[讨论]赫渥特图4—着色的意义

雷明85639720

赫渥特图4—着色的意义
雷  明
（二○一三年九月十一日）
众所周知1890年赫渥特就是用他构造的名叫赫渥特的图否定了1879年坎泊对四色猜测的证明。但由于赫渥特对他的图也不能进行4—着色，所以他就仍然利用了坎泊所创造的颜色交换技术证明了一个所谓的“五色定理”。
现在在数学界里，经常有人说，赫渥特只是否定了坎泊的证明方法，并不是对四色猜测本身的否定。他们还说赫渥特的图并不是不能4—着色的，甚至还有人干脆直接就说赫渥特对他的图也是可以4—着色的。我认为这种说法是不对的，是站不住脚的。中国人自已的书上，中国人翻译的外国人的书上，都是一个调，说法完全相同。但却都没有看到一个关于赫渥特图的4—着色模式。哎，中国的数学界里就是这个样，老是跟在外国人的后面爬行，外国人怎么说，中国的数学界里就怎么唱。
1、一九九二年以前，所有的文献资料上只要是谈到了赫渥特的所谓“反例图”时，都说到该图是可以4—着色的，但却没有一个文献资料上有赫渥特图的4—着色模式。既然赫渥特图是可以4—着色的，那为什么不给出一个4—着色模式，让大家一睹为快呢。
2、赫渥特原来未能4—着色的图都已经完整的保存了下来，可为什么赫渥特本人对他的图的4—着色模式却没有保存下来呢。既然赫渥特对他的图能够4—着色，为什么文献资料上不把它给出来呢。显然是赫渥特没有对他的图进行4—着色的嘛。所以我认为赫渥特本人是不能对他的图进行4—着色的。
3、请问，在1992年以前谁看到过赫渥特图的4—着色模式呢。又有谁人亲自对赫渥特的图认真的去进行过研究，并对其进行了4—着色呢。你没有对该图进行过4—着色，你有什么理由去说该图是能够4—着色的呢。
4、坎泊已经证明了2—轮构形，3—轮构形，4—轮构形，以及5—轮构形中的一部分情况下（可以同时移去两个同色的情况）都是可约的，唯独没有证明5—轮外有两条相交叉的连通链的情况下是否可约，就按照他在前面的证明，主观的认为5—轮构形都是可约的。过早的下了结论，给赫渥特留下了缺口。这里所谓的“连通链”是指对于由5—轮构形的某一对对角顶点的两种颜色所构成的链一直从一个对角顶点延续到另一个对角顶点的链，这条链与轮的中心顶点构成了一个环。
5、赫渥特构造的图正是一个在5—轮外有两条相交叉的连通链的5—轮构形。要证明该构形是可约的，只要把5—轮构形的5个轮沿顶点的颜色数由4 种减少到3种，把空出的一种颜色给轮中心顶点着上即可。由于以上两条链对于5—轮的对角来说是连通的，其与轮的中心顶点（即待着色顶点）构形了一个环，对这种链进行交换是空不出颜色来的，所以只有想办法先使连通链“断开”，变成不连通的，然后再从一个顶点开始进行该顶点的颜色与其对角顶点的颜色所构成的链的交换，一定是可以空出颜色给待着色顶点着上的。当然还有别的办法，总之该图是一个可4—着色的图，5—轮构形是可约的。
6、一九九二年以后对赫渥特图进行了4—着色的有：我国的业余数学爱好者有陕西的雷明，深圳的董德周，山西的张彧典，辽宁的刘福（网名“一棵小草”），山西的郑敏（网名“平常心”），陕西的颜帮宪等，他们都是在赫渥特原着色的基础上进行的，其方法虽然不尽相同，但仍然是用的坎泊所创造的颜色交换技术；我国的专业数学界人士有北京民族大学的许寿椿教授等也对赫渥特图进行了4—着色。但许教授他们用的是电算方法，让计算机着色的，并不是在赫渥特原着色基础上进行的。由于计算机识图、着色等都是采用的是模糊数学的原理，不可能做到与人对模糊集的判断完全的相同。因此许教授在他的《图说四色问题》一书中的表3•2中明确标出了对赫渥特图采用电算着色试验共94次，成功次数只有47次，成功率为50%。在国外对赫渥特图4—着色成功的还有英国牛津大学的米勒等人，他们也是在赫渥特原着色基础上进行的。这些着色中所使用的方法除了“断链”的方法外，还有被英国人和张彧典叫做“颠倒”的方法，两种方法的实质仍然还都是坎泊所创造的颜色交换技术。
