偶数分成两个素数的分法数的变化规律——忽高忽低现象

愚工688

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偶数分成两个素数的分法数的变化规律——忽高忽低现象
一）一个偶数分成两个素数的分法数量可以看作一个概率问题的数学原理
教科书中关于概率事件的乘法原理：
设有事件A 与B ，如果
P(A*B)=P(A)*P(B)
那么我们就称事件A与B为相互独立。
……
由事件独立性的定义，容易推得：……如果A与B相互独立，那么A与B排相互独立，那么A与B排相互独立，A排与B相互独立，及A排与B排也相互独立。（A排，B排各表示A，B上面有一横，Word 中我打不出来该符号，抱歉）
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
对于事件A1，A2，…，An，……
如果A1，A2，…，An互相独立，那么
P(A1*A2*…*An)= P(A1)P(A2)…P(An).    注：该式即为概率乘法原理的推广公式。
偶数M分成两个整数的数学模式：
把偶数M分成两个整数，采用A-x与A+x的方式来表达。在这一方式中，A = M/2为给定值，因而偶数M分成两个素数的分法数量取决于在区间[0，A-3]里面有多少个变量x值可使A-x与A+x同为素数，这样就用一个变量x在偶数M所分成的两个数之间建立了关系。
判断偶数M所分成的A-x 与 A+x 两个数是否都是素数，依据艾拉托尼筛法，可有如下2个条件：
条件a ：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为小于或等于根号（M-2）的最大素数, 下同。]
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x虽然能被其中某个素数整除但商为1，两个数也都是素数；
若把偶数M的符合条件a的x值在自然数区间[0，A-3]里面的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
     S(m)=S1(m)+S2(m)                                        （式1）
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a ，可看成变量x符合某种由A所限定条件的数，其在自然数区间[0，A-3] 中的分布规律，实际上可归结为一个概率问题：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
由于自然数列的数除以不同素数所得到的余数相互独立，因此依据概率独立事件乘法原理的推广公式，符合条件a：除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的x值的分布概率P(m) 有
    P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
        =P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)                             {式2}
故在[0，A-3] 中使偶数Ｍ分成两个符合‘条件a’的素数的x值的概率计算值Sp(m)，有：
    Sp(m)=(A-2)*P(m)
           = (A-2)* P(2*3*…*n*…*r)
           =(A-2)* P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
           =(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；                    {式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时] 。In系A除以n时的余数。
在{式3}中，f(n)的值是与n能否被偶数整除有密切的关系，这个就是本题要讲述的分法数忽高忽低的现象。
偶数M分成两个素数的分法数量S(m)及S1(m)值变化的主要的特征系数——K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为  P(m)min，则有
P(m)min =（1/2） * （1/3 ）* …*（(n-2)/n ）* …*（(r-2)/r）；        {式4}
其与该偶数的x值满足于条件a的事实上的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min；                                                {式5}
式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；
3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
很显然：对于可能成为偶数的≤r的所有素数因子来说，
k3=(3-1)/(3-2)=2；k5=(5-1)/(5-2)=4/3；k7=(7-1)/(7-2)=1.2；……
因此，有：2≥k3＞k5＞k7＞……＞kr＞1；                   {式6}
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
          Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min  ；                        {式7}
由{式6}可以知道：含有素数因子3 偶数M，它的K(m)值必然大于或等于2，其对S1(m)的影响远远大于其它的素数因子的影响。因此K(m)值描绘出了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变。
至于偶数M所含有的除3外的素数因子的递加因素能否改变S1(m)值变化的周期性的脉动式突变的现象？下面的分析将告诉你：
k5*k7=（4/3)(6/5)=1.6 ，其在偶数中的出现频率为1/35；
k5*k7*k11=（4/3)(6/5)(10/9)=1.78  ，其在偶数中的出现频率为1/385；
k5*k7*k11*k13=（4/3)(6/5)(10/9)(12/11)=1.94 ，其在偶数中的出现频率为1/5005；
