[原创]一个并不复杂的问题，却被研究成了世界难题——它就是《歌德巴赫猜想》

愚工688

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[watermark]一个并不复杂的问题，却被研究成了世界难题——它就是《歌德巴赫猜想》
任意一个大于5的偶数M，都能分成两个素数吗？这个问题的证明即是著名的《歌德巴赫猜想》。
许多中外数学家们对于此问题做了研究，大家看到过的报道:某某数学家验证了偶数从6到几万，歌德巴赫猜想是成立的。……
我国的一些数学家对于《歌德巴赫猜想》的研究结果，有：潘承洞证明了“1 + 5”，王元证明了“1 + 4”，到1966年，陈景润证明了 “1 + 2 ”等等。
我认为单单验证了偶数从6到多少万时歌德巴赫猜想是成立的是无聊的，因为偶数是无穷的，我们需要的是发现——把偶数分成两个素数有什么规律；
而上述的1+9、1+8、……、1+2等关于《歌德巴赫猜想》问题的论述，无一例外的把一个偶数M所分成的两个数x与M-x分别地进行讨论了。在轻易确定“1”所代表的素数x后，对“M-x”这个余下的数的判断就变得复杂起来，尤其是对于大偶数M。而这些论述其实与“一个偶数能否分成两个素数”的命题的关系只是风马牛而已，基本是不相干的。
中国青年报2002年1月28日（记者张东操）文中写道:中科院数学与系统科学研究院权威人士表示，经过多年探索，目前世界数学界公认，利用现有的数学理论及工具根本无法论证“歌德巴赫猜想”，要想解决必须寻找到新的理论和工具。“歌德巴赫猜想”是描述整数之间关系的一个猜想，但其论证必须跳出整数的范围。许多对其跃跃欲试的人，都仍然视其为整数问题，把世界难题简单化了……
而我要说的是：不要把《歌德巴赫猜想》捧成“皇帝的新衣”那样的耀眼，数学模式的选错使得《歌德巴赫猜想》成了世界难题。《歌德巴赫猜想》被数学家们复杂化了！
分析了偶数M拆分成x+（M-x）这个模式的上述问题，再来看看偶数M拆分成两个整数A-x与A+x的模式（显然 A=M/2），我们只研究 x在什么情况下能够使得A-x与A+x都成为素数。
1.偶数M分成两个素数的条件与分法数目S(m)
素数的定义：一个大于1的自然数，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数。
而常常用Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）来判断素数——x不能被≤√x的所有素数整除即”为素数。
因此，可以用≤√(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r （r为其中最大的素数，下面均同）来判断A-x 与 A+x 是否都是素数，得到如下2个条件：
条件a ：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数；
条件b：A+x不能够被上述这些素数整除，而A-x能被某素数整除但商为1，两个数也都是素数；
若把偶数M的符合条件a的x值在区间[0，A-3]个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
S(m)=S1(m)+S2(m) ；  {式1}
就这样依据上面的两个条件，我们可以轻易地得到偶数M分成两个素数的全部分法。
  2. 满足条件a 的x值的数量的计算
而要满足条件a ，则可看成变量x符合某种由A所决定条件的数，把A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数记为I2,I3,…,In,…，Ir，则
偶数M在[6，10]时，变量x除以素数2满足不等于I2就使得A-x与A+x同时不能够被2整除，因而它们都是素数；
偶数M在[12，26]时，变量x除以2，3时的余数满足不等于I2，I3及(3－I3)就使得A-x与A+x同时不能够被2，3整除，因而它们都是素数；
偶数M在[28，7*7+1]时，变量x除以2，3，5时的余数满足不等于I2，I3及(3－I3)，I5及(5－I5)就使得A-x与A+x同时不能够被2，3，5整除，因而它们都是素数；
偶数M在[7*7+3，11*11+1]时，变量x除以2，3，5，7时的余数满足不等于I2，I3及(3－I3)，I5及(5－I5)，I7及(7－I7)就使得A-x与A+x同时不能够被2，3，5，7整除，因而它们都是素数；
……
显然，偶数M越大，只是依据埃氏筛法而需要用越来越多的素数来判定A-x 与 A+x 是否都是素数罢了。
而变量x的取值范围[0，A-3] ，实际是一个自然数的区间：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，……，A-3；无论偶数M有多么大，它始终是从零开始的一个与偶数对应的区间，因此筛选x的方法与素数的判断的埃氏筛法原理基本相似的，并没有特别的复杂。
2.1  在自然数中,除以不同的素数时所得到的余数是相互独立的。
    在任意一个自然数区间里的数：
除以素数2时余数满足不等于I2的数的发生概率为1/2；
除以素数3时余数满足不等于I3及(3－I3)的数的发生概率为f(3)；
除以素数n时余数满足不等于In及(n－In)的数的发生概率为f(n)；
…
除以素数r时余数满足不等于Ir及(r -Ir)的数的发生概率为f(n)；
式中：3≤ n≤r；n是素数.
