[讨论]再答卢玉成先生

雷明85639720

再答卢玉成先生
雷  明
（二○一二年五月二十二日）
   二○一二年五月二十一日我收到卢玉成先生发给我的《四色猜测的简便证明》一文，作者留言主“请指教”，看后我就不客气的写了以下的回答。
卢玉成先生：
收到你的文章，很高兴。我们都是业余的数学爱好者，过去在网上也看到过你，但不知交流过没有，所以收到你的文章是非常的高兴。
我认为某一问题的解决不只是只有一种方法，而是有多种，其中你的方法也应是一种，但我们这些人认为正确是不顶用的，没有专家们的认可是不行的。可专家们不知都干什么去了，他们对这些难题不但不研究，而且还一再的反对别人研究。所以我认为他们的学风是错的，他们的人品也是错误。生怕别人超过自已嘛。
任何问题没有人是不可能解决的，在人没有解决之前，不可能有机器解决难题的事情。1976年的阿贝尔所谓用电子计算机证明了猜测，只不过是错助计算机对两千多个图进行的4—着色，是对猜测的验证而已。计算机不能证明猜测，但可以给图着色，因为人可以给图着色，人把着色的方法编成程序教给计算机，要它代替人进行着色是完全可以的，与人叫计算机做别的事是一样的。
你的文章，我还没有过细的看，现提出几个问题与你共同讨论。
1、你的文章实际上只是证明了平面图中不存在顶点数大于等于5 的团，也就是说平面图中的团都是顶点数小于等于4 的团，所以平面图的密度都是不大于4 的，这也是人所共知的，是早已被证明了的。
2、猜测的原意是任意平面图的色数都是小于等于4 的，即任何平面图着色时最多四种颜色就够用了。可你对猜测的证明却是只用了极大图，且是密度为4的极大图（即其中有许多个顶点数是4 的团），可以说你只证明了密度是4 的极大图着色时，用且一定要用四种颜色。还有一种极大图的密度是3 ，其色数也是4，你却没有证明。总之你没有用任意的图，就不能说明你证明了“任何平面图的色数都不大于4”的猜测是正确还是不正确。
3、你说，中国地图中由于存在宁夏这样的只与三个省区相邻的省区，世界地图中也存在巴拉圭等这样的只与三个国家相邻的国家，所以着色时一定要用四种颜色，这只能说你只针对这两个地图来说是正确的。但有些地图中不存在一个区划与三个区划相邻的区划时（即其对偶图的密度是3时），着色时该用几种颜色呢，可你并没有说。实际上某张地图中只要存在一个区划与奇数个区划相邻的区划（不管其对偶图的密度是几），这张地图着色时，也一定要用到4 种颜色。
4、证明猜测的前提是“图是任意的”，而你用的图只是密度为4 的极大图，不是任意的，尽管你的图中的顶点可以是无穷多的，但你的图却不是任意的。所以你只得出了在你的图的范围内用且一定要用四种颜色的结论，而四色猜测的结论却是任意平面图的色数都不大于4，即小于等于4 。你的这种方法，我也使用过，但我总认为是不太合适的。
5、你对中国地图的4—着色实际上是错的，你忘记了图中还有一个“所有外国”这个面，你把与“外国”的相邻省区都已点用完了a、b、c、d四种颜色（新疆，云南，海洋着了a色；黑龙江，辽宁，甘肃，西藏着了b色；吉林，广西着了c色；内蒙古着了d色），那么这个面就只好着第五种颜色了，这是不对的。实际上，把“外国”和“海洋”也都看成是省区级区划时，这一张中国地图仍只用四种颜色就够了，为了把海洋和外国与中国的省区区分开来，再把外国和海洋改着另外两种颜色即可。但这并不影响四色猜测的正确，因为海洋和外国所用的颜色是后来改着的。请看我在《数学中国》网的《基础数学》栏的“哥猜等难题”栏目中发表的我的《四色问题与欧拉公式》一书连续发表之七和之一○四中的中国地图的着色模式。
就只看到了这几个问题， 以后再说吧。若说得不对，请批评指正。
                               雷  明
                     二○一二年五月二十二日于长安