k5*k7*k11*k13*k17=（4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)=2.07,其在偶数中的出现频率为1/85085；（85085×2=170170，见下面）
……
因此，其它素数因子的递加因素也改变不了以含有3因子的偶数的周期性的脉动式峰值，最多偶尔出现与含有3因子的偶数的分法相近的现象，而含有3因子的偶数递加其它素数时将加剧峰值的值。
偶数210，420，630，840……等的分法数数据说明了这一点。
M= 208     S(m)= 7     S1(m)= 6    Sp(m)= 5.5      E(m)=-.08   K(m)= 1.09    r= 13
M= 210     S(m)= 19    S1(m)= 17   Sp(m)= 16.3     E(m)=-.04   K(m)= 3.2     r= 13
M= 212     S(m)= 6     S1(m)= 5    Sp(m)= 5.14     E(m)= .03   K(m)= 1       r= 13
M= 418     S(m)= 11    S1(m)= 10   Sp(m)= 9.51     E(m)=-.05   K(m)= 1.18    r= 19
M= 420     S(m)= 30    S1(m)= 28   Sp(m)= 25.98    E(m)=-.07   K(m)= 3.2     r= 19
M= 422     S(m)= 11    S1(m)= 9    Sp(m)= 8.16     E(m)=-.09   K(m)= 1       r= 19
M= 628     S(m)= 16    S1(m)= 15   Sp(m)= 11.12    E(m)=-.26   K(m)= 1       r= 23
M= 630     S(m)= 41    S1(m)= 37   Sp(m)= 35.7     E(m)=-.04   K(m)= 3.2     r= 23
M= 632     S(m)= 10    S1(m)= 8    Sp(m)= 11.19    E(m)= .4    K(m)= 1       r= 23
M= 838     S(m)= 17    S1(m)= 15   Sp(m)= 14.86    E(m)=-.01   K(m)= 1       r= 23
M= 840     S(m)= 51    S1(m)= 47   Sp(m)= 47.68    E(m)= .01   K(m)= 3.2     r= 23
M= 842     S(m)= 18    S1(m)= 15   Sp(m)= 14.94    E(m)= 0     K(m)= 1       r= 23
M= 844     S(m)= 17    S1(m)= 14   Sp(m)= 13.94    E(m)= 0     K(m)= 1       r= 29
M= 170168  S(m)= 929   S1(m)= 921  Sp(m)= 979.18   E(m)= .06   K(m)= 1.02    r= 409
M= 170170  S(m)= 1902  S1(m)= 1882 Sp(m)= 1994.2   E(m)= .06   K(m)= 2.07    r= 409
M= 170172  S(m)= 1937  S1(m)= 1920 Sp(m)= 2011.84  E(m)= .05   K(m)= 2.09    r= 409
M= 170174  S(m)= 947   S1(m)= 938  Sp(m)= 964.02   E(m)= .03   K(m)= 1       r= 409
M= 170176  S(m)= 924   S1(m)= 914  Sp(m)= 964.03   E(m)= .05   K(m)= 1       r= 409
M= 170178  S(m)= 1892  S1(m)= 1876 Sp(m)= 1953.26  E(m)= .04   K(m)= 2.03    r= 409
概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)
我们可以求得任意大的偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值的概率计算值Sp(m)，但其与实际的值S1(m)不是完全相等的，而是存在一定的偏差，因此，对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ(m)来表达：
δ(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m)；                                     {式8}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]                                    {式9}
在实际的计算中，用电脑是很容易进行的。
部分偶数区间内偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
偶数6-10000
E(m):           <-.3)[-.3,-.2)[-.2,-.1) [-.1,.1] (.1,.2]  (.2,.3]  (.3,.4]   >.4
----------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 1000 ]       3      17       90       326      39      13       8        2
[ 1002 , 2000 ]    0      4        68       399      25      3        1        0
[ 2002 , 3000 ]    0      0        49       431      18      2        0        0
[ 3002 , 4000 ]    0      0        21       457      21      1        0        0
[ 4002 , 5000 ]    0      0        8        471      20      1        0        0
