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[watermark] 施承忠筛法
一施承忠筛法的一般定义
k k
令p1<p2<p3<...<pk是所有不大于pk的素数，mk=Πpi ,从不大于mk的mk个正整数中筛去一切整除mk的素数的r个同余类是φ(qr,mk)=mkΠ1-（r/pi) (但我们规
i=1 i=1
定当pk≤r时,pk-t=1,因为我们至少要剩下一个剩余类，否则筛法就没有意义.)
n 0 当n是剩余数时
我们建立一个函数Θ(qr,n)=Σ1/n^s,n是正整数s={ 则当n=mk时Θ(qr,mk)= Σ 1/q^0
n=1 ∞ 当n被筛掉时 （qr≤mk)
(qr是剩余数)
0 当n被筛掉时
s={ 则当n=mk时Θ(gr,mk)= Σ 1/g^0
∞ 当n是剩余数时 （gr≤mk)
(gr是被筛数)
因此有Θ(qr,mk)+Θ(gr,mk)=mk
当k固定时，Θ(qr,mk）是一个周期函数,令T是一个任意正整数，则当n=Tmk时Θ(qr,Tmk)=TΘ(qr,mk).只有当k=k+1时才有Θ(qr,mk+1)=Θ(qr,mk)((pk+1)-r).
n
在Θ(qr,n)中我们令s=1就是著名的欧拉ζ函数.命ζ(1,n)表在ζ(1)中n=n时的和式，Ξ(n)表Σn-1/n,则mk=ζ(1,n)+Ξ(1,n).
n=1
二关于Θ(qr,mk）函数的级数分析
n
Θ(qr,mk）函数的级数分析是一个非常优秀的分析工具，它利用算术基本定理得到Θ(qr,mk）的一个指数形式的级数表达式ζ(s)=Σ1/n^s.
n=1
n
由欧拉ζ函数ζ(s)=Σ1/n^s,当s=0时，ζ(s)=n.在欧拉ζ函数中s≥1是整数.我们现在取s≥0是实数，那么存在一个s=λ使得n=mk时,ζ(λ,mk)=Θ(qr,mk).
n=1
定理一
如果当k=k0时有ζ(λ,mk)<Θ(qr,mk),那么limΘ(qr,mk)>ζ(λ,mk),这将是没有条件的.
k→∞
证：
因为我们的零点是有筛法规则得到的，在ζ(λ,mk0）中任意一项的积分1/n^λ是有λ来决定的，λ愈大，它的积分值愈小,而它的和函数ζ(λ,n)是由n来决定的，n愈大，它的项数愈多，积分值就愈大.根据算术基本定理n总可以表示成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3***pt^at.如果k=k0时我们有ζ(λ,mk0)<Θ(qr,mk0），那么一定有 k=h<k0时ζ(λ,mh)>Θ(qr,mh)，这时我们只要加大λ使t>λ就能得到ζ(t,mh)<Θ(qr,mh），这就说明ζ(t,mk0)<ζ(λ,mk0),当k=k1>k0时就有 ζ(t,mk1)<ζ(λ,mk1)<Θ(qr,mk1).
证毕.
定理二
mk
存在一组实数γ1>γ2>γ3>...>γn使得Σ 1/n^γn=Θ(qr,mk)
n=1
证;
mk
因为Θ(qr,mk)总可表示为mk/μ，μ为实数,那么只要n^γn = μ则Θ(qr,mk)=Σ 1/n^γn,但1^γ1不管γ1是何数它始终是1，所以我们必须使
n=1
mk
mk/μ=Θ(qr,mk)-1,则除n=1外都有n^γn =μ 所以Θ(qr,mk)=Σ 1/n^γn.
n=1
证毕.
定理三
存在一个实数s=λ,γu<λ<γu-f,使得n=mk时,ζ(λ,mk)=Θ(qr,mk)
证;
mk
根据定理二存在一组实数γ1>γ2>γ3>...>γn使得Σ 1/n^γn=Θ(qr,mk).当r固定时，因为Θ(qr,mk)是一个常数，所以一定存在一个实数s=λ,γu<λ<γu-f,
n=1
使得n=mk时,ζ(λ,mk)=Θ(qr,mk).
