[讨论]评“APB先生”的用“点线化”证明四色猜测

雷明85639720

评“APB先生”的
用“点线化”证明四色猜测
雷  明
（二○一二年八月四日）
网名为“APB先生”的一位朋友，在网上于四月十三日发出“用反证法和点线化解决四色问题”的贴子（他说这是《科学智慧火花》对他的退稿）的一小时后，我发贴指出了他的“点线化”实质上就是“平面图的对偶图”，建议他还不如用图论里的现成的术语好些。但该贴中我没有直接指出他的“点线化”中除了不包括“无限面或外部面”外，一切都与平面图的对偶是相同的这一实质。就是这一贴的发出，我们一来一往，辨论了多次，最后还是我指明了他的“点线化”与对偶图不同之处就在于他的“点线化”没有与无限面对应的顶点后，辨论才总算结束（辨论我将附在本文后面）。
不过我现在还是坚持要用图论中的已有术语最好，不要搞自已的另一套，否则大家相互间的交流就成了问题。
1、我数了一下，你四月十三日的贴子总共只有455个汉字，再加上四个图。难怪编辑给你退稿呢，我要是那个刊物的编辑也会这么做的。因为你的所谓“论文”有错误，人家认为“经专家审阅，认为本文提出的这类问题已经有过很多研究，再发表意义并不大。因此予以退稿。”这样的回答，没有直接指出你文中的错误，还是很客气的。
2、四色问题，并不是人工不可证明的。所谓的机器证明实质上还是人在证明。1976年阿贝尔的所谓用机器证明了猜测，他所验证有构形再多，还是没有验证大家都已经知道的平面图中的不可避免的5—轮构形是可约的，即没有验证5—轮构形是可4—着色的。为什么，因为阿贝尔本人就不会证明5—轮构形是可约的，他不会证明，当然机器也就不会去验证了。所以说最后解决问题还是得要靠人。但是解决四色问题却也不是那么容易的事，不足五百字的文章绝对是解决不了的。你把四色问题看得也太的简单了，你对科学的态度也太的轻率了。
3、你说：“因为假设中的五色地图必然比四色地图多一色（这不是废话吗——笔者注）；而一个四色地图必然包含一个四色子图，它的每一个小区都与另外三个小区相邻；无论它的形状如何多变，都可以简化为一种对称的四色子图，如图1所示；而图1 的点线化，如图2 所示；”他在这里的图1是一个“三国环一国”型的地图，的确四个国家都是两两均相邻的，它们各着了一色，正好是四种颜色。但他没有画出三个环国以外的区域是如何分区的。是一个区域呢，还是多个区域呢，不知道。也没有对三个环国的外围着上颜色。而所谓的图1 的点线化——图2则是一个K4图，这个图中没有一个顶点能对应图1 中的三个环国外围的区域。这就是我上面所说的他的点线化与对偶图的不同之处，即点线化中是没有无限面所对应的顶点的。这还不是主要的，这里最主要的问题是“一个四色地图必然包含一个四色子图”这个结论你证明了没有。一个地图中一定要含有“三国环一国”型的区域吗。如果地图中没有这样的区域，那你那个“点线化”不就成了一个K3图吗。我认为，地图的特点不是其中有没有“三国环一国”型的区域，而是其每个顶点都是3—度的，即地图是一个3—正则的平面图。所有的3—度顶点所在的小范围内，就是我们平时所说的“三不管地区”。3—度顶点中的3,是指该顶点连有3 条边界线，而三不管地区中的三，则是指该顶点所相邻的区域有三个。一个是指该顶点所连接的边界线的条数，一个是指该顶点所相邻的区域的个数。二者是不同的。
4、由于你的出发点“一个四色地图必然包含一个四色子图”就已错了，所以你所谓的证明最后就是得出了早已由坎泊证明了的地图中“永远不能出现五点或多于五点都互有连线的情况”，也不能说明你的证明就是正确的。即就是你的证明正确，也只能说明地图中不存在五个区域或多于五的区域有两两区域都相互相邻的结论是正确的，但这与证明四色猜测又有什么联系呢，你在这一论文中并没有说呀。就用一句“所以假设错误，只需要染四色就可以使任意平面地图的相邻国家或区域不同色。”这样的证明理由是不足的。
5、在你的《四色定理的三角证明法》一文中，你只是在一个三角形即K3图的基础上（这又与你前一贴中所说的地图中最基本的是一个“四色子图”，其点线化是一个K4图有了矛盾——笔者注），对其内或其外增加顶点，所得到的图最终都一定是含有K4图即“三国环一国”型的地图，并不是一个任意的地图，即就是你这个地图能用四种颜色着色，但不能说明任意的地图（或平面图）就一定也能够用四种颜色进行面着色的。所以我认为，你研究步骤的方向错了，不应该去从一个三角形开始，在其外或其内增加顶点，而应该是从任意的图开始，把不相邻的顶点一步步的凝结在一起（这一过程在图论中叫同化运算），看一看一个任意的图凝结到最后会得到什么结果。等到再不可能有不相邻的顶点进行凝结时，图中还剩下几个顶点，就能说明任何平面图顶点着色（或任何平面图面着色，或任何地图着色）时，至少得用与图中所剩的顶点数相同数量的颜色数。这样才真正是任意平面图的顶点着色的色数和面着色的色数，也是任意地图的着色数。如果想证明任意平面图的色数是不大于4 的，那么就得证明任意平面图同化（凝结）的最后结果一定能得到一个K4图。这一点是必须要做到的，否则，是不能证明猜测是正确还是不正确的。
6、你的观点中的其他错误在我与你的辨论中都已尼说到，请见附录。但我与你辨论的最后一贴是“你的理论是否可行，请再思。”，请不要急着回答我，请“再思”后再回答。以免再把线图的定义用来当做对偶图的定义就行了。你所引用的对偶图的定义那段话，是你引用错了，还是书上就是那样，我是不得而知的。你的“图论书早在 20 年前就丢了，其内容也忘没了。”那么你现在要搞四色问题，就得再把你“20年前”“丢了”的图论书再找回来，很好的再学习一次，把所“忘没了”的东西先再拣回来，然后再来这里谈论四色问题。
雷  明
二○一二年八月四日于长安

