[原创]从整数解到歌猜

白新岭

[watermark]今天先谈一些简单的，大家对x+y=n的正整数解的组数都不会陌生，正好有n-1个。
如果加上一个条件，x,y不能整除2，这时显然n为奇数时无解。如果n为偶数，方程有n/2-1组正整数解。对n为奇数无解做一下分析（也可以说是证明），令x=2m-1,y=2k-1,n=2N-1.则有(2m-1)+(2k-1)=2N-1,推出2（m+k-1)=2N-1,左边为偶数，右边为奇数，所以方程无解（在n为奇数时，x,y不能整除2时）。就说到这里吧！以后会继续加条件，加元做深入的分析。[/watermark]

白新岭

上边只是一个开头，没有什么内容。现在接着分析说明一些。当x,y不能整出2，3时，即x,y只能是6k-5或6k-1类的数，用此2类进行合成运算（2元加法），会有4种结果，
（6k1-5）+（6k2-1）=6（k1+k2-1），（6k2-5）+（6k1-1）=6（k2+k1-1），（6k1-5）+（6k2-5）=6（k1+k2-1）-4，（6k1-1）+（6k2-1）=6（k1+k2）-2，从运算结果看，用6k-5类的自身相加只能得到6k-4类的数，用6k-1类的自身相加只能得到6k-2类的数，用一个（6k-5）类的数加上一个（6k-1）类的数得到6k类的数，用一个（6k-1）类的数加上一个（6k-5）类的数也得到6k类的数，这样在此种条件下，得到能整除6的类数为2，不能整除6，余2或4的类数各为1，所以说，用不能整除2，3的2个自然数做加法运算得到新数，其中能整除6的占50%，不能整除6的各占25%。在素数域中6k-5类型的素数与6k-1类型的素数在个数上等势，所以素数的2元合成有同样的结果，即能整除6的偶数所含素数对（有序）是不能整除6的偶数类所含素数对（有序）的2倍。这也是在能整除6的偶数上出现峰值的内因。当然素数3与其他素数的和都不会落到能整除6的偶数位上，但是一个个体对类别数目的比值等于0，相当于1比上无穷大的极限。

重生888

(6k-5)类型的素数？先生是否要加上k不能为5的倍数？加上这个条件，（6k-5）类型的素数尾数表现为：7，13， 19，  31；（6k-1)类型的素数的尾数表现为：11， 17， 23， 29。任一偶数素数对都是这些类型的素数尾数相加！
（6k-5)不如换成（6k+1).

