对哈代公式的一点改进

小草

            对哈代公式的一点改进
        哈代孪生素数公式是：
                1.32032236316937x/(lnx)^2
        但是为什么总是比不上哈代孪生素数积分公式，其实我们仔细研究一下就会发现上面这个公式还缺少这样一个因子，这个因子就是
                (∫2,x  1/(lnx)^2) / (x/(lnx)^2)
        虽然这个比当x→∞无穷时等于1，但是这个比始终大于1.经过计算这个比当x→∞时应该是近似1+2/lnx.我们有
    x            (∫2,x  1/(lnx)^2) / (x/(lnx)^2)               1+2/lnx
   10^1          1.94203225900671                               1.8685889638065
   10^2          2.17413875450153                               1.43429448190325
   10^3          1.6550717956432                                1.28952965460217
   10^4          1.37629894743512                               1.21714724095163
   10^5          1.2535802724216                                1.1737177927613
   10^6          1.19234985082035                               1.14476482730108
   10^7          1.15606737426755                               1.12408413768664
   10^8          1.13173958056715                               1.10857362047581
   10^9          1.11412943535551                               1.09650988486739
   10^10         1.10073419904183                               1.08685889638065
   10^11         1.09018183549403                               1.07896263307332
   10^12         1.08164584219524                               1.07238241365054
   10^13         1.0745948034507                                1.06681453567742
   10^14         1.06867021138092                               1.06204206884332
   10^15         1.06362095548607                               1.05790593092043
   10^16         1.05926570555569                               1.05428681023791
   10^17         1.05547015065421                               1.05109346845921
   10^18         1.05213050828296                               1.04825494243369
         当x→∞时1+2/lnx→1,这真是我们所要求的.命T(x)是不大于x 的孪生素数的对数
    x          1.32032236316937*1+2/lnx            T(x)/(x/(lnx)^2)        
   10^1          2.4671397964852                  1.06037962216097
   10^2          1.89373107982729                 1.69660739545756
   10^3          1.70259484094132                 1.67009790508063
   10^4          1.60702672149833                 1.7390225807128
   10^5          1.54968584983254                 1.62238082190629
   10^6          1.51145860205534                 1.55920340388567
   10^7          1.48415342507163                 1.53225915786757
   10^8          1.46367454233385                 1.4940731908273
   10^9          1.44774652242669                 1.47066693332481
   10^10         1.43500410650095                 1.45339230993251
   10^11         1.42457849347081                 1.43943892336265
   10^12         1.41589048261235                 1.42814192305058
   10^13         1.40853908880905                 1.41881887802702
   10^14         1.4022378941205                  1.41099112451659
   10^15         1.39677685872375                 1.40432477791709
   10^16         1.39199845275161                 1.39857396978824
   10^17         1.38778221218795                 1.39356304192759
   10^18         1.38403444279802                 1.38915274018405
   10^19         1.38068117544916
   10^20         1.37766323483517
   10^21         1.37493271713679
   10^22         1.37245042832009
   10^23         1.37018399070484
   10^24         1.36810642289086
                  新公式                                                        哈代公式
    x           1.32032236316937*1+2/lnx*x/(lnx)^2     T(x)                   1.32032236316937*x/(lnx)^2
   10^1       4.65331423751308                       2                      2.49028241519759
   10^2       8.92949581569669                       8                      6.22570603799398
   10^3       36.0582569738862                       35                     27.6698046133066
   10^4       189.440023126166                       205                    155.64265094985
   10^5       1169.15551181521                       1224                   996.112966079038
   10^6       7918.8547750858                        8169                   6917.45115332664
   10^7       57128.3053269832                       58980                  50822.0901060733
   10^8       431353.342688147                       440312                 389106.627374624
   10^9       3371134.91857804                       3424506                3074422.73481184
   10^10      27065855.9745779                       27412679               24902824.1519759
   10^11      222059642.297337                       224376048              205808464.065916
   10^12      1854538241.02853                       1870585220             1729362788.33166
   10^13      15719937742.4537                       15834664872            14735398906.4946
   10^14      134937994297.989                       135780321665           127055225265.183
   10^15      1170882016313.06                       1177209242304          1106792184532.26
   10^16      10255749625430.6                       10304195696798         9729665684365.6
   10^17      90571611807370.6                       90948889353159         86168941702338.8
   10^18      805696343156029                        808675888577435        768605683702961
   10^19      7213645970455849.504024
   10^20      64960850158192728.69511
   10^21      588046242757278242.6260
   10^22      5348351329540682727.256
   10^23      48853067619089896624.04
   10^24      447987628670023627659.8
         作者施承忠    2010.1.17

白新岭

哈代公式把系数用成一个不变的常数，是导致不精确的原因之一，因为开始时，系数要比公式中的系数大，它是范围值根号前素数的一个连乘积形式：2∏[1-1/(Pi-1)^2]
Pi≥3,属于素数，且小于√n.