附：我与APB先生的辨论实抄：
4月13日APB先生发贴：
本人投给《科学智慧火花》的这个稿件已被退稿，退稿说明是“经专家审阅，认为本文提出的这类问题已经有过很多研究，再发表意义并不大。因此予以退稿。”我因此就发表在这里吧：（请打开以下网页查看）：http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2816&show=0
4月13 日我回复：
最好还是用图论上已有的专业术语好些，比如你的“点线化”实际上就是“平面图的对偶图”，地图就是地图，不存在什么平面地图不平面地图的问题。雷明
4 月14日APB先生回复：
这个证明还可以应用拓扑学的专业术语呢，我觉得没必要用。如被承认，点线化也是专业术语。我的目标是：让最多数人都能看懂——世界难题——四色问题——人人可证——很易证明。
5 月12日我回复：
1、四色问题的提法是：任何地图染色时最多四种颜色就够用了。ABC先生这里用了“只需要染四色就可以使任意平面地图的相邻国家或区域不同色”的说法，这是不恰当的。其一，“只需要染四色”是乎是说任何地图必须要用四种颜色，其实并不然，比如，“国中之国”莱索托的地图，两种颜色就够用了，其外围国南非用一种颜色，本国用一种颜色也就可以了，还有“两国夹国”蒙古国的地图，三种颜色也就够用了，其两个外围图中国和俄罗斯各用一种颜色，本国用一种颜色，共三种颜色。其二，地图本身就是平面图，是把亏格为0的球面（平面）划分成若干个区域的图，不需要再在地图二字前加上平面二字。所以我说，你还是没有弄明白猜测本身的原意，也没有把它表达清楚。你说你“的目标是：让最多数人都能看懂——世界难题——四色问题——人人可证——很易证明。”不管你的目标多么宏大，但必须首先把猜测的原意表达正确。否则目标再大，也无法实现。本来大家都已经通用的“对偶图”的术语你不用，却硬要自已弄出一个什么“点线化”来，我认为没有必要，我认为没有人、也不可能再对你的“点线化”“承认”了，它也不会成为“专业术语”的，因为已经有现成的“对偶图”术语了。
2、有一个叫 Zhujingshen的网友说：“ 如果，你（指ABC——雷明注）能证明8个面积的区域中必然可以使用4种颜色，我就承认你证明了4色猜想。”这种说法是错误的。确实说，给只有8个面的地图着上四种颜色是非常容易的一件事，但就是只用四种颜色给某个只有8个面的地图着了色后，能说明四色猜测就被证明了吗，不能的。你要求只给有8 个面的地图着色的要求可实在是太低了。而且只有你承认了ABC有什么用呢，要有全世界数学界的承认才行呢。
3、ABC要求画的“立方塔”是一个什么，我看不明白。不过这与证明四色猜测又有什么关系呢，我也没有看出来。我想既是“立方塔”，大概会是一个多面体吧，而且是凸多面体，那么它所对应的图一定是平面图，猜测说的就是平面图的色数是不大于4 的问题，应该说任何多面体，特别是凸多面体的面着色时，四种颜色一定可以够用了，而你这里不知为什么又提出了一个要求“立方塔”的六个方向的面都用六种不同的颜色来画呢。我不明白这是什么意思。