证毕.
定理四
存在一组实数λh>λh+1>λh+2>...>λk使得ζ(λk,mk)=Θ(qr,mk)
证;
mk
有定理二我们知道Θ(qr,mk)=Σ 1/n^γn，所以当r固定时一定存在一个λk使得Θ(qr,mk)=ζ(λk,mk) .因为Θ(qr,mk+1)=Θ(qr,mk)((pk+1)-r)=
n=1
ζ(λk,mk)((pk+1)- r), 又因为1/mk >1/m(k+1),当k>u时ζ(λk,mk+1)<Θ(qr,mk+1)=ζ(λk+1,mk+1), 所以λk>λk+1,于是命题得证.
证毕.
定理五
mk
存在一组实数η1>η2>η3>...>ηn使得Σ 1/lnn^ηn=Θ(qr,mk)
n=1
证：
mk
由定理二知γ1>γ2>γ3>...>γn，除n=1外都有n^γn =μ.又lnn=n^s,则lims=0.所以我们只要令μ=(lnn)^ηn，就使得Σ1/(lnn)^ηn=
n→∞ n=1
Θ(qr,mk),(但我们规定1/(ln1)^η1=0,1/(ln2)^η2=0).
证毕.
定理六
mk
存在一个h>λ使得Θ(qr,mk)=Σ1/(lnn)^h
n=1
证：
在定理三中存在一个实数s=λ,γu<λ<γu-f,使得n=mk时,ζ(λ,mk)=Θ(qr,mk).由lnn<n,所以h>λ.
证毕.
定理七
mk
存在一组实数vh>vh+1>vh+2>vh+3>...>vk,使得Θ(qr,mk)=Σ1/(lnn)^vk
n=1
证：
mk
有定理六存在一个h>λ使得Θ(qr,mk)=Σ1/(lnn)^h,又有定理六存在一组实数λh>λh+1>λh+2>...>λk使得ζ(λk,mk)=Θ(qr,mk).在这里我
n=1
们只是将n换成了lnn,定理仍然成立.这就证明了我们的定理.
定理八
存在一组实数hu>hu+1>hu+2>hu+3>...>hk,使得Θ(qr,mk)=mk/(lnn)^hk,且limhk=0.
k→∞
证：
mk
令定理七的和式Θ(qr,mk)=Σ1/(lnn)^vk=mk/(lnn)^hk,因为limvk=0,而hk=γmk<vk,所以limhk=0.
n=1 k→∞ k→∞
证毕.
定理九
存在一个hk，使得mk/Θ(q,mk)=(lnn)^hk
证：
根据定理八Θ(qr,mk)=mk/(lnn)^hk，所以有mk/Θ(qr,mk)=(lnn)^hk.
证毕.
定理十
存在一个和式ζ(λ,mk)=Θ(q,mk)=(mk)^v.limv=1
k→∞
证:
因为ζ(λ,mk)=Θ(q,mk).所以必有Θ(q,mk)=(mk)^v,而根据定理二limv=1.
k→∞
证毕.
四应用
到现在为止我们还只是讨论了Θ(qr,mk)的筛法形式，但是我们真正的目的是要弄清Θ(πr,mk)的情况，筛去所有素数的r个同余后的一种数学表达式.但是它与上面的定理有着非常密切的联系.我们去计算ζ(λ,n)=Θ(πr,mk)是不切合实际的，因为它的计算是非常麻烦的，对于一个不算大的数，我们用计算机编程的方法也是可以容易得到的.在定理三中我们讲到;如果当k=k0时有ζ(λ,mk)<Θ(qr,mk),那么limΘ(qr,mk)>ζ(λ,mk),这将是没有条件的,但在π(n),H(n),D(n),π3(n)中，它
k→∞
是有条件的,它的条件就是必须在0<n≤mk中找出一组有用的递减或递增的数列，而不能随便.下面的方法是比较有用的.
定理十一
当n>210时π(n)>n^0.6
证：
根据定理三，存在一个λ使得ζ(λ,mk）<Θ(qr,mk),对于π(n）也不失一般性，我们有π（210)> ζ(0.4，210).表π（210）>210/210^h,则h<0.4, 表π（210)>210^u,则u>1-0.4=0.6.