[ 5002 , 6000 ]    0      0        19       472      9       0        0        0
[ 6002 , 7000 ]    0      0        14       475      11      0        0        0
[ 7002 , 8000 ]    0      0        8        483      9       0        0        0
[ 8002 , 9000 ]    0      0        7        480      13      0        0        0
[ 9002 , 10000 ]   0      0        4        492      4       0        0        0
----------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 10000 ]      3      21       288      4486     169     20       9        2

上面的数据是由电脑运算得到，每一个数据都可以单独列出具体的偶数验证。
同时得到对上面各区间偶数的相对误差的统计计算结果如下：（E1：平均相对误差，E2：标准偏差）
M=[ 6 , 1000 ]    R= 31   n= 498   E1=-.02   E2= .13   E(min)=-.5    E(max)= 1.286
M=[ 1002 , 2000 ]  R= 43   n= 500   E1=-.02   E2= .08   E(min)=-.221  E(max)= .378
M=[ 2002 , 3000 ]  R= 53   n= 500   E1=-.03   E2= .06   E(min)=-.192  E(max)= .26
M=[ 3002 , 4000 ]  R= 61   n= 500   E1=-.01   E2= .06   E(min)=-.187  E(max)= .222
M=[ 4002 , 5000 ]  R= 67   n= 500   E1=-.01   E2= .05   E(min)=-.132  E(max)= .211
M=[ 5002 , 6000 ]  R= 73   n= 500   E1=-.02   E2= .05   E(min)=-.161  E(max)= .197
M=[ 6002 , 7000 ]  R= 83   n= 500   E1=-.02   E2= .05   E(min)=-.162  E(max)= .18
M=[ 7002 , 8000 ]  R= 89   n= 500   E1=-.01   E2= .05   E(min)=-.143  E(max)= .158
M=[ 8002 , 9000 ]  R= 89   n= 500   E1= 0     E2= .04   E(min)=-.134  E(max)= .173
M=[ 9002 , 10000 ] R= 97   n= 500   E1= 0     E2= .04   E(min)=-.144  E(max)= .193
--------------------------------------------------------------------------------------
M=[ 6 , 10000 ]   R= 97   n= 4998  E1=-.01   E2= .07   E(min)=-.5    E(max)= 1.286
标准偏差 E2=√(∑E^2/n).这也很容易验证。例如：
M=[ 6 , 10 ]      R= 2    n= 3     E1=-.25   E2= .2    E(min)=-.5    E(max)= 0
M=[ 12 , 20 ]     R= 3    n= 5     E1= .13   E2= .19   E(min)=-.167  E(max)= .333
[ 6 =]:  3 + 3  
M= 6          S(m)= 1     S1(m)= 1    sp(m)= .5       E(m)=-.5     K= 1      r= 2
[ 8 =]:  3 + 5  
M= 8          S(m)= 1     S1(m)= 1    sp(m)= 1        E(m)= 0      K= 1      r= 2
[ 10 =]:  5 + 5   3 + 7  
M= 10         S(m)= 2     S1(m)= 2    sp(m)= 1.5      E(m)=-.25    K= 1      r= 2
[ 12 =]:  5 + 7  
M= 12         S(m)= 1     S1(m)= 1    sp(m)= 1.33     E(m)= .333   K= 2      r= 3
[ 14 =]:  7 + 7   3 + 11  
M= 14         S(m)= 2     S1(m)= 1    sp(m)= .83      E(m)=-.167   K= 1      r= 3
[ 16 =]:  5 + 11   3 + 13  
M= 16         S(m)= 2     S1(m)= 1    sp(m)= 1        E(m)= 0      K= 1      r= 3
[ 18 =]:  7 + 11   5 + 13  
M= 18         S(m)= 2     S1(m)= 2    sp(m)= 2.33     E(m)= .167   K= 2      r= 3
[ 20 =]:  7 + 13   3 + 17  
M= 20         S(m)= 2     S1(m)= 1    sp(m)= 1.33     E(m)= .333   K= 1      r= 3
在上面的论述中，我讲了由偶数M所含有的素数因子所决定的K(m)值描绘出了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变，在附件的折线图上面，可以清晰地看到这一点。
在实际上，大家已经发现，偶数的分法数除了有忽高忽低现象外，还有偶数越大，其最少的分法数也在逐步增加，这个怎么解释呢？
            把{式9}代入{式1}，可得
         S(m) = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)] + S2(m)           