雷  明
二○一二年五月十二日于长安
5 月12 日APB先生回复：
1)我的网名是APB先生，不是ABC先生。
2)我说的地图是指人们常用的世界地图或某一国家的地图。
3)1852年前，伦敦大学的学生 Francis Cuthrie 在给英国地图染色时首先发现四色问题，
其原意不涉及亏格“壶把”。
4)我认为点线化比对偶图更易于说明问题。
5)关于立方塔请看下文：（略）
5 月14日我回复：
APB先生说“四色问题，其原意不涉及亏格“壶把””，这是对的，可我说的“地图本身就是平面图，是把亏格为0的球面（平面）划分成若干个区域的图，不需要再在地图二字前加上平面二字”也没有错呀，难道平面和球面的亏格和壶把（或柄环）不都是0吗。地图上的区域本来就是人为的，地球上本来也不存在什么分界线，为什么一张地图非得有四个以上的区域不可呢。你说你“说的地图是指人们常用的世界地图或某一国家的地图。”四色问题现在已不只是对地图的着色问题了，而是成为一个对平面图的顶点着色的问题了。图的顶点可以是任意的，那么研究四色问题就不能只看到一个世界地图和某个国家的地图的问题了，而是要从任意的图开始着手了，因为地图只是平面图中的一种情况。所以研究四色问题最好还是研究平面图的顶点着色为好，比你研究地图的面上的着色要方便多了。
5 月17日APB先生回复：
你说“地图本身就是平面图，……，不需要再在地图二字前加上平面二字”是不对的！人们常用的地图确实是平面图，但是别忘记地球表面是球面，在地图二字前加上平面（或球面）二字——平面地图——则更加严格，准确和实用，可以将一切诸如环面地图（亏格不为0），莱顿瓶面地图，买比乌斯带面地图，……，都排除在外而一劳永逸。
你说“地球上本来也不存在什么分界线”也不对：地球上本来就存在陆地与海洋的分界线——海岸线，地球上本来就存在北半球与南半球的分界线——赤道，……。
我认为：没必要将四色问题复杂得让全世界的人都觉得很难很难解决，纯属故弄玄虚！将四色问题点线化后再解题，是唯一正确的也是最简单最容易的方法。
5 月18日APB先生又发贴，上面只有原贴中的四个图，再也没有说一句话。我不明白是什么意思。
5 月18日我回复：
1、我并不认为四色问题是一个“很难很难”解决的问题，要么我还用这么大的精力去研究它干什么呢。难道在地图二字前不加平面二字，说的就不是球面（或平面）图了吗。你也不要忘记四色猜测本身就只是在平面图范围之内的，并没有设及到亏格大于1 的多阶定向曲面，更没有设及到克莱因瓶面与麦比乌斯带的问题。
2、你要把海岸线也看成地球上固有的线，那么月球上全是陆地，并没有海洋，也没有这样的“线”，那么把月球划分成若干个区域就不存在四色问题了吗。你认为地球赤道也是一条“线”，我问你，是在地球上有没有这条线呢，你在地球上看到了这条“线”了吗，地图上有这条线完全是人为的。你不要忘记地图上的赤道线，经纬线，南北回归线，南北极昼极夜线，国际日期变更线，航线，分界线，边界线，南北极点等在地球上本来就是没有的，都是人为的用不同的符号画上去的；而海岸线，分水岭，河流、公路，铁路线，城市等这些地形地物才是地球上本来就有的，也是人为的用不同的符号画上去的；没有这些人为的地图要素就不成其为地图。
3、按你说的，把赤道也看成是“北半球与南半球的分界线”，那么在给两个半球为区域的地图染色时，该用几种颜色呢，我想两种一定够了吧。可你一开始和最后都说了“只需要染四色就可以使任意平面地图的相邻国家或区域不同色”，这就不对了，猜测的原话是最多四种颜色就够用了，而不是一定要四种。