π(210)=46
ζ(0.4，210)=39.95145716
210^0.6=24.73611987
证毕.
定理十二
π(n)>n/(lnn)^1.1
证：
适用于定理六,我们有
210
G(1.1,210)=Σ 1/n^1.1,表π(n）=n/(lnn)^h,则h<1.1.
n=1
π(210)=46
G(1.1,210)=43.75344209
210/(ln210)^1.1=33.21149955.
证毕.
定理十三
n/π(n)<(lnn)^1.1
证:
由定理十二就得此定理.
210/π(210)=4.565217391.
(ln210)^1.1=6.323111057.
证毕.
定理十四
当n>210时,H(n)>n^0.25
证：
适用于定理十一，我们有H(210)>ζ(0.75,210)
H(210)=15
ζ(0.75,210)=11.79478921
210^0.25=3.806754096
证毕.
定理十五
当n>210时,H(n)>n/(lnn)^2
证：
适用于定理六,我们有H(210)>G(2,210)
H(210)=15
G(2,210)=13.83666814
210/(ln210)^2=7.344825107
证毕.
定理十六
当n>210时,n/H(n)<(lnn)^2
证：
由定理十五可以推得.
210/H(210)=14
(ln210)^2=28.59155895
证毕.
定理十七
命D(n)表不大于n的n=p1+p2 (p1,p2是素数）的素数对的对数.则当n>2672时,D(n)>ζ(1,n)
证：
12≤n≤30
D(n)≥1<ζ(1,n)
68≤n≤210
D(n)≥2<ζ(1,n)
332≤n≤2310
D(n)≥6<ζ(1,n)
2672≤n≤30030
D(n)≥28>ζ(1,n)
ζ(1,30030)<11.30995216
证毕.
定理十八
当n>33038时,D(n)>n^0.5
证：
D(12)=1=12^0
D(68)=2=68^0.164272050
D(332)=6=332^0.308650785
D(2672)=28=2672^0.422301458
D(33038)=223=33038^0.519649860
证毕.
定理十九
当n>332时D(n)>G(3,n)
证：
12≤n≤30
D(n)≥1<G(n)
G(3,12)=2.104044193
68≤n≤210
D(n)≥2<G(n)
G(3,68)=3.441907874
332≤n≤2310
D(n)≥6>G(n)
G(3,332)=5.386232417
证毕.
定理二十
当n>12时D(n)>n/(lnn)^3
证：
12≤n≤30
D(n)≥1>n/(lnn)^3
12/(ln12)^3=0.782079696
68≤n≤210
D(n)≥2>n/(lnn)^3
68/(ln68)^3=0.905156261
证毕.
定理二十一
当n>12时,n/D(n)<(lnn)^3
证：
12≤n≤30
D(n)≥1
n/1<(lnn)^3
(ln30)^3=39.34553982
68≤n≤210
D(n)≥2
n/2<(lnn)^3
(ln210)^3=152.8821401
332≤n≤2310
D(n)≥6
n/6<(lnn)^3
2310/6=385
(ln2310)^3=464.5845231
证毕.
定理二十二
命π3(n)表n=p1+p2 (p1,p2是素数，p1<p2,p1+6是素数）的素数对的对数.则π3(n)>ζ(2,n)
证：
62≤n≤210
π3(n)≥1>ζ(2,n)
543≤n≤2310
π3(n)≥3<ζ(2,n)
ζ(2,∞)=1.644934067
证毕.
定理二十三
π3(n)>G(4,n)
62≤n≤210
π3(n)≥1<G(4,n)
G(4,210))=2.122830140
543≤n≤2310
π3(542)=3<G(4,542)
G(4,542)=2.403377238
证毕.
定理二十四
n>182,π3(n)>n^0.13
证：
π3(62)=1=62^0
π3(182)=182^0.133194905
π3(542)=542^0.174514037
证毕.
定理二十五
n>62,π3(n)>n/(lnn)^3
证：
π3(62)=1=62/(ln62)^2.911387534
π3(182)=2=182/(ln182)^2.734800909
π3(542)=3=542/(ln542)^2.824578531
证毕.
作者施承忠 2009,5,16
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发表于 2009-5-16 16:16
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