白新岭

重生的建议很好，不过这里思路（或者说目标）与阁下的不一定一致，还是不能附加条件。接下来或许与先生有相似之处。再增加条件，5，即x,y不能整除2，3，5.那么x,y只能是下面的8类自然数，30k-29,30k-23,30k-19,30k-17,30k-13,30k-11,30k-7,30k-1(k取大于0的自然数）。因为每个代数式都含有30k,这样的x,y相加得到的数还是含30k的和式，所以都去掉，用-29，-23，-19，-17，-13，-11，-7，-1代替。
(x,y)→-29→-23→-19→-17→-13→-11→-7→-1
-29→-58→-52→-48→-46→-42→-40→-36→-30
-23→-52→-46→-42→-40→-36→-34→-30→-24
-19→-48→-42→-38→-36→-32→-30→-26→-20
-17→-46→-40→-36→-34→-30→-28→-24→-18
-13→-42→-36→-32→-30→-26→-24→-20→-14
-11→-40→-34→-30→-28→-24→-22→-18→-12
-7→-36→-30→-26→-24→-20→-18→-14→-8
-1→-30→-24→-20→-18→-14→-12→-8→-2
x+y的值→出现次数→x+y的值→出现次数→2组x+y为60→比较次数→x+y兑换到-30内→从-30到-58的次数→总次数
-58→1→-2→1→-60→0→30k-2→2→3
-56→0→-4→0→-60→0→30k-4→3→3
-54→0→-6→0→-60→0→30k-6→6→6
-52→2→-8→2→-60→0→30k-8→1→3
-50→0→-10→0→-60→0→30k-10→4→4
-48→2→-12→2→-60→0→30k-12→4→6
-46→3→-14→3→-60→0→30k-14→0→3
-44→0→-16→0→-60→0→30k-16→3→3
-42→4→-18→4→-60→0→30k-18→2→6
-40→4→-20→4→-60→0→30k-20→0→4
-38→1→-22→1→-60→0→30k-22→2→3
-36→6→-24→6→-60→0→30k-24→0→6
-34→3→-26→3→-60→0→30k-26→0→3
-32→2→-28→2→-60→0→30k-28→1→3
-30→8→-30→0→-60→8→30k-30→8→8
上面对符合条件的8类数做了加法，得到的新数也有了分布数。用符合条件的8类数做2元加法得到了15类数，分别为30k-28,30k-26,30k-24,30k-22,30k-20,30k-18,30k-16,30k-14,30k-12,30k-10,30k-8,30k-6,30k-4,30k-2,30k.它们对应出现的次数为：3/3/6/3/4/6/3/3/6/4/3/6/3/3/8。很有规律，从此分布上可以证明能整除2，3，5的自然数类占所有新合成偶数的8/64=1/8（也是1/（3-1）*1/（5-1）的值），只能整除2，不能整除3，5的自然数中的其中一类（有8类这样的合成数）占所有新合成偶数的3/64（也是（3-2）/（3-1）^2*(5-2)/(5-1)^2的值），另外还有2大类不同的数，它们其中的一类分别占4/64（能整除2，5，不能整出3，也是（3-2）/（3-1）^2*1/(5-1)的值）,6/64(能整除2，3不能整出5，也是1/（3-1）*(5-2)/(5-1)^2的值）。

白新岭

四楼的仅是说用不能整除2，3，5的自然数合成新的自然数，各类数占合成数的比例。那么，此结论在素数域中成立吗？成立的，因为在上述符合条件的8类数中出显的素数个数在理论上是等势的，所以不影响合成数的分布，即不会造成失衡。
说些与此有关的话，在luyuanhong教授证明任意正整数n,至少存在一个（实际上是正好存在一个，ccmmjj提到了此问题）n位数，且这个n位数都是有奇数构成的，能被5^n整除。在证明过程中用到了不同的k值（1，3，5，7，9）必定对应着不同的余数（相对于5来说）。也就是说一对一的问题，还有m被任意数除，余数最多有m个（包括0），不能整除m的数中只有(m-1)个余数。在上面不能整除2，3，5的数中，只有（2-1）*（3-1）*（5-1）=8种。而且这8类数，一定是这样的数，相对于2来说都余1（即只能有1类数），相对于3来说余1或余2，并且余1和余2的类别数目相同都是4类，相对于5来说余1或余2，余3，余4，并且余1和余2，余3，余4的类别数目相同都是2类。也就是说，在自然数数，用不能整除素数的数（前边有限个条件）合成新类数所得到的结论适应于素数域。
今天先提出一个与歌猜有关的命题：对于任何一个条件T来说（T>1),用不能整除T的自然数做2元加法，则得到能整除T的一类数占新合成类数的1/（T-1),而得到其余不能整除T的T-1类数中的任何一类占新合成类数的(T-2)/（T-1)^2,所以有推论能整除类比非整除类多1/（P-1)^2的合成概率，也就是这1/（P-1)^2的合成概率造成了偶数的素数对随着n的增大，不是严格递增，而是折线形的，但是有一个谷底，总趋势还是增多。