4、从一开始至今我并没有说你的论理不正确，而只是说你应该使用现成的图论专业术语，不应再出什么新花样，同样的一件事，叫法变来变去，没有什么意议义。你却说“如被承认，点线化也是专业术语”，图论中已经有了对偶图的专业术语了，根本不可能再承认你的“点线化”了，因为它两个本来就是一件事。
5、我虽是一个业余数学爱好者，但也不是白痴，什么也不懂，你说的那些曲面我不但明白，我还进行过研究，你不要以为只有自已什么都懂，用大量的专业名词在这里来吓人，你胡弄不另人的。你还说什么“这个证明还可以应用拓扑学的专业术语呢”，你还志高气扬的，这不是在吓人吗。不管你用以术语，你能证明出来，也是为难题作了贡献呀，你把用拓扑术语证明的文章拿出来叫人看嘛，我想能看懂的人一定是不少的，大家承认了不是更好吗。你还什么“我的目标是：让最多数人都能看懂——世界难题——四色问题——人人可证——很易证明”，不要“最多数人能看懂”，有少数的专家看懂就行，也不要“人人可证”，只要你一个人证明了就行，只要专家认为你是对的那你不就成了名人了吗。不是就实现了你“将四色问题点线化后再解题，是唯一正确的也是最简单最容易的方法”了吗。朋友，无论做什么事，还是谦虚谨慎一点为好。我认为任何问题解决的方法都不只是一种，各有各的优点，很难说那一个是“唯一正确”的。
6、四色猜测早已由一个给地图中区域的染色的地理问题变成了一个给平面图顶点着色的数学问题了，应该从图论出发，从平面图，甚至从图出发，研究着色与四色问题，而不应该还只是在属于图的子集合的地图的小圈子范围以内转来转去了。也应该是给图的顶点着色了，而不要再去给地图的面上去染色了。所用的术语也应是图论的术语而不应再是地图的术语了。当然了，我这只是是废话，从那里着手研究，是每个研究者个人的事，不过我这里只是说说自已的观点而已。
雷明
二○一二年五月十八日于长安
5 月18日1 又回复：
四色问题可以证明，但绝不是你所说的那样“人人可证”和“很易证明”。做为一个难题，本身就说明它的证明是有一定的难度的，不是轻而易举可以证出的。不是你用了两页纸的篇幅就能证明的。但也不是大师们所说的“不可证明”的，非得机器证明不可。难道机器证明还不是人在证明吗，机器是谁制造的，证明的程序上谁编的，又是谁在操作机器呢。首先要肯定，人证明不了，机器也就证明不了。所谓的计算机证明了四色猜测只不过是用计算机代替人对两千多张图进行了4—着色而已，只能说是用计算机两千个图的验证。因为人会给图着色，人也可以把着色的方法编成程序教给计算机，叫他代替人去工作（当然人也是可以对这两千多个图进行着色的），但仍没有把所有的图都着完，所以还是不能说猜测就被证明了。否则你我还在这里寻找对猜测的证明方法是干什么呢。我们都是在探索、在研究，不要轻意的否定别人，只能是对别人的研究提一些建议，帮助别人的研究更加完善。雷明
5月26APB先生回复：
我认为四色问题就是这样容易解决：经点线化，简化和拓扑变换后，不过就是在三角形的内与外无论加多少个点，都最多只能使四点相连线。
你及前人所说的难，和世界上的鬼神一样，都是人造的，多余的。
5 月31日我回复：
我把我对卢玉成先生的《四色业理的简便证明》一文的意见一并发给你，也同样是我对你的“点线化”“化简”法的评论。
