[原创]赫渥特地图着色公式的来由

雷明85639720

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赫渥特地图着色公式的来由
——四色猜测证明方法之二
雷  明
（二○一二年六月二十日）
关键词：赫渥特  着色  四色猜测
摘  要：证明了四色猜测是正确的
赫渥特一生研究四色问题共六十年，虽发表过许多优秀的论文，但却没有最终解决这一问题。虽然如此，但他却得出了一个比四色问题更高级的、更丰富多彩的适合于任意亏格的多阶曲面上的地图着色公式γn≤＜（7＋（1＋48n）1/2）/2＞（式中＜ X ＞表示＜＞中的X的值向下取整，n是曲面的亏格），也正是因为他认为自已没有解决亏格为n＝0的平面（或球面）上的四色问题，所以他给他的公式后面附加了条件n＞0。
在现所能看到的文献资料中，在提到该公式时，也都只是引用了一下，并没有说明这个公式是如何得来的。也正是因为公式后有了附加条件n＞0，所以就成了一些人认为的“尽管公式中当n＝0时公式的值γ≤4,也不能说明四色猜测是正确的”的理由。这个公式当时赫渥特是如何得来的，我们不得而知，但我坚信总是有其来由的，只是我们一般的人看不到而已。要把该公式的来由弄明白那就是研究数学史的专家们的事了。
我们虽然不知道赫渥特地图着色公式的来由，但我们可以通过适合于任意曲面的多阶曲面上的欧拉公式推导出这一公式。
多阶曲面上的欧拉公式是v＋f－e＝2（1－n），其中的n也是曲面的亏格，而v、f、e分别是曲面上图的顶点数、面数和边数。当亏格n＝0时，公式就成为v＋f－e＝2，这就是我们经常见到的平面图的欧拉公式。我们知道完全图Kv的边数是e＝v（v－1）/2,且完全图中的任何两两顶点都是相邻的，所以e和f也有3f＝2e的关系，即f＝2e/3。
先把f＝2e/3代入多阶曲面上的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中，并整理后得到
3v≥e＋6－6n
再把e＝v（v－1）/2代入到上式3v＝e＋6－6n中，整理后得到
        v2－7v＋12（1－n）＝0
这是一个关于完全图的顶点数v的一元二次方程。解这个一元二次方程得
    v1＝（7＋（1＋48n）1/2）/2
    v2＝（7－（1＋48n）1/2）/2
  同样由于在v2＝（7－（1＋48n）1/2）/2中，当n≥1时，v2＝（7－（1＋48n）1/2）/2≤0，而任何图的顶点数都是不会小于1的，v＜0显然是不符合题意的，所以舍去不要。则该一元二次方程也只有一个根v1＝（7＋（1＋48n）1/2）/2。因为图的顶点数必须是整数，所以该式还得向下取整，得
   v＝＜（7＋（1＋48n）1/2）/2＞
由于任何完全图的色数γ就等于其顶点数v，所以把v＝＜（7＋（1＋48n）1/2）/2＞中的顶点数v换成某亏格下的色数γn，就得到
    γn＝＜（7＋（1＋48n）1/2）/2＞
这只是完全图的色数γn与其亏格n之间的关系。由于在同亏格条件下，同顶点数的图中完全图的边数是最多的，顶点间的相邻关系也是最复杂的，当然其色数也一定是最多的，同顶点数的任一非完全图的色数都是要小于完全图的色数的，所以还要把上式中的等号改换成不等号，则变成
    γn≤＜（7＋（1＋48n）1/2）/2＞
这就是任意图顶点着色的色数与其亏格的关系，也就是我们在文章最开头所说的赫渥特在1890年得出的多阶曲面上的地图着色公式。
显然这个公式中，当亏格n＝0时，γn≤4，这就是平面（球面）上的四色猜测。同样，当亏格n＝1时，γn≤7，这是轮胎面（环面）上的色数；当亏格n＝2时，γn≤8，这是眼镜面（双环面）上的色数，等等等等。这显然比一个四色猜测更显得丰富多彩。
为什么有些人死报着赫渥特原来公式中的附加条件n＞0不放，而硬说该公式对于亏格为n＝0的平面（球面）不适用呢，可能是因为他们既没有看到过赫渥特地图着色公式最开始时的来由，也不会从多阶曲面上的欧拉公式直接推导出赫渥特的地图着色公式的原因吧。
雷  明
二○一二年六月二十日于长安