重生888

白先生好!写完回复,发现(6k+1)也会出现不是素数类的尾数，如当k=4时，是25。因此还是以30为周期好！8类WDY数有确定的尾数，（当然也包括合数）合成2元整数组，是定量的，且是有序的！一旦偶数2N确定，那末2元整数组就得到确定！问题是，这些确定的2元整数组中有没有素数对？若有，哥猜就解决了！若没有，也解决了！实际是有的，问题是如何证明！周期分得再多，也还要回到有没有素数对的问题上！下面我提供一种方法，如偶数30n+14类型，它有两种形式的2元组合：（30n+7）+（30m+7）  （30n+11）+（30m+23），我们证明（或称分析）有没有素数对，有的话，有多少；最低证明有一对，这就好了。下面是我的证明设想：
如（30n+7）+（30m+7）类型的2元组合，令这种类型中的素数为0，（首项7为0）；合数为1，（第7项187为1）；将30n+7为上排，将30m+7倒过来作为下排，与上排对应组合，就会是下面这个形式：
7 0 0 0 0 0 1（此1是187，以后闹不清，可任意画0或1）1 0 0 1。。。。。1
1 1 1 1 0 0 1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1 0 0 0 0 00
以上组合，会不会有0+0呢，（实际肯定有，就看如何证明），我说有，因为这其中合数（用1表示的）没有2元等和数对多！也就是说合数全部用完了，还有素数加素数的情况；如果还没有说服力，那末最坏是下面的形式：（去掉合数对合数）
00000000000111111111111111
11111111111000000000000000  
从以上可以看出，组成等和数对的素数和合数一样多；关键一步，是进位移动！将上排向右移动一位，就出现了0+0；为什么要移动，因为尾数事先是抹掉的，相加时要进位！
将2元8类相同或不同的36种WDY数组合放在平面直角坐标系中，求交点，可以看得更清楚！

重生888

请白先生回复，谢谢！

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/06/08 10:43am 第 1 次编辑]

证明5楼提到的命题：当T=2时，仅有余数1，所以1+1=2，合成的数为偶数，无奇数。此结论与命题相符，能整除类(能整除2的只能偶数类）占：1/（2-1）=1=100%，不能整除类（不能整除2的是奇数类）占：（2-2）/（2-1）^2=0=0%.
当T=3时，余数为1，2.用它们做2元加法得到如下的分布情况。
T=3
(x,y)12
123
234
x+y次数转换成类
212
320
411
T=4
(x,y)123
1234
2345
3456
x+y次数转换成类
212
323
430
521
612
T=5
(x,y)1234
12345
23456
34567
45678
x+y次数转换成类
212
323
434
540
631
722
813
从T=3到5可以看出有这样的规律，即余数的2元和值从2到2T-2,对应出现次数为1，2，3到T-1,T-2,..,2,1.
对于2，3，4，5的情况已单独证明。假设T=k时成立，即2元和从2到2k-2,对应出现次数为1，2，3到k-1,k-2,..,2,1.
当T=k+1时，在T=k的基础上，增加一列y=k,增加一行x=k,这样在列上会增加k+1,k+2,....2k-1,2k各1次，在行上也会增k+1,k+2,....2k-2,2k-1(这里不再有2k出现，在列上已列出）。这样是在原T=k的基础上，出现k+1,k+2,k+3,.....2k-1各2次，出现2k一次，与T=k时合并，正好是2元和值为：1，2，3，...k-1,k,k+1,k+2,....,2(k+1)-2,对应出现次数为1，2，3到k,k-1,k-2..,2,1。这说明当T=k+1时也成立。
所以对于任意的正整数周期T(T>1)来说，2元和的分布是上述情况。
从证明的和分布情况可以知道，合成类Tn类对应着T-1次，而总合成次数为(t-1)^2,所以整除类占新2元合成类的概率为：(T-1)/(T-1)^2=1/(T-1).不能整出类的概率（其中的一类，共有T-1类）占，[i+(T-i-2)]/(T-1)^2=(T-2)/(T-1)^2，（这里i从0到T-2).
到此对于5楼提的命题已全部证完。
用另一种哲学观点做一下分析说明。对于一个大于1的周期T来说，如果去掉整周期，仅用不完全周期值做2元合成，则得到2大类合成数，一类数可以整除周期，另一大类不能整除周期，而不能整除周期的大类中有T-1类数，这T-1类数应该具有相同的合成概率，因为它们是矛盾的同一面，具有相同的性能。而参与合成的为（T-1)类的平方数（2元合成），有（（T-1)^2/T=T-2+1/T,即平均为T-2次，但是，多了1次未分配尽，那这1次该归那类数呢？矛盾双方，能整除方只有一类数，不能整除方有T-1类数，除T=2时，其余的T-1都大于1，所以不能分配到非整除类上，而只能分配到整除类上，这样整除类上就多了1次，成为：（T-2)+1=T-1次。这与证明相吻合。这种理论可以推到多元加法合成，不过对于元数m来说，有奇偶之分，当合成元数m为奇数时，与此（偶数元）正好相反，平均次数少了一次，也只能分配到整除类上，这时非整除类中的一类比整除类的合成次数多1次，这也是造成在3元歌猜上，素数拥有的有序素数组比较多，合数拥有的有序素数组比较少的原因。
上边的数都合到一起了，无法看。下面是处理后的。
T=3
(x,y)→1→2
1→2→3
2→3→4
x+y→次数→转换成类
2→1→2
3→2→0
4→1→1
T=4
(x,y)→1→2→3
1→2→3→4
2→3→4→5
3→4→5→6
x+y→次数→转换成类
2→1→2
3→2→3
4→3→0
5→2→1
6→1→2
T=5
(x,y)→1→2→3→4
1→2→3→4→5
2→3→4→5→6
3→4→5→6→7
4→5→6→7→8
x+y→次数→转换成类
2→1→2
3→2→3
4→3→4
5→4→0
6→3→1
7→2→2
8→1→3