卢先生，在2008年时，我看到你的《四色定理的简便证明》，已经给你写了一个《答卢玉成先生》的回复，发表在《数学中国》网的“哥猜”栏里，不知你看到了没有；这次你又给我的信箱里发来了同样的文章，我同样给你有了回复，也不知你看了没有；今天我又收到了你的同样的《四色定理的简便证明》一文，主要的内容还是与前两次一模一样的。你一次次的叫我提出意见，又一次次的把原文原封未动的发过来，不知道是为了什么，我也不知道我对你所提出的意见，在你眼里认为是对的呢还是不对的呢。
最近还有一个叫APB先生的朋友，在网上也发表了与你的观点相同的论点，不过他没有你的文章的说理性强，我就在这里给你俩一个共同的回复。
四色问题原是一个对地图的面的着色的地理学问题，现在早已变成了一个对平面图的顶点着色的数学问题了。地图是平面图，但只是一种特殊的平面图，即地图是一个所有顶点都是三度顶点的正则图，这些三度顶点就是平时人们所说的“三不管地区”。平面图的对偶图仍是平面图，那么地图的对偶图也一定是平面图，但它也只是平面图中的一种特殊的图，即地图的对偶图是一个所有面都是三边形的极大图。从这里可以看出，对地图的面上的着色显然就等于是给其对偶图的顶点着色，这样一来，一个地理问题就变成了一个数学问题了。显然，数学中的平面图四色问题比地理学中的地图四色问题更文泛，地图四色问题只是平面图四色问题中的一部分，只是一个子集合。数学中的四色问题针对的任意的平面图，而地理学中的四色问题只是针对着3—度正则的平面图（地图），地图的对偶图也只是针对着极大的平面图。所以说数学中的四色问题研究得更加广泛，研究好数学中平面图的四色问题，地理学中的地图四色问题也就迎刃而解了。因些，建意不要再对地图（平面图）的面去进行着色了，而要去研究平面图的顶点着色的色数。
你们俩人共同都认为平面图中不存在大于等于五的两两均相邻的面或顶点，所以你们也就共同都认为任何地图的色数或任何平面图的色数一定都是4，这种提法是不正确的。应该说是任何地图的色数或任何平面图的色数一定都不大于4，这才是四色问题的原本提法。的确，有的地图或平面图的色数的确实是小于4 的。你们共同认为地图中只要有一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中只要有一个K4团，那么这张地图的色数一定是4，这种说法也是不正确的。如果一张地图中不存在一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中不存在K4团，但该地图中却存在着某个区域周围有大于3的奇数个区域与之相邻，或者一个平面图中却存在着轮幅数大于3的奇轮时，这张地图或这个平面图的色数却一定也是4（如果不存在某个区域周围奇数个区域与之相邻，或者一个平面图中不存在轮幅数大于3的奇轮的地图或平面图的色数才是3）。所以说你们上面说的“地图中只要有一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中有一个K4团，那么这张地图的色数一定是4”的说法是不正确的。
四色问题说的是任意的地图或任意的平面图的色数一定不大于4，而你们却是从一个极大的K4图开始，在一个个的三边形面中增加一个顶点，认为这个顶点一定有不同于与其相邻的其它三个顶点的第四种颜色可以给其着上，无限增加顶点，仍是这样，认为顶点增加到无穷，就证明了四色猜测是正确的。你们想没想到，尽管你们的图的顶点数有无穷多个，但它仍然只是一种极大图（图中的面都是三边形），而不是任意的图。可能你们还会说，极大图四种颜色够用了，其它的非极大图四种颜色也一定够用了，因为极大图的顶点相邻关系是最复杂的。这种说法是不错，但你们想没有想到，你们的证明开始时，只是用了一个极大图K4，然后再在极大图的面中增加顶点，一步一步的向后推，最后得到的还是极大图，而不是从一开始就直接给出的是任意平面图。所以说，你们还是没有能对猜测进行证明的，仍然不能说猜测就是正确的。
