施承忠筛法理论

小草

                                    施承忠筛法理论
                              一施承忠筛法的一般定义
                                                  k                                                                     k
        令p1<p2<p3<...<pk是所有不大于pk的素数，mk=Πpi ,从不大于mk的mk个正整数中筛去一切整除mk的素数的r个同余类是φ(qr,mk)=mkΠ1-（r/pi)  (但我们规                          
                                                i=1                                                                   i=1
定当pk≤r时,pk-t=1,因为我们至少要剩下一个剩余类，否则筛法就没有意义.)
                                n                       0    当n是剩余数时                                          
        我们建立一个函数Θ(qr,n)=Σ1/(lnn)^s,n是正整数s={                     则当n=mk时Θ(qr,mk)=  Σ 1/(qr)^0
                               n=1                      ∞   当n被筛掉时                        （qr≤mk)
                                                                                               (qr是剩余数)                                                                                
                                                        0    当n被筛掉时
                                      在Θ(gr,n)中, s={                     则当n=mk时Θ(gr,mk)=  Σ 1/(gr)^0
                                                        ∞   当n是剩余数时                      （gr≤mk)
                                                                                               (gr是被筛数)                                       
    因此有Θ(qr,mk)+Θ(gr,mk)=mk
       当k固定时，Θ(qr,mk）是一个周期函数,令T是一个任意正整数，则当n=Tmk时Θ(qr,Tmk)=TΘ(qr,mk).只有当k=k+1时才有Θ(qr,mk+1)=Θ(qr,mk)((pk+1)-r).
                                                                                     n
                                                                                    n=1
       命πr(n)为在不大于n的所有整数中筛去所有pt≤n^0.5的r支同余类的剩余数，当pt≤r时至少要剩下一支同余类.
                             n                        0    当n是剩余数时                                          
       我们建立一个函数πr(n)=Σ1/（lnn)^s,n是正整数s={                     Θ(πr,n)=  Σ 1/(qπr)^0
                            n=1                       ∞   当n被筛掉时               （qπr≤n)
                                                                                   (qπr是剩余数)                                                                                
                                                      0    当n被筛掉时
                                      在 gr(n)中, s={                     Θ(gπr,n)=  Σ 1/(gπr)^0
                                                      ∞   当n是剩余数时             （gπr≤n)
                                                                                   (gπr是被筛数)
    所以有πr(n)+gr(n)=n                                         

                                        二关于Θ(qr,mk）和πr(n）函数的级数分析
                                                                                                                  
        Θ(qr,mk）和πr(n）函数的级数分析是一个非常优秀的分析工具，它利用算术基本定理得到Θ(qr,mk）和πr(n）的一个指数形式的级数表达式
            n
     G(s,n)=Σ1/（lnn)^s.
            n=1            
        由G(s,n),当s=0时，G(0,n)=n.我们取s≥0是实数，那么存在一个s=λr时使得G(λr,mk)=Θ(qr,mk).s=λπr时使得G(λπr，n)=πr(n).
                                  定理一
        如果当k=k0时有G(λr,mk)<Θ(qr,mk),那么limΘ(qr,mk)>G(λr,mk),这将是没有条件的.
                                             k→∞
         证：
        因为我们的零点是有筛法规则得到的，在G(λr,mk0）中任意一项的积分1/(lnn)^λr是由λr来决定的，λr愈大它的积分值愈小,而它的和函数G(λr,n)是由n来决定的，n愈大，它的项数愈多，积分值就愈大.根据算术基本定理n总可以表示成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3***pt^at.如果k=k0时我们有G(λr,mk0)<Θ(qr,mk0），那么一定有 k=h<k0时G(λr,mh)>Θ(qr,mh)，这时我们只要加大λr使t>λr就能得到G(t,mh)<Θ(qr,mh），这就说明G(t,mk0)<G(λr,mk0),当k=k1>k0时就有                G(t,mk1)<G(λr,mk1)<Θ(qr,mk1).
         证毕.
                                  定理二
          如果当k=k0时有G(λπr,n)<πr(n),那么limπr(n)>G(λπr,n),这将是有条件的,这个条件就是必须是在同一同余下进行，或者当n2-n1相当大时
                                            n→∞
譬如n1=mk,n2=m(k+1).
          证：
        在同一同余下,适用定理一.因为同余不同就有一个分布不同的差距问题,但当n2-n1相当大时pt>pk时它们分布不同的差距将会变得很小，它们对积分的影响将会很小，定理一将不受影响.
         证毕.

                                  定理三
                                          n
         存在一组实数γ1>γ2>γ3>...>γn使得Σ 1/(lnn)^γn=πr(n)
                                          n=1  
         证;
                                                                      n
       因为πr(n)总可表示为n/μ，μ为实数,那么只要(lnn)^γn = μ则πr(n)=Σ 1/(lnn)^γn,但ln1<1，ln2<1,所以我们必须使1/(ln1)^γ1=0,1/(ln2)^γ2=0.
                                                                      n=1
                                                                  n
因此我们只要将n/μ=πr（n)改成n-2/μ0=πr（n)就可以了, 所以有πr（n)=Σ 1/n^γn.
                                                                 n=1

          证毕.

                                  定理四
          存在一个实数s=λ,γu<λ<γu-f,使得n=mk时,G(λπr,n)=πr(n)
          证;
                                                  mk
        根据定理三存在一组实数γ1>γ2>γ3>...>γn使得Σ 1/（lnn)^γn=πr(n).当r和n固定时，πr(n)是一个常数，所以一定存在一个实数s=λ,γu<λ<γu-f,            
                                                  n=1
使得G(λπr,n)=πr(n).
          证毕.

                                 定理五
         命πr(n)=n/(lnn)^γrn ,πr(n)=G(λπr,n),且存在一组整数n1<n2<n3<,<,<nh  (h=1,2,3,...)使γrn1<γrn2<γrn3<,<,<,γrnh,
λπr1>λπr2>λπr3>,>,>,λπrh,则当h趋向无穷时就有n/(lnn)^Ar<πr（n)<G(Ar,n).
          证：
         有定理三πr(n)=n/(lnn)^γrn ，有定理四γu<λ，所以有limγu=λ=Ar,但n/(lnn)^Ar<G(Ar,n).
                                                          h→∞
          证毕.
                     作者施承忠      2009.5.24