[讨论]:两个相等的集合

雷明85639720

两个相等的集合
雷  明
（二○一一年八月二十五日）
我们在《素数与“1＋1”小议》一文中认为计数单位“1”也是属于奇素数，在这种情况下，若把奇素数集合中的任何一个无素都与别的元素相加一次，包括其自身相加的一次在内，可以得到可数个其中所有的元素都是偶数的可数集合。按可数集合的性质，这些可数集合的并集也一定是一个可数集合。现在只要证明这个并集就是所有偶数构成的集合，就可得到任何偶数都是两个奇素数的和的结论。本文就是要证明这两个集合相等或者说这两个集合就是同一个集合。
把上面提到的那个并集用A表示，把所有偶数构成的集合用B表示，已知它们都是可数的无穷集合，并有一一对应的关系，即有A～B，现在要证明的是A＝B。很明显，B一定包含A，所以现在只要证明A也包含B就行了。
B中的偶数有无穷多个，A中的偶数也有无穷多个，所以无论是A还是B，其元素的个数都与自然数的个数一样多，这是因为他们都是与自然数集合等势的可数集合。因此，A与B的一一对应，就应是两集合中具有相同数值的偶数可以进行互相配对。按这一思路，对A与B是同一个集合（即A＝B）的证明如下：
1、采用A与B中的元素相互配对的证明方法（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则在把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有的偶数，即A也包含B。
2、采用对A中元素进行排队的证明方法（反证法）：
根据定理“集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X中的元素按一定的法则f，连续的进行编号：如X＝｛x1，x2，……xn，……｝”。
这就使集合X中的元素与自然数集合中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，这样A也就可与自然数集合N建立起了一一对应的关系。
如果上面得到的那个并集A就是所有偶数的集合，则其与自然数集合N的一一对应法则f应是
         f：  an ＝ f（n）＝ 2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数。如果A中有多处甚至无穷多处都存在缺少若干个（比如λ个）偶数，这时，集合A与自然数集合N的一一对应法则f则将是由若干个以至无穷个法则构成：即
f1：an＝f1（n）＝2n，    （n≥1，n是自然数）
    ………………
fn：an＝fn（n）＝2n＋2λ （n≥1，λ≥1，n，λ均是自然数）
………………
这时集合A也就被分成了若干个甚至无穷个子集合A1，A2，……，An，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2，……，直到fn。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有偶数的集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝2n（n≥1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说 A1和B就是同一个集合，即A1也是一个可数集合，其中就已经包括了所有的偶数。因为A1是A的子集合，所以A中也就包括了所有的偶数，也就有A包含B。所以A也是所有偶数的集合。
在这里的子集合A1就是集合A本身（定理：任意集合都是它自身的子集合），A中包含了所有的偶数在内，一个也不缺少；而A的另外一些子集合A2，A3，……，An，则是若干个以至无穷个空集合Φ（定理：空集合是任意集合的子集合），其中没有任何元素。这与上面所假设的“如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数”的前提就产生了矛盾，应该否定假设。到此也就证明了B中的元素也一定都是属于A，即A也包含B，也即B是A的子集合。
    前边有：A中的元素一定都是属于B，即B包含A，也即A是B的子集合（已知）；
现在这里又有：B中的元素也一定都是属于A，即A也包含B，也即B是A的子集合；
我们知道：两个集合相等或者是同一个集合的充要条件是：两个集合互为子集合（也即两个集合互相包含）。这样就有集合A与集合B是同一个集合或者说A与B相等，即A＝B。A与B两集合相等也就说明A、B两集合中的元素全部相同。
到此，就证明了A是包含了所有的偶数。到此也就证明了上面得到的并集A也是所有偶数的集合。到此也就证明了集合A与集合B相等。到此，也就证明了哥德巴赫猜想是正确的。


雷  明
二○一一年八月二十五日于长安
   

注：此文已于二○一一年十月十三日在《数学中国》网上发表。