卢先生给了我一个自已画的有“一国多地”的地图，认为这个地图一定要用五种颜色才能着色，他就把这种情况叫做五色定理，这也也是不合适的。四色问题中，一个区域就是一个区域，不存在几个区域一定要着成同种颜色的情况；平面图的一个顶点就是一个顶点，也不存在某几个顶点非得要用同一种颜色的情况。四色问题研究的是广义的地图，而对于具体的地图来说，四种颜色可能够用，也可能不够用，这在实际地图着色中是常常可以看到的。坎泊的所谓“正规地图”说的就是指广义的地图，是一个3—度正则的平面图，即“没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点”，当然也不会含有“一国多地”的情况了。所以说，研究四色问题要从广义的地图或任意的平面图出发，不能只针对具体的地图和个别的平面图。具体的地图着色时，可能四种颜色不一定够用，但不能因为这一点就说明四色猜测就不正确，因为你用的图是一个特殊的图，而不是一般的图。
卢先生所着色的中国地图，我在前几天给你的回复时已经说了，是不对的。中国地图虽是一个具体地图，但如果把所有外国统一看成相当于一个省，把海洋也同样的对待，则四种颜色一定够用。由于海洋与陆地不同，要改一种颜色，国境线以外的外国也要用可区别于国内各省的颜色，海洋又与外国连邻，所以一张中国地图一定要用六种颜色才能区分，但所增加的两种颜色是改着的，如果再改回去，一张中国地图仍是只用了四种颜色。可你所着的中国地图，把海洋看成一个省后，也着了四种颜色，但外国还没有着。这时所有与外国有边界线的省（包括海洋）已用了四种颜色，你有没办法把外国着上已用过的四种颜色之一，只得用五种颜色。虽然把海洋的颜色改成别色后，全图仍是六种颜色，但若把外国和海洋都看成省后，你没有把全图只着上四种颜色，所以你的着色是不对的。产生这一现象的原因是你在着色前，没有把外国也看成是一个省。
雷  明
二○一二年五月三十一日于长安
6月1 日APB先生回复并发来了他的另一所谓的论文《四色定理的三角证明法》，该论文并于6 月2 另外在网上单独发表。
感谢你的关注。（文章请打开以下网页查看）：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2883&show=0
7 月27日我在网上发表《多阶曲面上图的对偶图的亏格》一文。
7 月28日APB先生又发来了他前文中的四个图，什么话也不说一句。
7 月28日我回复：
我是在学习、探索、研究多阶曲面上的图的对偶图与原图的亏格是否相同的问题呢，与你们的回复贴是没有什么关系的。雷明
7 月29日APB先生回复：
楼主曾说过俺的点线化是已有的对偶图； 点线化=对偶图 ？
以下是楼主的图
（图见我的“对偶图”一文）
7 月29日我回复：
我的图不对吗，那不就是平面图的对偶图吗。你的点化线的实质不就是这个吗。但我这里只是谈的是对偶图，并没有谈及着色的问题呀。雷明
7 月29日APB先生回复：
在点线化中，一个点代表一个闭区域，一条线连接二个点代表这二个点相邻，也即代表二个闭区域相邻，有共同的分界线。