f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时] 。In系A除以n时的余数。
   在自然数列中，除以素数2，3，…，r时的余数分别以该素数值为一个周期而循环变化，而能够被这些素数整除的自然数分别占1/2，1/3，…，1/r。很明显，小素数在筛除非素数时作用比较大些，而大素数的筛除非素数的作用是越来越微小的。
  依据除以素数2，3时的余数不同，把自然数分为下面六组（以除以6时的余数来划分），来进一步观察：
零组：0，6， 12，18，24, 30，36，42，48，54，60,…
一组：1，7， 13，19，25, 31，37，43，49，55，61,…
二组：2，8， 14，20，26, 32，38，44，50，56，62,…
三组：3，9， 15，21，27, 33，39，45，51，57, 63,…
四组：4，10，16，22，28, 34，40，46，52，58，64,…
五组：5，11，17，23，29, 35，41，47，53，59，65,…
    而在概率事件中，相互独立的事件的发生概率有一个独立事件的乘法原理，即
设有事件A与B，如果
P(A*B)=P(A)*P(B)
那么我们就称事件A与B为互相独立。
...
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。（可以参见有关概率的教科书）
2.2  偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值的数量的概率计算
上面的一个偶数M分成两个素数的条件a，即 x值的数量问题，实际上可归结为一个概率问题：
在一个自然数区间[0，A-3] 里的数，除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
单单从x值除以素数2，3时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)的条件，我们可以发现在上面的自然数分成的六个组中，偶数半值A与x之间的对应关系如下：
零组对应与一组与五组；三组对应于二组与四组。
就是当A值为零组或三组时，x值分别分布在对应的二个组里面，这样的偶数分成两个素数的分法数量一般比相邻的偶数要明显的多。（小偶数时有例外）
而当A值为一组或五组时，x值分布在对应的零组里面；当A值为二组或四组时，x值分布在对应的三组里面。
    我们观察上面所分的六个组，可以发现：任意一组中的整数，除以2，3以外的其它任意一个素数时所得到的余数仍然分别以该素数值为一个周期而循环变化，这个事实说明在自然数列中，除以不同的素数时所得到的余数，其分布情况是相互独立的。
因而符合条件a的x值的分布概率P(m)由独立事件的乘法原理的推广，可得：
P(m)=P(2·3·…·n·…·r)
=P(2)·P(3)·…·P(n)·…·P(r) ；{式2}
故在[0，A-3] 中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值的数量的概率计算值Sp(m)，有：
       Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2)P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)×P(2)×P(3)×…×P(n)×…×P(r)
            =(A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)；{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数.