tongxinping

哈代公式中产生误差的是N/ln N ln N，不是理论推导出来的参变量而是凑一个新的参变量去修正它，是没有意义的，列表是说明不了问题的。别人会不屑一顾的。只能自娱自乐而已。而且，你说的哈代公式有错误。白新岭的补充也有问题。
根据素数定理，N→∞时，π(N)～N/ln N。
换句话说，π(N)π(N)/N～N/ln N ln N。所以，用π(N)π(N)/N去代替那个哈代公式中的N/ln N ln N将会绝对精确，当然，用π(N)π(N)/N计算会变得困难得多，但是，既然素数定理成立，这就从理论肯定了π(N)π(N)/N与N/ln N ln N之间的差别是在容许的范围内。它不属于哈代所说的“细节上没有成功”的细节。不必抠门儿。

白新岭

tongxinping先生你好，我的补充按你说，有问题，我不知道哪里有问题，（调节）系数可以反映孪生素数对的稠密度，即范围小时，要比大时出现的多（这与素数的出现是相关联的，只是素数出现的几率（概率，比例，无论那种称呼都是不符合素数出现的规律的）是1/LN(n),而两个连续素数出现的几率为1/(LN(n))^2.这只是自己的一种看法，各自都有自己对它的认识，看法。
我想与童先生讨论一下，在你的帖子中给出了一个素数个数的平方/n,你说既然有了素数定理，就可以用素数定理代替素数的个数，把这个式子写成n/[LN(n)]^2的形式，这样的代替，会导致其值变小，因为素数定理计算出来的素数个数比实际素数个数要少。
我最想知道的是素数个数的平方/n这个式子，你是如何推导，证明出来的（它的精确度与连乘积的形式步调一致，也就是说用n*∏(1-1/pi)求出的值代替素数个数，其它的不变，如果素数个数求出的值比用素数定理求出的值大，则用连乘积得出的个数计算其值，一样比素数定理求出的值大，相反一样）。

tongxinping

白新岭先生：
我有几次提醒，你回答说是自娱自乐，对于一个自娱自乐的歌者，别人还能说什么呢。悉听尊便就是尊重。
我还注意到你还没有看到过哈代－李特伍德的“1+1”猜想、“1-1”猜想、“1+1+1”猜想(从1937年起，已经称为三素数定理了。)的原始表达式以及我国在表达上的某些改变，我又没有能力在这里复制出来，抱歉！就这样吧。

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2010/01/18 04:41pm 第 2 次编辑]

的确如童信平先生之说，我没有看到过哈代的三个猜想，绕了很大的一个圈子。
不过在数学爱好者在线上和本网站上，天山草的文章里有用素数定理代替素数个数以后的1+1公式，在最近也看到过孪生素数猜想，连接：<http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/twin_prime_conjecture.php
猜想下面署名：卢昌海
这是我在寻找四胞胎素数的平均值2元加法的分布时遇到了一个问题，要想知道它的分布就必须搞清四胞胎素数组出现的次数（数量），当用孪生素数对的数目求四胞胎素数组数时，有一个值有很大分歧，在熊一兵的《概率素数论》中提供的四胞胎素数的组数为1600万之多（在10^12内），可是我计算出来的为830万多些，上下悬殊。
后来从那里连接到此网站。
不知是不是阁下说的1-1猜想。
至于1+1+1（三素数定理）到现在我也没有看到它的真正面目。
我一直在用一个普通公式=调节系数*（符合条件的元素个数）^k/n=总合成数目*t^(k-1),
调节系数=各个调节系数的积，单个条件的调节系数=条件*此条件下的合成数目/（符合该条件的元素个数）^k,  k为未知数的个数（几元为几），总合成数目=单合成数目的积，t=n/所有条件的积。
此普通公式，可以近似求任何有限条件的线性不定方程的正整数解的组数。
另外需要补充的是，当k>2时，上面的公式都需要除(k-1)!.  未知数个数去1后的阶乘。
童先生没有能力复制过来，总可以给个链接吧！还希望童先生给个链接。
至于我说的自娱自乐，那是一种非常消极的态度，这里向童先生道歉。
不过，自己的确的是在消磨时间，在没有事做的时候，自己总会找些数学题来做。

白新岭

2元时=总合成方法*t,
3元时=1/2*总合成方法*t^2,
4元时=1/(4-1)!*总合成方法*t^3,
5元时=1/(5-1)!*总合成方法*t^4,
6元时=1/(6-1)!*总合成方法*t^5.

白新岭

近日在和大傻的讨论中，大傻给出了一个哈代的奇数公式：
1/2*Π（1-1/(p-1)^2）Π（1+1/(p-1)^3）N^2[1/ln(n)]^3
连接：<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8902&start=24&#35;bottom

小草

     请白新岭先生不要上当！

申一言

   请大家清醒!