7 月29日我回复：
APB先生，我不知你说的这些问题与我这里的多阶曲面上图的对偶图有什么关系。
7 月30日APB先生回复；
雷明网友：你的对偶图，一个点的对偶图还是一个点；二点一线的对偶图是一点一线；三点三线的对偶图是二点三线；四点六线的对偶图还是四点六线；……。按照你的“二点一线的对偶图是一点一线”的逻辑，四点六线的对偶图还是四点六线还对吗？是不是要变成二点六线了。抱歉，我不懂你的对偶原则。
我的点线化与你的对偶图没有什么关系。
7 月30日我回复：
先生，请你先好好的学习一下图论里的关于对偶图的定义，再来看一看我画的K1图、K2图、K3图、K4图的对偶图画得对不对。我还要说一遍，我这里谈的是多阶曲面上图的对偶图的问题，不是在谈着色的问题，请你不要西拉东扯了。雷明
7 月30日我又回复：
“我的点线化与你的对偶图没有什么关系”。放着图论中已有的、现成的术语不用，却硬要自已出个新的名堂，非得要与众不同。那你就继续你的“点线化”吧，继续与众不同吧。
7 月30日APB先生回复：
我的图论书早在 20 年前就丢了，其内容也忘没了。劳您大驾，请在此说明一下对偶图的定义。
7 月30日我回复：
无理取闹。
7 月31 日APB先生发来了一贴，其中是关于对偶图和自对偶图的。他没有说什么话。（图和文字请打开以下网页查看）：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2983&start=12&show=0&man=
7 月31 日我回复：
APB先生，你的第一个引文中应该说是对“对偶图”下定义的，但引文中的的第一段话确说的是边图（线图）的定义，你好好的看看。对偶图应该是把原图中的面作为新的顶点的，把两个两所相邻的边作为新的边的。引文中所画的图却是按正确的对偶图的定义画的，你看看这两个图是不是与引文中说的“对偶图”的定义相符呢。你再按你引文中的两图的画法去检查一下我的那四个完全图的对偶图是对还是错呢。你的第二个引文说得都是对的，轮形图是自对偶图。现在我明白了，你只所以不同意我说你的“点线化”就是与对偶图相当，关键在于你的点线化中不把无限面看成是面，所以在你的点线化中也都比对偶图中少了一个顶点。你和我在这里较这个汁实在是没有什么意思，难道对平面图进行面着色时，无限面就不要着色吗。雷明
7 月31日APB先生回复：
这回你说对了；我的点线化是不同于已有的对偶图的。我的目的只是为了分清点线化与对偶图是不同的感念，不能混为一谈；无其他意思。
7月31日我回复：
但我还要问你，你的点线化的目的还是要对平面图进行面着色，可你不把无限面这个面也转变成顶点，就不可能把图中所有的面都着色，也就不可能证明任何平面图都是4—面可着色的。比如说，欧亚非大陆（或美洲大陆）的地图，其无限面就是海洋，这样的地图，你能给其着上不大于四种的颜色吗。或者说国中之国莱索托的地图，在给其更低一级的行政区划进行着色时，你能给其外围国南非不着颜色吗，如果着色，你能保证它能用到莱索托国境内下一级区划所用过的颜色吗。
8月1 日APB先生回复：
在我的三角证明法中，给地图染色的问题已经转变为在三角形内外加减点的问题，不同色已经转变为不同点；在三角形之外增加任意多个点，就包含了给无穷面的染色；在三角形之内增加点，就包含了给国中国的染色；你所提的问题都属于非必要因素，完全可以删除。
8月1 日我回复；
你的理论是否可行，请再思。