f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时] 。In系A除以n时的余数。

2.3 实例：
2.3.1    M= 120：A=60，属于上面的零组，则x值对应分布在一组与五组里。
A= 60 ,≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7，A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=0，I3=0，I5=0，I7=4；在[0，57]区间里面同时满足：
除以2的余数不等于0、除以3的余数不等于0、除以5的余数不等于0、除以7的余数不等于4与3的x值的概率计算数量Sp( 120)有  
Sp( 120)=[( 120/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 11.05
实际有 x= : 1 ,7 ,13, 19 ,23 ,29 ,37 ,41, 43 ,47 ,49 ,( 53 )  (括号里面的是满足条件b的值，下同)
代入得到全部的[A-x + A+x ]：
59 + 61 ,53 + 67 ,47 + 73, 41 + 79 ,37 + 83 ,31 + 89 ,23 + 97, 19 + 101 ,17 + 103 ,13 + 107 ,11 + 109,  7 + 113
S(m)= 12 ， S1(m)= 11 ，Sp(m)= 11.05 ，E(m)= 0 ， K(m)= 2.67 ，r= 7

2.3.2    M=  122 ：A=61，属于上面的一组，则x值对应分布在零组里。
   A= 61，≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ， A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=1，I3=1，I5=1，I7=5；就是在零组[0，6， 12，18，24, 30，36，42，48，54]中同时满足：除以5的余数不等1与4、除以7的余数不等于5与2的x值，实际有
x=: 0 ， 18，  42 ， 48
代入得到的[A-x + A+x ]：  61 + 61 ， 43 + 79 ， 19 + 103，  13 + 109
S(m)= 4   ， S1(m)= 4   ， Sp(m)= 4.21  ，  E(m)= .05 ， K(m)= 1  ，   r= 7
x值数量的概率计算数量 Sp( 122)有
Sp( 122)=[( 122/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 4.21
2.3.3  偶数80，800，8000：它们的A都属于四组 ，因此其满足条件a 的对应的 x值均分布在 三组：3，9， 15，21，27, 33，39，45，51，57，…之中 ，且适用乘法原理进行计算。而大素数的筛除非素数的作用是越来越微小的，故偶数越大，其分法数量相应也增多。
A= 40 ,x= : 3 , 21 , 27 ,( 33 )
M= 80   ，  S(m)= 4   ，  S1(m)= 3  ，  Sp(m)= 3.62  ，  E(m)= .21  ， K(m)= 1.33 ， r= 7
* Sp( 80)=[( 80/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 3.62
A= 400 ,x= : 21 , 33 , 63 , 87 , 123 , 171 , 177 , 201 , 207 , 219 , 243 , 261 , 273 , 291 , 327 , 333 , 339 , 357 , 369 ,( 387 )( 397 )
M= 800  ，  S(m)= 21   ， S1(m)= 19 ，  Sp(m)= 18.92 ，  E(m)= 0   ，  K(m)= 1.33 ， r= 23
* Sp( 800)=[( 800/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)= 18.92
A= 4000 ,x= : 57 , 93 , 111 , 153 , 177 , 231 , 261 , 273 , 327 , 357 , 363 , 441 , 483 , 567 , 639 , 657 , ……，3873 ,( 3927 )( 3933 )( 3963 )( 3993 )
M= 8000  ， S(m)= 106  ， S1(m)= 102 ， Sp(m)= 104.22 ， E(m)= .02  ， K(m)= 1.33 ， r= 89
* Sp( 8000)=[( 8000/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*……*( 87/ 89)= 104.22
3.概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)
如上我们依据“独立事件的乘法原理”可以求得任意偶数Ｍ分成两个符合“条件a”的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，其与实际存在的S1(m)值不一定是相等的，即存在一定的偏差。对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ(m)来表达：
δ(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m)；{式4}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]；      {式5}
{式5}表达了实际分法数值S1(m)与概率计算值Sp(m)的相互关系。
我依据上述的分析编的Basic程序，不仅可轻易地得到偶数M分成两个素数的全部分法及各个分法的数据S1(m)、S(m)，计算得出大于5的偶数M分成两个符合条件a的素数的概率计算值Sp(m)及与S1(m)的相对误差δ(m)。（希腊字母在Basic程序中不便表示，故用E(m)表示δ(m)，下面不再另注）。

3.1 部分偶数6-10000分区内偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布与统计计算实录：
部分偶数区间内偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