卢先生接到我的回复后，回复说的确有的地图是要用五种颜色的，且画了一张含在两个湖泊的地图，每个湖都与别的国家相邻，他要求把两个湖泊着成同一种颜色，这张地图是要用五种颜色的，他认为这就是五色定理。
5 月30日我回复：
卢先生，一星期没有在家，迟回复了。地图四色问题说的是图中没有“一国多地”的情况，你这张地图，相当于是一图三地的情况，两个小园圈是湖水，最外面的无限面是海洋，如果一定要把两个湖水和海洋都着成同一颜色时，那当然这张地图一定要用五种颜色。但如果把湖水，海洋，陆地国家都看成是同等的区域且不存在“一国多地”时，你所画的这张地图四种颜色一定够用了，你可以试试。四色问题说的是广义的地图，一个区域就是一个区域，而你所画的地图是一个具体的地图，具体的地图就有自已特殊的情况，有些地图四种颜色是不一定够用的。但这并不影响四色猜测的正确，因为多余四种的颜色是改着的。你也可以试一试，在把每个区域都看成同等的区域进行着色时，一定是四种颜色，但你为了把两个小园圈着成相同的颜色，就得再进行改动，这时改动的结果就成了五种颜色了。但不能因为这个就说四色猜测是错误的，因为你对该地图着色的前提与猜测原本的前提是不相同的。雷明，2012，5 ，30，
紧接着我又补充到：卢先生，忘了一事，尽管有些具体地图需要用多于四种的颜色，但你不能把它就叫做“五色定理”，赫渥特的所谓“五色定理”也是针对广义的地图而言的，在那里也不存在“一国多地”的特殊情况，一个区域就是一个区域。雷明
今天我又收到卢先生给我发来了他的《四色定理的简便证明》，与前一模一样，几乎只字未动，并说“请你给我看看我证明的四色定理是否完备”，所以我又给了以下的回复。
5月31日我回复：
卢先生，在2008年时，我看到你的《四色定理的简便证明》，已经给你写了一个《答卢玉成先生》的回复，发表在《数学中国》网的“哥猜”栏里，不知你看到了没有；这次你又给我的信箱里发来了同样的文章，我同样给你有了回复，也不知你看了没有；今天我又收到了你的同样的《四色定理的简便证明》一文，主要的内容还是与前两次一模一样的。你一次次的叫我提出意见，又一次次的把原文原封未动的发过来，不知道是为了什么，我也不知道我对你所提出的意见，在你眼里认为是对的呢还是不对的呢。
最近还有一个叫APB先生的朋友，在网上也发表了与你的观点相同的论点，不过他没有你的文章的说理性强，我就在这里给你俩一个共同的回复。
四色问题原是一个对地图的面的着色的地理学问题，现在早已变成了一个对平面图的顶点着色的数学问题了。地图是平面图，但只是一种特殊的平面图，即地图是一个所有顶点都是三度顶点的正则图，这些三度顶点就是平时人们所说的“三不管地区”。平面图的对偶图仍是平面图，那么地图的对偶图也一定是平面图，但它也只是平面图中的一种特殊的图，即地图的对偶图是一个所有面都是三边形的极大图。从这里可以看出，对地图的面上的着色显然就等于是给其对偶图的顶点着色，这样一来，一个地理问题就变成了一个数学问题了。显然，数学中的平面图四色问题比地理学中的地图四色问题更文泛，地图四色问题只是平面图四色问题中的一部分，只是一个子集合。数学中的四色问题针对的任意的平面图，而地理学中的四色问题只是针对着3—度正则的平面图（地图），地图的对偶图也只是针对着极大的平面图。所以说数学中的四色问题研究得更加广泛，研究好数学中平面图的四色问题，地理学中的地图四色问题也就迎刃而解了。因些，建意不要再对地图（平面图）的面去进行着色了，而要去研究平面图的顶点着色的色数。