APB先生

[这个贴子最后由APB先生在 2012/08/07 08:02pm 第 1 次编辑]

下面引用由雷明85639720在 2012/08/07 02:06pm 发表的内容：
-=-=-=-=- 以下内容由雷明85639720在时添加 -=-=-=-=-
评“APB先生”的
用“点线化”证明四色猜测
雷  明
...

感谢雷明85639720先生的如此关注！四色定理用我三角法足以证明，没啥难度！以前有人说它是世界难题，其实是胡扯。繁分数问题就曾经被前人说成世界难题，其实是胡扯！以前有人说上天是世界难题，其实是胡扯。以前有人说哥猜是世界难题，其实是胡扯。以前有人说连续统假设是世界难题，其实是胡扯。……。当人们解决不了某一问题时，就会说它是世界难题，其实不是！

任在深

下面引用由APB先生在 2012/08/07 07:56pm 发表的内容：
感谢雷明85639720先生的如此关注！四色定理用我三角法足以证明，没啥难度！以前有人说它是世界难题，其实是胡扯。繁分数问题就曾经被前人说成世界难题，其实是胡扯！以前有人说上天是世界难题，其实是胡扯。以前 ...

APB更是胡说八道！

雷明85639720

APB先生，看来与你辨论没有必要了，你尽是些大帽子，并没有什么实际内容。

任在深

下面引用由雷明85639720在 2012/08/08 08:14am 发表的内容：
APB先生，看来与你辨论没有必要了，你尽是些大帽子，并没有什么实际内容。

他是继本坛李大蒙之后的侯二蒙！
试问世界上，有哪一位真才实学的人是靠溜须拍马得来的？！
此人听不得半点意见；此人不可教也！
但添腚还是有两下的！？

APB先生

下面引用由雷明85639720在 2012/08/08 08:14am 发表的内容：
APB先生，看来与你辨论没有必要了，你尽是些大帽子，并没有什么实际内容。

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2817&show=0
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2830&show=0

其它众多实际内容，目前没必要给你展示！希望将来有机会公开！那时你就会看到我言字字真实！

任在深

下面引用由APB先生在 2012/08/08 06:41pm 发表的内容：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2817&show=0
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2830&show=0
其它众多实际内容，目前没必要给你展示！希 ...

猴子之言句句虚伪！
只会吹嘘，溜须拍马！
毫无根据的胡言乱语！！
你懂什么是四色定理吗？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

雷明85639720

这里是在说四色问题，你却发出了两个有关哥猜的网页地址，你这不是在胡扯吗。该展示的你不展示，不该展示的你却多次展示，你这不是胡来吗。还是把你的所谓“众多实际内容”早点发表出来吧。

任在深

下面引用由雷明85639720在 2012/08/08 08:12pm 发表的内容：
这里是在说四色问题，你却发出了两个有关哥猜的网页地址，你这不是在胡扯吗。该展示的你不展示，不该展示的你却多次展示，你这不是胡来吗。还是把你的所谓“众多实际内容”早点发表出来吧。

哈哈！
     它在科学智慧火花发表的著名理论是：
                                         123↔321
                                         1234567↔7654321
           看来APB是个大大大的数学家呀？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
   哈哈哈哈哈哈哈哈哈！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

APB先生

下面引用由雷明85639720在 2012/08/08 08:12pm 发表的内容：
这里是在说四色问题，你却发出了两个有关哥猜的网页地址，你这不是在胡扯吗。该展示的你不展示，不该展示的你却多次展示，你这不是胡来吗。还是把你的所谓“众多实际内容”早点发表出来吧。

我关于四色定理的三角证明法，你是视而不见！别把四色问题搞得那么邪乎与复杂，没什么好神秘的！