关于大O小o的基本知识

qingjiao

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/03/12 11:43am 第 1 次编辑]



为何大O项的系数如无特别说明可以是+/-任意大？
因为一般来说，数学家关注的是x-->∞时，f(x)-->?
如果存在g(x)-k*r(x)<=f(x)<=g(x)+k*r(x)，且已确定r(x)比g(x)低阶，也就是比g(x)增长更慢，那么无论k取多么大的数，当x超过某个数值M时，必有g(x)>r(x)，而且x越大，g(x)比r(x)大得越多，x-->∞时，f(x)/g(x)-->1。那么我们就说f(x)与g(x)在x-->∞时等价，记作f(x)~g(x)。
显然无论多么大的k和M，相比于趋向无穷大的x都是微不足道的。换言之，k*r(x)无论多大，总有更多得多的g(x)比它大得多，因此系数k的值一般来说是无关紧要的，可以忽略不写，或者不求出来。这样就记作：f(x)=g(x)+O(r(x))
当然有时候，数学家为了使结果精确一些，会设法求出一个k值。此时他会特别说明，而且多数情况下，这个k值也是近似的，粗略的。
如果将f(x)=g(x)+O(r(x))理解为仅仅是g(x)-r(x)<=f(x)<=g(x)+r(x)，不仅荒谬，而且不合理。例如数学家求出某个f(x)的范围是g(x)-10000*r(x)<=f(x)<=g(x)+10000*r(x)，那么用大O项仍表示为f(x)=g(x)+O(r(x))，刘丹先生却说只能是g(x)-r(x)<=f(x)<=g(x)+r(x)，呵呵~~~~~~~
当然，我们在举例时，为简单起见，一般取k=1。

LLZ2008

qingjiao 先生，您好！
       先生曾点名要我证有关小区间的素数问题，我现在得到的小区间素数的结果：“区间（n-2√n,n］至少有两个素数”。我查了一下，可能是这方面领先的结果。这个结论的证明，我可以说是完善的，也是巧妙的，并且是特别初等的。您难道不想分享一下，并发表您的高见！

ysr

qingjiao

下面引用由LLZ2008在 2011/03/12 00:43pm 发表的内容：
qingjiao 先生，您好！
       先生曾点名要我证有关小区间的素数问题，我现在得到的小区间素数的结果：“区间（n-2√n,n］至少有两个素数”。我查了一下，可能是这方面领先的结果。这个结论的证明，我可以说是　...

李联忠先生，类似这种巧妙的初等“证明”，我N年前就得到了。因为知道它的理论基础有致命缺陷，所以N-1年前就放弃了。理由已经在以前的帖子中提到过。
许多从事初等证明的爱好者，没有能力发现自己的错误，一味偏执地认为主流数学界打压他们，这只能浪费他们的时间和生命。他们有那么多时间抱怨，却没有半点时间给自己补补课，这样的话是没有什么好说的。

LLZ2008

qingjiao 先生，您好！
       您说：“类似这种巧妙的初等证明，我N年前就得到了。因为知道它的理论基础有致命缺陷，所以N-1年前就放弃了。理由已经在以前的帖子中提到过。”我觉得替您遗憾。
     您说：“ 许多从事初等证明的爱好者，没有能力发现自己的错误，一味偏执地认为主流数学界打压他们，这只能浪费他们的时间和生命。他们有那么多时间抱怨，却没有半点时间给自己补补课，这样的话是没有什么好说的。”数学爱好者也好，专业数学人士也好，几斤几两各自自己最清楚。我相信在现代条件下，查点知识，是再容易不过了，真正领会，用得好那又是另一回事。
     
  

申一言

    种瓜得瓜，
    种豆得豆，
    种下真数，
    才有纯数！

尚九天

下面引用由申一言在 2011/03/12 11:15pm 发表的内容：
    种瓜得瓜，
    种豆得豆，
    种下真数，
    才有纯数！

    种下个瓢，收个葫芦！

ysr

[这个贴子最后由ysr在 2011/03/13 02:55pm 第 1 次编辑]


素数小区间分布不仅专家可以有结论，李老师的可能正确，有意义，支持！

LLZ2008

下面引用由ysr在 2011/03/13 02:53pm 发表的内容：
素数小区间分布不仅专家可以有结论，李老师的可能正确，有意义，支持！

ysr 先生，您好！
    感谢您一直对我的鼓励和支持。好朋友，我可以肯定地对您说，“区间（n-2√n,n］至少有两个素数”结论是正确的，证明是严密的，这个证明仅用了数学归纳法。