,那么
1² 和2² 之间没有质数
2² 和3² 之间没有质数
........................
n²和(n+1)²之间 没有质数
即:
兀(2²)－兀(1²)＝０
兀(3²)－兀(2²)＝０
........................
兀((n+1)²)－兀(n²)＝０
n式相加兀((n+1)²)－兀(1²)＝０
兀((n+1)²)＝兀(1²)＝０
又因为((n+1)²≥n
兀((n+1)²)≥兀(n)≥0
故兀(n)＝０
这与兀(n)有不等于0的取值矛盾。
故假设不成立。
所以n²和(n+1)²之间至少有一个质数。
此方法受高斯的奴仆启发，尽管他不认为我的证明正确，在此还是要谢谢他的
。他使我的证明变得更加简捷完美。
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    青岛 王新宇
    2009.6.7