3.1.1  相对误差 E(m)分区分布实录(6--50000)
E(m):           <-.3  [-.3,-.2)[-.2,-.1)[-.1,.1]  (.1,.2]  (.2,.3]  (.3,.4]  >.4
--------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ]        3      17       90      326      39       13       8      2
[ 1002 , 2000 ]     0      4        68      399      25       3        1      0
[ 2002 , 3000 ]     0      0        49      431      18       2        0      0
[ 3002 , 4000 ]     0      0        21      457      21       1        0      0
[ 4002 , 5000 ]     0      0        8       471      20       1        0      0
[ 5002 , 6000 ]     0      0        19      472      9        0        0      0
[ 6002 , 7000 ]     0      0        14      475      11       0        0      0
[ 7002 , 8000 ]     0      0        8       483      9        0        0      0
[ 8002 , 9000 ]     0      0        7       480      13       0        0      0
[ 9002 , 10000 ]    0      0        4       492      4        0        0      0
--------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 10000 ]       3      21       288     4486     169      20       9      2
（数据由电脑运算得到，每一个数据都与具体的偶数所对应，可以单独列出验证。）
3.1.2  计算出的相对误差E(m)的分布情况：
在[ 6 , 1000 ]中，     分布在±0.10 范围内的占65.46%，在±0.20 范围内的占91.37%；
在[ 6 , 10000 ]中，    分布在±0.10 范围内的占89.76%，在±0.20 范围内的占98.90%；
在[ 10002 , 20000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.44%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 20002 , 30000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.66%，在±0.20 范围内的占100%；
在[ 30002 , 40000 ]中，分布在±0.10 范围内的占99.70%，在±0.20 范围内的占100%；
在这些统计中可看到在偶数较小的区间里，相对误差E(m)值的分布的离散性比较大些；而在偶数较大的区间里，大多数偶数的相对误差E(m)值的绝对值比较小，故它们的Sp(m)比较接近S1(m)值。可以看到,运用概率中的独立事件的乘法原理所进行的计算,是非常有效的。
4. S1(m)值变化的主要的特征系数——素数因子系数K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为  P(m)min，则有
P(m)min =1/2 * 1/3 * …*(n-2)/n * …*(r-2)/r； {式6}
其与该偶数的x值满足于条件a的实际的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min； {式7}
式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；
3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
             Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min  ；{式8}
由{式5}、{式8}，可得出：
     S1(m)= Sp(m)/ [1+E(m)] = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+E(m)]；{式9}
把{式9}代入{式1}，可得
   S(m) = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+E(m)] + S2(m)           
        =S2(m)+(A-2)*K(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n-2)/n]*…*[(r-2)/r] /[1+E(m)]  ‘P(m)min 的展开’
        = (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n1-2)/n1]*…*[(r-2)/r] /[1+E(m)] + S2(m) ‘引入小于r 的非素数的全部奇数因子’
        = (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/r) /[1+E(m)] +S2(m) ‘约分’
        = [(A-2)/2r]*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]} +S2(m)
        = [(M-4)/4 r ]*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]} +S2(m)            
即 S(m)  = [(M-4)/4 r ]*K(m)*{F(m)/[1+E(m)]} +S2(m) ； {式10}