你们俩人共同都认为平面图中不存在大于等于五的两两均相邻的面或顶点，所以你们也就共同都认为任何地图的色数或任何平面图的色数一定都是4，这种提法是不正确的。应该说是任何地图的色数或任何平面图的色数一定都不大于4，这才是四色问题的原本提法。的确，有的地图或平面图的色数的确实是小于4 的。你们共同认为地图中只要有一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中只要有一个K4团，那么这张地图的色数一定是4，这种说法也是不正确的。如果一张地图中不存在一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中不存在K4团，但该地图中却存在着某个区域周围有大于3的奇数个区域与之相邻，或者一个平面图中却存在着轮幅数大于3的奇轮时，这张地图或这个平面图的色数却一定也是4（如果不存在某个区域周围奇数个区域与之相邻，或者一个平面图中不存在轮幅数大于3的奇轮的地图或平面图的色数才是3）。所以说你们上面说的“地图中只要有一个区域周围有三个区域与之相邻，或者一个平面图中有一个K4团，那么这张地图的色数一定是4”的说法是不正确的。
四色问题说的是任意的地图或任意的平面图的色数一定不大于4，而你们却是从一个极大的K4图开始，在一个个的三边形面中增加一个顶点，认为这个顶点一定有不同于与其相邻的其它三个顶点的第四种颜色可以给其着上，无限增加顶点，仍是这样，认为顶点增加到无穷，就证明了四色猜测是正确的。你们想没想到，尽管你们的图的顶点数有无穷多个，但它仍然只是一种极大图（图中的面都是三边形），而不是任意的图。可能你们还会说，极大图四种颜色够用了，其它的非极大图四种颜色也一定够用了，因为极大图的顶点相邻关系是最复杂的。这种说法是不错，但你们想没有想到，你们的证明开始时，只是用了一个极大图K4，然后再在极大图的面中增加顶点，一步一步的向后推，最后得到的还是极大图，而不是从一开始就直接给出的是任意平面图。所以说，你们还是没有能对猜测进行证明的，仍然不能说猜测就是正确的。
卢先生给了我一个自已画的有“一国多地”的地图，认为这个地图一定要用五种颜色才能着色，他就把这种情况叫做五色定理，这也也是不合适的。四色问题中，一个区域就是一个区域，不存在几个区域一定要着成同种颜色的情况；平面图的一个顶点就是一个顶点，也不存在某几个顶点非得要用同一种颜色的情况。四色问题研究的是广义的地图，而对于具体的地图来说，四种颜色可能够用，也可能不够用，这在实际地图着色中是常常可以看到的。坎泊的所谓“正规地图”说的就是指广义的地图，是一个3—度正则的平面图，即“没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点”，当然也不会含有“一国多地”的情况了。所以说，研究四色问题要从广义的地图或任意的平面图出发，不能只针对具体的地图和个别的平面图。具体的地图着色时，可能四种颜色不一定够用，但不能因为这一点就说明四色猜测就不正确，因为你用的图是一个特殊的图，而不是一般的图。
卢先生所着色的中国地图，我在前几天给你的回复时已经说了，是不对的。中国地图虽是一个具体地图，但如果把所有外国统一看成相当于一个省，把海洋也同样的对待，则四种颜色一定够用。由于海洋与陆地不同，要改一种颜色，国境线以外的外国也要用可区别于国内各省的颜色，海洋又与外国连邻，所以一张中国地图一定要用六种颜色才能区分，但所增加的两种颜色是改着的，如果再改回去，一张中国地图仍是只用了四种颜色。可你所着的中国地图，把海洋看成一个省后，也着了四种颜色，但外国还没有着。这时所有与外国有边界线的省（包括海洋）已用了四种颜色，你有没办法把外国着上已用过的四种颜色之一，只得用五种颜色。虽然把海洋的颜色改成别色后，全图仍是六种颜色，但若把外国和海洋都看成省后，你没有把全图只着上四种颜色，所以你的着色是不对的。产生这一现象的原因是你在着色前，没有把外国也看成是一个省。
雷  明
                  二○一二年五月三十一日于长安