白新岭

重生好，对于你的概率分析我无法做任何判断。你原先与陆教授已探讨了好多。用一种随机概率分析歌猜是永久不能保证每一个偶数的素数对是否大于等于1的。但是你的分析方法也不属于概率法，虽然你用概率解释了。它还是属于一种合成规则，就像上面我提到的陆教授对5^n的证明问题一样，只能出现某种结果，而不能出现另一种结果，例如用6k-1类的素数，只能得到6k-2类的偶数，偶数6k-4是没有6k-1形式的素数对的，也没有6k-1与6k-5两类和的形式。这就好像一个谜语，一家五口人，各有各的门，谁要走错了门，就会笑死人。其实两个素数和，到底它要落到什么样的偶数上去，取决于这2个素数本身。

重生888

[这个贴子最后由重生888在 2009/06/10 08:21am 第 1 次编辑]

白先生好!哥猜2元组合有确定的形式.就是用30周期,事先予留尾数,然后通过36种不同组合,对15类偶数,选用适合的2元组合来断定素数加素数(0+0)的存在!我已经舍弃了概率方法.我对您的不断扩大周期,觉得难以穷尽,所以提出来共同探讨.例如偶数10000,先将10000/30=333+(尾数10);我知道10000的哥猜二元组合共2种方法,一种方法是333组,两种方法有666组.具体是:
第一种：30n+17+30m+23   2元组合X（1）=333
第二种：30n+11+30m+29   2元组合X（2）=333
在以上666个二元组合（等和数对）中有没有素数加素数（0+0）？我们可作以下判断：
一，先求pi(10000)=1226个素数（2。3。5在外）
二，再求尾数相同的素数个数：1226/8=153（约）
三，在333个二元组合中各有相同尾数153个素数，
四，假定哥猜不成立，合数全对素数；那末333个等和数对中有306个合数对素数，其它还有26个合数对合数。合数对合数可以排除。因此我们说，哥猜不成立，应是合数和素数一样多！即：
00000000000111111111111
11111111111000000000000
五，因为11+29=40=30+10，17+23=40=30+10 多了一个30， 它进了一个周期。但在总数333个等和数对中减去一对，成为332组，n或m必须有一个减1；所以要移动一位。
  00000000000111111111111
11111111111000000000000      出现了0+0（素数加素数）
以上供参考，谢谢！