式中：3≤n1≤r 、n1为奇数。
合数因子系数F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；-注
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2） ，…
在{式10}中：
    [(M-4)/4r]=[M/4r－1/r]，在M→大时，r 也逐步趋大，1/r 很快的接近0，对于以整数计数的分法数来讲可以忽略，故 [M/4r－1/r]≈M/4r≥√M/4 ；
K(m)≥1，每3个偶数中必有一个的K(m)≥2，它对分法数S1(m)的影响远大于其它因子的影响，它体现了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变，其值决定突变高度。
对F(m)/[1+E(m)] 的值分析如下：
合数因子系数F(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数M的增大，r的逐步变大，F(m)值将越来越大；而分母[1+E(m)]的值如前面分析过的那样，与1相差不多；因此大偶数的该比值大于1是毫无疑问的，其值决定了邻近偶数M的偶数的低位分法数量在√M/4 上面的位置。
K(m)≥1，每3个偶数中必有一个的K(m)≥2，它对分法数S1(m)的影响远大于其它因子的影响，它体现了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变，其值决定突变高度。
对F(m)/[1+E(m)] 的值分析如下：
合数因子系数F(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数M的增大，r的逐步变大，F(m)值将越来越大；而分母[1+E(m)]的值如前面统计过的那样，与1相差不多；因此大偶数的该比值大于1是毫无疑问的，其值决定了邻近偶数M的那部分偶数的低位分法数量在√M/4 上面的位置。
S2(m)≥0 ；在大偶数时其相对于S1(m)小到可以忽略不计，即以S1(m)来代替S(m)，而S1(m)具有可计算的特征是重要的，S2(m)的忽略能减低概率计算值Sp(m)的正误差（S2＞0时）。
5. 结论 (定性与定量)
   定性： 任意大于5的偶数都能够分成两个素数。
   定量：
   一）.偶数M分成两个素数的全部分法数量可以按照本文中1.中的偶数M分成两个素数的两个条件得出，其中条件a的分法数量S1(m)可以用概率方法进行近似计算；
   二）.除了偶数比较小时概率计算值的相对误差中惟一大于0.5的偶数68（分法数为2略小于√68/4） 外，其它大于5的偶数分成两个素数的分法数都大于√M/4 ；
   三）.连续偶数的分法数量变化的主要因素为素数因子系数K(m)——由偶数M含有的奇素因子决定；
   四）.对于比较大的偶数M及邻近区域的偶数的低位分法数量在√M/4曲线上方的位置则由合数因子系数与相对误差的比值F(m)/[1+E(m)] 决定。
[其中F(m)是由小于√(M-2)的最大素数r 不变时的区间偶数所对应的常数——合数因子系数。统计数据表明，大偶数M的概率计算值的相对误差E(m)小于0.2。因此取0.2就足够判断该偶数的分法数量大致在什么水平了。]
例如：
5000左右以及以上的所有偶数，其分成两个素数的分法数目有：
  √5000/4=17.7，F(m)/[1+E(m)] =2.98/1.2=2.483，17.7×2.483=43.9；即有不低于44种的分法；就是说——任意一个大于5000的偶数的分成两个素数的分法数目在44种以上，这是很容易验证的。
注：
小于√(M-2)的最大的素数r 不变时所对应的区间的偶数M的合数因子系数F(m)值是个常数，很容易求得的。
随着偶数M的增大，小于√(M-2)的最大的素数r 逐步增大，小于素数r 的合数相应增加，F(m)值将越来越大。
下面为偶数 52——1515362 的对应F(m)值的摘录：
52 -- 122                    r=  7         F(m) =  1
124 -- 170                   r=  11        F(m) =  1.286   [=（9/7）]
172 -- 290                   r=  13        F(m) =  1.286
292 -- 362                   r=  17        F(m) =  1.484   [=（9/7)（15/13）]
364 -- 530                   r=  19        F(m) =  1.484
532 -- 842                   r=  23        F(m) =  1.64    [=（9/7)（15/13）(21/19)]
844 -- 962                   r=  29        F(m) =  1.925
……
4492 -- 5042                 r=  67        F(m) =  2.981
……
51532 -- 52442               r=  227       F(m) =  6.3
……
212524 -- 214370             r=  461       F(m) =  10.026
……
6. 连续偶数M的分法数值S，S1，Sp及素数因子系数K(m)的折线图的示例：见下面的附件图，可以直观地看到它们的变化规律性。
附件图一：从6起到250的S1，Sp数据的折线对比图形；
可以看到，即使在小偶数的区段，S1与它是概率计算值Sp之间的相符合程度也是不低的；

愚工688

这就是我说并不复杂的理由：一个偶数M分成两个素数的条件a的x值的数量问题，可以归结为一个概率问题：
在一个自然数区间[0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，……，A-3] 里的数，
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
上面的附件图上面可以清晰看到概率计算值与事实情况的一致程度，而利用概率计算也能够比较正确的计算出一贯不大的区域内的偶数能够分成的素对的上下限来，这我已经在另文《大偶数所分成的素对数量的上下限的计算》中间进行了阐述。
对于《歌德巴赫猜想》，一切天花乱坠的证明，一切华丽的证明，都不能离开一个根本的事实：偶数分成两个素数的实际数量问题。只要以具体偶数的实际素对数据为唯一的准绳，多检验一些偶数的实际素对数目，是不难辨别什么是真，什么是假的。