             =S2(m)+(A-2)*K(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n-2)/n]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)]          ‘P(m)min 的展开
             = (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n1-2)/n1]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)] + S2(m)  ‘引入小于r 的非素数的全部奇数因子
             = (A-2)*K(m)*F(m)*(1/2)*(1/r) /[1+δ(m)] +S2(m)                           ‘约分
             = [(A-2)/2r]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)
            = [(M-4)/4 r ]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)            
即    S(m)  = [(M-4)/4 r ]*K(m)*{F(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)                        {式10}
式中：3≤n1≤r 、n1为奇数。F(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2 ，…
在{式10}中：
    S2(m)≥0  ；
    [(M-4)/4r]=[M/4r－1/r]，在M→大时，r 也逐步趋大，1/r 很快的接近0，对于以整数计数的分法数来讲可以忽略，故 [M/4r－1/r]≈M/4r≥√M/4 ；
K(m)≥1，它对分法数的影响前面已经论述；
对F(m)/[1+δ(m)] 的值分析如下：
分母[1+δ(m)]的值如前面分析过的那样，与1相差不多；而F(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数的增大，r的逐步变大，F(m)值将越来越大，这是必然的。
偶数所对应的F(m)值的计算也是很容易得到的。如下为偶数 6——516962 的对应F(m)值的摘录：
6 -- 10              r=  2      sp(m)min= .5            F(m)= 1
12 -- 26             r=  3      sp(m)min= .67           F(m)= 1
28 -- 50             r=  5      sp(m)min= 1.2           F(m)= 1
52 -- 122            r=  7      sp(m)min= 1.71          F(m)= 1
124 -- 170           r=  11     sp(m)min= 3.5           F(m)= 1.285714
172 -- 290           r=  13     sp(m)min= 4.16          F(m)= 1.285714
292 -- 362           r=  17     sp(m)min= 6.28          F(m)= 1.483516
364 -- 530           r=  19     sp(m)min= 7.02          F(m)= 1.483516
532 -- 842           r=  23     sp(m)min= 9.4           F(m)= 1.639676
844 -- 962           r=  29     sp(m)min= 13.94         F(m)= 1.924837
964 -- 1370          r=  31     sp(m)min= 14.88         F(m)= 1.924837
1372 -- 1682         r=  37     sp(m)min= 20.11         F(m)= 2.173203
1684 -- 1850         r=  41     sp(m)min= 23.44         F(m)= 2.290673
1852 -- 2210         r=  43     sp(m)min= 24.58         F(m)= 2.290673
……
97972 -- 100490        r=  313    sp(m)min= 602.5         F(m)= 7.703429
    100492 -- 109562       r=  317    sp(m)min= 612.98        F(m)= 7.752652
……
299212 -- 310250       r=  547    sp(m)min= 1555.88       F(m)= 11.338438
    310252 -- 316970       r=  557    sp(m)min= 1597.78       F(m)= 11.504265
……
491404 -- 502682       r=  701    sp(m)min= 2358.72       F(m)= 13.407416
    502684 -- 516962       r=  709    sp(m)min= 2387.73       F(m)= 13.522173
显然，大偶数的F(m)/[1+δ(m)]的值是必然大于1的。它告诉我们：
大偶数的分成两个素数的分法数量大于√M/4 ；
其最低的分法数，在(√M/4 )*F(m)/[1+δ(m)]以上,这里的相对误差δ(m)取正误差0.1,(在上面实际的统计中,大偶数的δ(m)很少大于0.1,且考虑S2(m)有冲减正误差的作用.故取0.1应该足够了.)
分成两个素数的分法数的周期性的脉动式峰值由含有3因子的偶数产生。
S2(m)≥0  对大偶数的分成两个素数的分法数量S(m)来说，可以忽略不计。
（由于S2(m)相对于S1(m)，比较小，其没有相对误差δ的影响大，仅仅能够起冲减相对误差δ的正误差的作用.）