7、坎泊所创造的颜色交换技术，用在目的是为了从待着色顶点周围空出颜色给待着色顶点着上时，交换的链是要有条件的，即必须是不连通的链，这在上面的5中已经说过了。但赫渥特在从一个同色顶点进行了一次关于两个同色的链的交换后，另一个同色顶点到其对角顶点的链却由原来的不连通变成了连通的。不知道他们（赫渥特和坎泊）是看到了还是没有看到这一变化，可他们硬是要进行这样的交换，当然就不可能空出颜色来了。这样也就不可能同时移去两个同色了。所以我认为赫渥特对他的图是不能4—着色的。当时由于坎泊对他的颜色交换技术也不是用得非常的灵活，只知道通过交换可以从待着色顶点周围空出颜色，但不一定知道这种交换是有条件的；可能还不知道他的颜色交换技术还可以用来进行“断链”等。所以就在当赫渥特进行发难时，显得束手无策，也不能对赫渥特的图进行4—着色，也就只得认错了。
8、赫渥特既然否定了坎泊的证明方法，但自已可并没有提出更好的证明方法，却仍然是利用了坎泊的颜色交换技术证明了所谓的“五色定理”。不知道后人所说的“赫渥特否定的只是坎泊的证明方法”中的这个“方法”是指什么呢。我认为坎泊的“方法”就是颜色交换技术，其实质就是对某条用两种颜色交替着色的道路上各顶点的颜色进行交换，以达到改变某一顶点颜色的目的。颜色交换技术不但可以用来对连通链进行“断链”，也可以用来对非连通链进行交换，从而空出与待着色顶点相邻的那个顶点的颜色给待着色顶点着上。坎泊的颜色交换技术也很可能还有另外的用途，但我们一下子还不可能研究得很透彻。
9、当然只研究一个赫渥特图的4—着色，是不能证明四色猜测就是正确的或是不正确的，但至少可以证明这个一百多年来一直被数学界认为是可以4—着色，但又没有一个具体的4—着色模式让人们能够看见的这样一个迷团得以解决，证明了赫渥特的图的确是可以4—着色的。但是对赫渥特图的4—着色成功，不能就认为四色猜测就得到了证明是正确的。因为该图只是一个个别的、具体的图，并不能代表一般的、任意的平面图。
10、对赫渥特图4—着色的成功，主要的还不是在于证明了该图是4—可着色的，更重要的是找到了证明5—轮构形是“可约”的证明方法，弥补了坎泊证明中的“漏洞”，使坎泊对猜测的证明更加完善。对于5—轮构形，如果最多只有一条连通链时，可以只进行一次交换就可空出颜色给轮中心顶点着上；如果有两条连通链，但两链不相交叉时，可以进行交换两次关于两个同色的链，一定可以空出两个同色给轮中心顶点着上；如果有两条相交叉的连通链时，也可以有先后次序的分别从两个同色顶点开始，分别进行两次关于两个同色链的交换：这时若构形是属于非H—构形和半H—构形时，两次先后不同次序的交换中，一定有至少一次是可以能同时移去两个同色的；否则，两次先后不同次序的交换都不能空出两个同色时，这才是真正的H—构形。这时就得对构形中的两条相交叉的连通链进行“断链”，然后再通过一次交换空出非两个同色的三种颜色之一给轮中心顶点着上。“断链”所交换的“链”是由两条相交的连通链中共有的颜色与其共同所没有的颜色构成的“链”。“断链”开始交换的顶点必须是任一条连通链上两链所共有的一种颜色的顶点。只所以能够断链成功，是由于真正的H—构形中一定存在着一条由两连通链各自独有的颜色所构成的一条环形链，把上面“断链”要交换的“链”隔成了环内和环外互不相连的两部分。交换环内或环外的哪一部分都可以使连通链得到“断链”。当然也可以象米勒那样，对赫渥特图连续进行两次的“逆时针”的或“顺时针”的“赫渥特颠倒”后，使构形变成非H—构形，再通过一次交换空出颜色给轮中心顶点着上。
11、在四色猜测的证明过程中，1890年有赫渥特构造了赫渥特图对坎泊的发难；1992年虽然米勒也能对赫渥特图进行4—着色，但随后他又构造了米勒图，又对自已提出的“颠倒” 方法（其实质还是坎泊创造的颜色交换技术）进行发难（其实该图与赫渥特图同样是可以通过“断链”得到解决的）；以后还会不会又有人又构造出什么图再次对坎泊的证明进行发难呢，这可是一个值得深思的问题。那么该如何解决四色问题呢，我认为还得走不对任何图着色的道路，专门从研究图的结构出发，用图的同化运算，求图的最小顶独立集数和最小完全同态的顶点数，因为这二者都与图的色数是相等的。或者从多阶区面上的图的欧拉公式出发，直接推导出赫渥特1890年提出的多阶曲面上的地图着色公式。由于多阶曲面上的欧拉公式是适用于亏格为0的平面图的，当然由其推导出的多阶曲面上的赫渥特地图着色公式也一定能适用于亏格为0 的平面图。该公式正好在曲面或图的亏格为0时，其色数的计算结果也是小于等于4的。这就是四色猜测。
雷  明
二○一三年九月十一日于长安